精品解析：云南省宣威市第三中学2024-2025学年高二上学期中考试数学试题

云南省宣威市第三中学2024-2025学年上学期中考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意，得. 故选:C. 2. 在平行六面体中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解 【详解】由题意可作出平行六面体，如图， 则， 即，故A正确. 故选：A. 3. 在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的模长公式即可求解. 【详解】解：，， 则 所以 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为， 故选：A 5. 已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 6. 已知直线方程为，则其倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小. 【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则， ∵，∴， 故选：D． 7. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所过点以及倾斜角直接写出直线方程. 【详解】因为直线过点，且倾斜角是，所以，即， 故选：C. 8. 两条平行直线：与：之间的距离是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】， 两平行线间的距离为， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 10. 已知圆和圆的交点为，，则（ ） A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离. 【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确； 对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确； 对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误； 对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为9 B. 焦距为10 C. 若，则的面积为9 D. 的周长为20 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得． 【详解】解：由椭圆的方程得： . 对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确； 对B.焦距为B错误； 对C.由题意得：，① 由椭圆定义得：， 即，② ②-①得：， 的面积为，故C正确 对D，的周长为，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为三角形的边上的高，由三点共线，以及，可通过待定系数得出，结合模长公式即可得解. 【详解】由题意设为三角形的边上的高，而， 因为三点共线，设， 因，所以，解得， 所以，所以点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 设出方程，代入点A即可求出. 【详解】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为， 将代入可得，即， 故方程为，化为标准方程为. 故答案为：. 14. 过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，与圆方程联立可得韦达定理的结论，利用两点连线斜率公式表示出直线的斜率之和，结合韦达定理化简整理可得结果. 【详解】由题意得：， 当直线斜率为时，与圆相切于点，不合题意； 设直线，， 由得：， 则，解得：， ，， ， 直线的斜率之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法联立圆的方程得到韦达定理式，并化简得，再将韦达定理式代入计算即可. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得平面； （2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值. 【小问1详解】 连接交于点E，连接OE，， ∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形，∴． ∵平面，平面，∴平面． 【小问2详解】 连接OC， ∵， ∴为正三角形， ∴， ∵，且， ∴平面ABC， ∵△ABC是正三角形， ∴CO⊥AB． 以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 由，可得． 则，，， 设平面的法向量为， ∴，即， 令， ∴， 设平面的法向量为， ∴，即， 令，∴， 设平面与平面所成的角为， 则， 即平面与平面所成角的余弦值为． 16. 已知的三个顶点，，． （1）求边上中线所在直线的方程； （2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解； （2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解. 【小问1详解】 由题意中点， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 即边中线所在直线的方程； 【小问2详解】 因为，，所以， ，所以直线的方程为，即， 设点到直线的距离，则由题意， 所以点到直线的距离， 则点所在直线方程为或， 因为，， 所以，线段中点坐标为， 所以线段的中垂线为，即， 所以联立或， 所以点的坐标为：或. 17. 已知直线和以点为圆心的圆． （1）求证：直线恒过定点； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长； （3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2），弦长的最小值为 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变形，联立方程组可求得直线所过定点的坐标； （2）分析可知，当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线截得的弦长最短，根据直线的斜率关系可求得的值，求出圆心到直线距离的最大值，再结合弦长公式可求出直线被圆截得弦长的最小值； （3）设点，利用距离公式可化简得出点的轨迹方程，数形结合可求出四边形面积的最大值及其对应的点的坐标. 【小问1详解】 证明：将直线的方程化为， 由可得，故直线恒过定点. 【小问2详解】 解：当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线被圆C截得的弦长最短， 此时，，所以，直线的斜率为，解得， 且， 此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为. 【小问3详解】 解：由（1）可知，点，设点， 则，整理可得， 由可得，解得， 又因为点，由下图可知，当点坐标为时， 点到轴的距离最大，此时，的面积最大，此时，四边形的面积取最大值， 即四边形的面积. 故当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为. 18. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）； （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式进行求解即可； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，得到直线和的方程，推出两点的坐标，列出等式再进行验证即可. 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为，得，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 则消去并整理得， 此时，即，设， 则， 直线的方程为，令，得点的纵坐标， 即点，同理得点， 由，得，即， 于是，整理得， 则，化简得， 解得或， 当时，直线的方程为，即，直线过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，即，直线过定点， 所以直线经过定点. 【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 19. 已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． （1）求曲线、的方程； （2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）分析可知，曲线为抛物线，确定该抛物线的焦点坐标与准线方程，可得出曲线的方程，求出、的值，结合焦点位置可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程分别与曲线、的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意知，点到直线的距离等于， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为. 因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，， 所以，，所以，曲线的方程为. 【小问2详解】 解：若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线斜率必存在，则直线的方程为 由，整理得，则， 设、，则，， 所以，，则， 由，整理得， 则， 设、，则，， 所以， ， 因为，即，可得，解得， 所以，直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省宣威市第三中学2024-2025学年上学期中考试 高二数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷．草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 在平行六面体中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知，，则的模为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点坐标为（ ） A B. C. D. 5. 已知经过点直线的一个方向向量为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线方程，则其倾斜角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 两条平行直线：与：之间的距离是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上投影向量为 10. 已知圆和圆的交点为，，则（ ） A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 11. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 点到右焦点的距离的最大值为9 B. 焦距为10 C. 若，则的面积为9 D. 的周长为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为__________. 13. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________. 14. 过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为______． 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值． 16. 已知的三个顶点，，． （1）求边上中线所在直线的方程； （2）已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标． 17. 已知直线和以点为圆心的圆． （1）求证：直线恒过定点； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长； （3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标． 18. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 19. 已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． （1）求曲线、的方程； （2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$