精品解析：湖南省长沙市平高教育集团六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

湖南省长沙市平高教育集团六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题 本试题卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A B. 1 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译概率分别是，则密码被破译的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1或 D. 或3 7. 从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（ ） A. 504种 B. 729种 C. 84种 D. 27种 8. 已知双曲线的焦距为，则的离心率为（ ） A B. C. D. 二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分. 9. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆的半径为5 D. 点在圆内 10. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，且，则下列正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 设 是第一象限的角，若 ，则 _____. 14. 在等差数列中，，则________． 15. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______. 四、解答题（17题10分，其它各题12分) 17. 已知. （1）求函数的最小正周期： （2）求函数在上的单调区间. 18. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率； （3）设为抽取2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望． 19. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 20. 长方体中，，，M为中点. （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值. 21. 已知抛物线焦点坐标为． （1）求抛物线C的方程； （2）若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 22. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省长沙市平高教育集团六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题 本试题卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果. 【详解】由， 故选：B 3. 现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 4. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入求值即可． 【详解】函数，求导得， 所以． 故选：B. 5. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是，则密码被破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分一人破译和两人破译，再利用独立事件的概率求解. 【详解】解：因为甲､乙两人独立地破译一份密码，且甲､乙能破译的概率分别是， 所以密码被破译的概率为， 故选：D 6. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1或 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以解得，或； 当时，两条直线为：两条直线重合，舍去； 当时，两条直线为：两条直线平行； 故选：B 7. 从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（ ） A. 504种 B. 729种 C. 84种 D. 27种 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合知识得到答案. 【详解】不同选法有． 故选：C 8. 已知双曲线的焦距为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意求出、，即可求出离心率. 【详解】因为双曲线的焦距为， 所以，即，又，即，解得， 所以的离心率. 故选：C 二、选择题，本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分. 9. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆的半径为5 D. 点在圆内 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC 10. 已知空间向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 11. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点分布结合期望和方差公式求出、的值，并结合期望和方差的性质判断即可. 【详解】由题意可得，则， 故， ，． 故选：ACD. 12. 已知，，且，则下列正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式分别判断各选项. 【详解】A选项：因为，，且，则， 当且仅当，即时等号成立，A选项正确； B选项：由得， 即，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，B选项错误； C选项：由，即，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，C选项正确； D选项：，当且仅当，即时，等号成立，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题，本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 设 是第一象限的角，若 ，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由是第一象限角，，利用平方关系求得，进而可求，根据商数关系即可求得的值. 【详解】∵是第一象限角，， ∴， ∴ 故答案为：. 14. 在等差数列中，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为在等差数列中，， 所以，即. 故答案为2 【点睛】本题主要考查等差中项的问题，熟记概念即可，属于基础题型. 15. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】-30 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，再结合两个二项式相乘，即可求得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：-30 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象知的值域为. 故答案为： 四、解答题（17题10分，其它各题12分) 17. 已知. （1）求函数最小正周期： （2）求函数在上的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期， （2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间. 【小问1详解】 最小正周期为： 令则 由 所以的单调递增区间为， 【小问2详解】 令则 由, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 18. 已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，求： （1）第一次抽取的题目是选择题的概率； （2）在第一次抽到选择题的情况下，第二次抽到选择题的概率； （3）设为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量的分布列及其数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算概率； （2）利用条件概率的公式求解或者利用缩小事件空间的方法求解； （3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 小问1详解】 记第i次抽到选择题为，则 【小问2详解】 【小问3详解】 可能为0，1，2， 分布列为： 0 1 2 19. 已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题知， 所以. 20. 长方体中，，，M为中点. （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件可证明，再由线面垂直判定定理及其性质可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量并根据线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 连接，如图， ，， 因此，又， 则，可得； 又平面，而平面， 可得，又，平面， 故平面，又平面， 故. 【小问2详解】 以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图空间直角坐标系. 则， 可得，， 显然，即可得， 又，平面， 所以平面， 即平面的一个法向量为，又， 设与平面所成的角为， 故所求线面角的正弦值为. 21. 已知抛物线的焦点坐标为． （1）求抛物线C的方程； （2）若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点确定抛物线参数，即可得方程； （2）由题意直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【小问1详解】 由题设，则抛物线方程为； 【小问2详解】 由题设，直线，联立抛物线得， 所以，，则. 22. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$