精品解析：　湖北省老河口市2024-2025学年八年级下学期期中学业质量调研测试数学试题

2025年春季初中学生期中学业质量调研测试 八 年 级 数 学 （本试卷共6页，满分120分） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 代数式在实数范围内有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 6，8，10 5. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 6. “赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则的值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 7. 四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，于点H．若，菱形的周长为32，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点E是矩形的对角线的中点，点F是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 4.5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 请写出一个能与合并的二次根式____． 12. 在中，，则___． 13. 的对角线相交于点O，当满足____时，四边形是矩形．（只添加一个条件） 14. 古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 15. 如图，在菱形中，， ，点P，Q分别是，上的动点，则的最小值是____． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： 17. 如图，的对角线相交于点O，E，F两点在对角线上，． 求证：． 18. 如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形场地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为，求种植蔬菜的场地的面积． 19. 某校劳动实践基地的示意图如图所示，“数学兴趣小组”的同学们测得，，，，．求实践基地的面积． 20. 如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法． 21. 如图，在中，点D，E，F分别是的中点． （1）只添加一个条件 ，使四边形是菱形； （2）根据（1）中添加的条件，证明四边形是菱形． 22. 综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 23. 在正方形中，点E在对角线上，，． （1）如图1，求证：，； （2）作的平分线交于点G． ①如图2，当，时，求线段的长； ②如图3，延长交于点H，连接，判断线段与线段的关系，并说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标是，顶点C在y轴上，顶点B在第一象限，对角线，交于点D，将沿翻折使点O的对应点落在坐标平面内的点E处，与交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若，点P在对角线上运动，当以P，A，E为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季初中学生期中学业质量调研测试 八 年 级 数 学 （本试卷共6页，满分120分） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 代数式在实数范围内有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故选：A． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．结合二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加、减、乘、除法法则计算出各选项，再进行判断即可． 【详解】解：A.与不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B. 与不能合并，故选项B计算错误，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，不符合题意； D. ，故选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B ． 5. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 6. “赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则的值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，理解赵爽弦图是解题关键．根据图形可得，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， 大正方形的面积是25， 大正方形的边长是5，即直角三角形的斜边长是5， ， 小正方形的面积是1， ， ， ， ， 故选：B． 7. 四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据平行四边形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，则此项不符题意； B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，则此项不符题意； C、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，则此项不符题意； D、，不能判定四边形是平行四边形，则此项符合题意； 故选：D． 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，于点H．若，菱形的周长为32，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含度直角三角形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．由菱形的性质可知，，，再根据含度直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为32， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，则， 又∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出是等边三角形，得到，求出，得到，求出，同理可得，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， 故选：C． 10. 如图，点E是矩形的对角线的中点，点F是边的中点，若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 4.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 先由三角形中位线定理得到的长，再利用勾股定理求出的长，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 请写出一个能与合并的二次根式____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答． 【详解】解： 可以与合并的二次根式是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在中，，则___． 【答案】． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°；再根据∠A+∠C=120°计算出∠A的度数，进而可算出∠B的度数. 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题是一道有关平行四边形的题目，掌握平行四边形的性质是解题关键. 13. 的对角线相交于点O，当满足____时，四边形是矩形．（只添加一个条件） 【答案】或或或等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了由平行四边形判定矩形．熟练掌握由平行四边形判定矩形的定理，是解题的关键． 根据矩形的判定定理推出即可． 【详解】添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定是矩形； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）． 故答案为：或或或 14. 古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设秋千绳索长为尺， 则（尺）， 在中，，即， 解得：， 故答案为：14.5． 15. 如图，在菱形中，， ，点P，Q分别是，上的动点，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理，垂线段最短等知识，连接，交于点O，先利用勾股定理求出，作于点H，由线段垂直平分线的性质得出，得出当D，P，Q三点共线且时，的值最小，即的长，最后根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，且垂直平分， ∵，， 则 在中， 根据勾股定理， ∴． 作于点H， ∵垂直平分， ∴， 则， 当D，P，Q三点共线且时，的值最小，即的长． ∵菱形的面积 ∵，，， ∴ 解得：． ∴的最小值是． 故答案为： 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的运用二次根式的乘、除法则和合并同类二次根式是解决本题的关键． 按照二次根式的混合运算的顺序进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，的对角线相交于点O，E，F两点在对角线上，． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，再由证明，即可得出结论． 【详解】略 18. 如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形场地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为，求种植蔬菜的场地的面积． 【答案】种植蔬菜的场地的面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，根据种植蔬菜的场地的面积等于长方形空地的面积减去长方形养鸡场的面积计算即可． 【详解】解： 答：种植蔬菜的场地的面积是． 19. 某校劳动实践基地的示意图如图所示，“数学兴趣小组”的同学们测得，，，，．求实践基地的面积． 【答案】实践基础的面积是 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，先勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理判断，最根据求解即可． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴， ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴ ． 答：实践基础的面积是． 20. 如图，已知，用两种方法作出的中线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，不写作法． 【答案】 如图1，如图2， 为所求． 【解析】 【分析】本题考查中线的定义和利用尺规作图，作一条线段的垂直平分线和作一条线段等于已知线段．根据中线的定义：连接一个顶点和它对边的中点的连线段叫做三角形的中线．即找到对边中点即可．第一种方法：作的垂直平分线即可，原理是垂直平分线垂直且平分其所在直线段；第二种方法：分别以B、C点为圆心，、为半径画弧，连接A点和两弧的交点，即可，原理：平行四边形的对角线互相平分． 【详解】略 21. 如图，在中，点D，E，F分别是的中点． （1）只添加一个条件 ，使四边形是菱形； （2）根据（1）中添加的条件，证明四边形是菱形． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：∵点D，E，F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由三角形的中位线得到，继而可证明四边形是平行四边形，当添加条件时，根据中点得到，即可证明为菱形； （2）证明分析见（1）． 【小问1详解】 解：添加条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 略 22. 综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【答案】（1）①，；②24；（2）， 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，理解定义，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用已知公式求出p的值，进而代入海伦的三角形面积公式中得出答案；②直接利用秦九韶给出的公式代入求值即可． （2）因为三角形的三边长都是整数，所以代入海伦公式求出求p和S，然后根据面积求出三角形的高，根据勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：（1）①因为，，， 所以． 所以 = ． ② ． （2），，， 所以． 所以． ∵， ∴． ∴． ∴ ． 23. 在正方形中，点E在对角线上，，． （1）如图1，求证：，； （2）作的平分线交于点G． ①如图2，当，时，求线段的长； ②如图3，延长交于点H，连接，判断线段与线段的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． （2）①； ②，．理由： 如图3，连接，作于点M， 作交延长线于点N． 则． ∴四边形是矩形． ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可知，，，进而证明，即可证明，可得，，即可证明，得结论； （2）①连接，由（1）可知中，，，得，再证．得； ②连接，作于点M，作交延长线于点N，可知四边形是矩形．得，先证，得，，再证得，得，可得，则．可知，，即可得，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2，连接． 由（1）可知中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ②略 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标是，顶点C在y轴上，顶点B在第一象限，对角线，交于点D，将沿翻折使点O的对应点落在坐标平面内的点E处，与交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若，点P在对角线上运动，当以P，A，E为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1） 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可知，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，得出，即可证明结论； （2）根据矩形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，求出； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． ∵将沿翻折后得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴当点P在线段上运动且不与点A重合时，． ∴当是等腰三角形时，或． 如图2，当时，点P与点D重合，作于点G． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ． ∴． ∴， 如图3，当时，作于点H． 则， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $