精品解析：2025年天津市西青区中考数学一模试卷

西青区2025年初中毕业生学业考试数学调查试卷（一） 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、考场号、座位号、准考证号填写在“答题卡”上；用2B铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝各位同学考试顺利！ 第I卷（选择题 共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 5. 2025年2月7日至2月14日，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，据统计亚冬会全网浏览量达．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 值等于（ ） A 0 B. C. 1 D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 11. 如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共84分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案直接写在“答题纸”上． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有3个红球、8个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 14. 计算的结果等于__________． 15. 计算的结果等于______． 16. 函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是______．（写出一个即可） 17. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接． ①的长是______； ②的长是______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 20. 为了解中学生参加社会实践的情况，随机调查了某中学名学生假期参加社会实践的累计时间（单位：）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图中的值为 ； （2）求统计的这部分学生假期参加社会实践累计时间的平均数、众数和中位数． 21. 已知是直径，点，在上，位于两侧，且，连接，，与交于点． （1）如图，若，连接，求和的大小． （2）如图，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 22. 为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点处测得大树顶端的仰角为，大树底端的俯角为，从点出发沿远离大树的水平方向走到达点处，测得大树顶端的仰角为，点，，，在同一平面，延长交于点．（参考数据：，） （1）求线段的长度．（结果保留整数） （2）计算大树高度．（结果保留整数） 23. 某无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以米／秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20．米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升；甲无人机飞行6秒后到达距离地面60米的高度后停止上升，并单独进行表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面120米高度时，开始时长为秒的联合表演，表演完成后两架无人机返回地面．下面图中（单位：秒）表示无人机飞行的时间，（单位：米）表示无人机所在位置的高度，图象反映了这个过程中甲无人机所在位置的高度与飞行时间之间的对应关系． （1）填空：①值为 ，的值为 ； ②甲无人机返回地面的速度为 米/秒，甲无人机单独表演的时间为 秒． （2）当时，请直接写出甲无人机所在位置的高度关于时间的函数解析式． （3）在乙无人机飞行上升期间，与甲无人机位于同一高度的时间是多少？（直接写出结果即可） 24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． （1）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 25. 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． （1）若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． （2）若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西青区2025年初中毕业生学业考试数学调查试卷（一） 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、考场号、座位号、准考证号填写在“答题卡”上；用2B铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝各位同学考试顺利！ 第I卷（选择题 共36分） 注意事项： 每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键； 根据从前面观察几何图形是几何图形的主视图，即可求解； 【详解】解：从几何图形的正面观察几何图形， 看到的图形是， 故选：D 2. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的范围，即可求出答案． 【详解】解：∵6＜＜7， ∴在6和7之间， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的估算能力． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 4. 计算的结果等于（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据乘法法则进行计算即可，熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键． 详解】解：； 故选A． 5. 2025年2月7日至2月14日，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，据统计亚冬会全网浏览量达．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：D． 6. 的值等于（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：； 故选B． 7. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的加减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 分别把各点代入反比例函数的解析式，求出，，的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， 则，，； 则； 故答案为：D 9. 我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”篇中记载了这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：现有几人共同购买一件物品，如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱，问共有多少人？这件物品价格是多少？设共有人，物品价格是钱，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用．设共有人，物品价格是钱，根据“如果每人出8钱，就会多出3钱：如果每人出7钱，那么还差4钱”，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设共有人，物品价格是钱，根据题意得： ， 故选：A． 10. 如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作垂直平分线，含直角三角形的性质，勾股定理． 由作图知是的垂直平分线，可得，然后证明，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：由作图知，，， ∴， ∴， 由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，（负值不合题意舍去） ∴． 故选：B． 11. 如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则， ∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据， ∴故A错误； ∵绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据， ∴故B错误； 由已知得：，则，， ∴， 故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 12. 一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③将式子整理成，可得，即可求解； 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； ②联立， 解得：； 小球在斜坡上的降落点距地面的高度为，不满足题意； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式， ， 则， 则或（舍去）； 综上所述，正确的有①③，有两个； 故选：C 第II卷（非选择题 共84分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案直接写在“答题纸”上． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有11个球，其中有3个红球、8个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题知从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 14. 计算的结果等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】单项式的乘法，数字与数字相乘，字母与字母相乘得到. 【详解】原式= 故答案为： 【点睛】本题考查单项式的乘法，计算题主要是需要小心仔细，不要出现无谓错误. 15. 计算的结果等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二次根式的性质计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：8． 16. 函数（是常数）的图象不经过第二象限，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（小于等于0的数均可） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此可得b的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵函数（是常数）的图象不经过第二象限， ∴， ∴符合题意的b的值可以为， 故答案为：（小于等于0的数均可）． 17. 如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点为的中点，连接，点为的中点，连接． ①的长是______； ②的长是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． ①利用勾股定理求出对角线长，即可得到，然后根据中点求出长； ②解法一：先根据勾股定理求出长，再求出的长，接着利用三角形面积法求得，然后根据勾股定理计算解题． 解法二：先根据勾股定理求出长，再求出的长，接着根据三角函数求出的值，然后根据相似三角形求出的长，从而可根据勾股定理计算解题． 【详解】解：①∵是正方形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 故答案为：； ②解法一：过点F作于点N， ∵，， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 解法二：， 又∵点F是的中点， ∴， 过点E作于点M，过点F作于点N， ∴，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，线段的两个端点均落在格点上． （1）线段的长等于___________； （2）经过点，作圆，若所对的圆心角是，请在圆上找一点，使是等边三角形：再过点作圆的切线．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和切线，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明，画图时所有添加的线不超过10条）___________． 【答案】 ①. ②. 见解析 【解析】 【分析】本题考查考查了复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用上述性质画图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可解答； （2）取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 【详解】（1）； （2）如图，取格点，，连接与格线交于点，取与格线的交点，连接与圆交于点；连接，取与格线的交点，连接并延长，与格线交于点，作直线，则点与直线即为所求． 证明：如图，取格点，连接，设圆的圆心为，连接， ， 根据图形可得， ， ， ， ， 由作图可得且，点分别为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 为的垂直平分线， ， 所对的圆心角是， ， 等边三角形； 由作图可得， ， ， , ， ， ， ， 即， 为圆的切线． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集： （1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示不等式组的解集即可； （4）根据（3）所求即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ∴解不等式①，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∴解不等式②，得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：数轴表示如下所示： 【小问4详解】 解：由数轴可知，原不等式组的解集为． 20. 为了解中学生参加社会实践的情况，随机调查了某中学名学生假期参加社会实践的累计时间（单位：）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为 ，图中的值为 ； （2）求统计的这部分学生假期参加社会实践累计时间的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）， （2）平均数是，众数是，中位数是 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，平均数、众数和中位数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用累计时间学生人数除以其所占的百分比即可求得，用累计时间的学生人数除以即可求得； （2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案：，； 【小问2详解】 解：， 统计的这部分学生假期参加社会实践累计时间的平均数是， 观察条形统计图，在这组数据中，出现了次，出现的次数最多， 统计的这部分学生假期参加社会实践累计时间的众数是， 将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是，有， 统计的这部分学生假期参加社会实践累计时间的中位数是． 21. 已知是的直径，点，在上，位于两侧，且，连接，，与交于点． （1）如图，若，连接，求和的大小． （2）如图，过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由圆周角定理得，进而得，由是的直径得，最后根据，即可求解； （2）连接，由切线的性质得，设的半径为，在中，由勾股定理得，即，解出，由（1）知，有，因为，再结合得，所以，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ， 是的直径， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 切于点， ，即， 设的半径为， 在中，， ， 由，得， 解得， ，， ， ， 由（1）知，有， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于，切线的性质定理，勾股定理，等边对等角，等角对等边，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22. 为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点处测得大树顶端的仰角为，大树底端的俯角为，从点出发沿远离大树的水平方向走到达点处，测得大树顶端的仰角为，点，，，在同一平面，延长交于点．（参考数据：，） （1）求线段的长度．（结果保留整数） （2）计算大树的高度．（结果保留整数） 【答案】（1）线段的长约为 （2）大树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，有，，，，，设，在中，得， 在中，得，所以，解出，再根据，即可求解； （2）由已知得，，所以，进而得，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，有，，，，， ， 设， 在中，， ， 在中，，， ， ， 解得， ， 答：线段的长约为； 【小问2详解】 解：由已知得，， ， ， ， 答：大树的高度约为． 23. 某无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以米／秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20．米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升；甲无人机飞行6秒后到达距离地面60米的高度后停止上升，并单独进行表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面120米高度时，开始时长为秒的联合表演，表演完成后两架无人机返回地面．下面图中（单位：秒）表示无人机飞行的时间，（单位：米）表示无人机所在位置的高度，图象反映了这个过程中甲无人机所在位置的高度与飞行时间之间的对应关系． （1）填空：①的值为 ，的值为 ； ②甲无人机返回地面的速度为 米/秒，甲无人机单独表演的时间为 秒． （2）当时，请直接写出甲无人机所在位置的高度关于时间的函数解析式． （3）在乙无人机飞行上升期间，与甲无人机位于同一高度的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①10，15；②8，8 （2）当时，；当时，；当时， （3）4或8 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）①根据甲无人机飞行6秒后到达距离地面60米的高度，以及速度等于路程除以时间，求出的值，从函数图象可知，从第20秒到第35秒，甲、乙无人机进行联合表演求出的值即可；②用速度等于路程除以时间，求出甲无人机返回地面的速度，求出甲无人机从米升到120米所用时间，进而求出甲无人机单独表演的时间即可； （2）分，，三种情况，分别求出函数解析式即可； （3）先求出乙无人机上升的速度，分甲无人机追上乙无人机，以及甲单独表演时，乙追上甲无人机两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意，； 由图象可知：； 故答案为：10，15； ②米/秒； 秒，秒； 故答案为：8，8； 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，设，把代入，得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 由题意，得：乙无人机上升的速度为：米/秒； 当甲无人机追上乙无人机时：，解得：； 当甲无人机单独表演时：，解得：； 综上：或． 24. 将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． （1）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】（1），； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由点，得到，根据点是边的中点，得到，从而得出点坐标，连接，过点作于点，证明为等边三角形，求出，即可得出点坐标； （2）①由平移可知，，，有，得到，再得到，根据解直角三角形可得答案； ②分两种情况：当时，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为直角三角形，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点， 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①由（1）可知，为等边三角形， 由平移可知，，，有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； ② 当时，重叠部分为五边形， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴为等边三角形， 同理，， 在中， ， ， ∵， ∴时，时，， ， 当时，重叠部分为直角三角形， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ∴时，时，， ∴综上所述，取值范围为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． （1）若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． （2）若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②求出点坐标，根据两直线平行，值相同，待定系数法求出函数解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； （2）求出点，进而得到直线为，把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，连接，，，易得四边形为平行四边形，得到，作点关于直线的对称点，连接，则，得到，进而得到当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长，过点作轴，垂足为，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：①把点，点坐标代入， 则：解得． 抛物线的解析式为． ②解：由得点坐标为． 设直线的解析式为，把， 分别代入，得解得 直线的解析式为． 由可设的解析式为． 把点代入解得． 的解析式为． 由解得，． 故点的坐标为． ∴． 【小问2详解】 解：由得， 故点，直线为． 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点． 连接，则，且． ，， ，． 连接，，则四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线的对称点，则． 连接，则． ． 即当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长． 过点作轴，垂足为，则，． 由勾股定理知，即 解得，． ， 应舍去． 抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $