精品解析：江苏省盐城市东台市第五教育联盟期中2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024～2025学年度春学期期中质量抽测调研考试 九年级 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 2025的相反数是 （ ） A. 2025 B. C. D. 1 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国九章量子计算机算力取得重大进步，九章3号比九章2号计算速度快了100万倍，100万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的内心是三角形三条角平分线交点 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 五边形的内角和是 D. 等边三角形是中心对称图形 6. 若第一组数据，，，，（各不相等）的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数变小，方差变大 D. 平均数不变，方差变大 7. 在平面直角坐标系中，由点，点，点组成的三角形的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （ ） A. 线点P的坐标满足或者 B. 是线点 C. 线点P在直线上（除外） D. 线点P在直线上（除外） 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，满分24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 10. 分解因式：x2－9＝______． 11. 底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为______cm2． 12. 如图，直线，直线，，则__________． 13. 已知，是方程的两根，则的值为________． 14. 如图，在中，，，，则的长为________． 15. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 16. 若实数x，y，m满足，则代数式的最大值为________． 三、解答题（本大题共11小题，满分102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 21. “绿色校园，环保先行”．某校为评估学生的垃圾分类知识的掌握情况，开展了环保知识竞赛，现从参试的全校2400名学生中随机抽取若干名学生的测试成绩（百分制），并对其进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成4组：A．；．；．；．），给出了如图所示的部分信息． （1）该校共抽查了 人． （2）根据调查结果，请估计全校学生成绩在C组的有多少人． （3）现从D组中成绩最好的2名男生和3名女生中随机抽取2名学生，对全校进行宣传讲解，请用画树状图或列表的方法，求恰好选取男生、女生各一名的概率． 22. 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，如图（2）．（ 参考数据：） （1）求车架档的长； （2）求车链横档的长． 23. 如图将矩形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点C，与边交于点N． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：求作点N，M（作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔描黑）； （2）若，，求的长． 24. 某商店决定购，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高元．用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同． （1）求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价元/件 销售量（件） 求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 25. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整． 1 2 3 1 2 4 4 2 （2）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ； ② ． （3）若点在函数的图象上，在函数的 图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为， 若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 26. 已知抛物线（a，c为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，． （1）①求点A的坐标； ②求的值 （2）如图，连接交于点，求的值 （3）设P是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点P作轴，交直线于点Q．当时，则点P的横坐标为____________ 27. 已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、． 知识回顾 （1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索 （2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考 （3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度春学期期中质量抽测调研考试 九年级 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 2025的相反数是 （ ） A. 2025 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此即可求得答案． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：B． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式乘以单项式、幂的乘方运算、负整数指数幂公式、同底数幂的除法法则分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4. 我国九章量子计算机算力取得重大进步，九章3号比九章2号计算速度快了100万倍，100万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：100万， 故选：C． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 三角形的内心是三角形三条角平分线交点 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 五边形的内角和是 D. 等边三角形是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的内心的性质、菱形的判定方法、多边形的内角和及等边三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，正确，是真命题，符合题意； B、对角线相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、五边形的内角和为，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图象，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：A． 6. 若第一组数据，，，，（各不相等）的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数变小，方差变大 D. 平均数不变，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平均数和方差．根据算术平均数和方差的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变， 设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为， 则， ， ， ， 若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，由点，点，点组成的三角形的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键． 由坐标得到轴，，确定点C在直线上运动，且与轴平行，则由即可求解． 【详解】解：∵， ∴轴，， ∵， ∴点C在直线上运动，且与轴平行， ∴， 故选：C． 8. 定义：若实数x，y满足，且，a为常数，则称点为“线点”．已知：在直角坐标系中，点．下列说法正确的是 （ ） A. 线点P的坐标满足或者 B. 是线点 C. 线点P在直线上（除外） D. 线点P在直线上（除外） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及一次函数图象上点的坐标特征，平方差公式因式分解等知识点，理解新定义是解题的关键． A：由题意得，两式相减得到，即可判断；B：将分别代入，根据新定义判断即可；C、D：由A可知，则，那么线点P在直线上，由于，则除外，故可判断C，D． 【详解】解：A、由题意得， 两式相减得到，， ∴， ， ， ， 故A错误，不符合题意； B、将分别代入得：， ， ， ， ， ∴不是“线点”，故B错误，不符合题意； C、由A可知， ∴， ∴线点P在直线上， ∵， ∴除外， ∴线点P在直线上，（除外），故C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，满分24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 10. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 11. 底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为______cm2． 【答案】15π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15πcm2. 故答案为：15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 12. 如图，直线，直线，，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 13. 已知，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设交于E，根据垂径定理求出，，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：设交于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6 15. 如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．小明通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ______W． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出与的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ， ， 当时，， 即当时，的值为． 故答案为：16． 16. 若实数x，y，m满足，则代数式的最大值为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值．首先需要将条件中的变量进行关联，通过消元或代入法将问题转化为单变量的最值问题，再利用二次函数的性质或不等式求解最大值． 【详解】解：， ， 则． ， 这是一个开口向下的抛物线，顶点在处， 即当时，，对应的． 因此，的最大值为1． 当时，代入得， 解得， 满足实数条件． 将代入得， 因此代数式的最大值为18， 故答案为：18． 三、解答题（本大题共11小题，满分102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂本特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，最后将字母的值代入，分母有理化即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的运算法则是解题的关键． 20. 在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE． （1）求证：； （2）求证：四边形BCDE是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵点F为边AB的中点， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：∵点D为边AC的中点， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形BCDE是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用SAS直接证明； （2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键． 21. “绿色校园，环保先行”．某校为评估学生的垃圾分类知识的掌握情况，开展了环保知识竞赛，现从参试的全校2400名学生中随机抽取若干名学生的测试成绩（百分制），并对其进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成4组：A．；．；．；．），给出了如图所示的部分信息． （1）该校共抽查了 人． （2）根据调查结果，请估计全校学生成绩在C组的有多少人． （3）现从D组中成绩最好的2名男生和3名女生中随机抽取2名学生，对全校进行宣传讲解，请用画树状图或列表的方法，求恰好选取男生、女生各一名的概率． 【答案】（1）； （2）人； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用树状图法求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解题的关键． （）根据组人数除以组在扇形所占比即可求出该校共抽查的人数； （）计算出样本中组的学生所占比例乘以总人数即可求解； （）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：该校共抽查了：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，该校共抽查了人， ∴估计全校学生成绩在组的有：（人）， 答：估计全校学生成绩在组的有人； 【小问3详解】 解：设用A、B、表示2名男生，C、D、E表示3名女生，列表如下： 共有种等可能的结果，恰好选取男生，女生各一名的结果数有种， ∴恰好选取男生，女生各一名的概率是． 22. 为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，如图（2）．（ 参考数据：） （1）求车架档的长； （2）求车链横档的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是勾股定理、平行线的性质. （1）利用勾股定理解题即可； （2）先过点B作, 得出，求出，设, 则，， 根据 , 求出的值, 从而得出的长，最后根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：，且， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 则 ， ∵，， ， ∵, ∴， ， 设, 则， , 则 ， 解得： ， ， 答: 车链横档的长约为. 23. 如图将矩形纸片折叠，使得点落在边上的点M处，折痕经过点C，与边交于点N． （1）用无刻度的直尺和圆规作图：求作点N，M（作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔描黑）； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：如图，以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，点，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作角平分线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，则M、N即为所求；； （2）连接，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形为矩形， ，，， 由折叠可得，，， 在中，由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的长为． 24. 某商店决定购，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品比每件种纪念品的进价高元．用元购进种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同． （1）求，两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价元/件 销售量（件） 求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1），两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用元购进A种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （）设利润为元，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可； 【小问1详解】 设设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程得解， ∴纪念品每件的进价是元， 答：， 两种纪念品每件的进价分别是和元． 【小问2详解】 设利润为元，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当时， ， ∵， ∴当时，利润最大为：元， 答：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．的解 25. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是x与y的几组对应值，其中 ； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像请你把图像补充完整． 1 2 3 1 2 4 4 2 （2）通过观察图象，写出该函数的两条性质： ① ； ② ． （3）若点在函数的图象上，在函数的 图象的第一象限内是否存在点Q，使得的面积为， 若存在求出Q点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）1； 图象补充完整如图所示； （2）函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一） （3）或． 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：①函数图象关于轴对称， ②函数值， 故答案为：函数图象关于轴对称，函数值（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：把代入得，， ， 设， 的面积为， ， 解得或，（舍去）或（舍去）， 或． 26. 已知抛物线（a，c为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，． （1）①求点A的坐标； ②求的值 （2）如图，连接交于点，求的值 （3）设P是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点P作轴，交直线于点Q．当时，则点P的横坐标为____________ 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①由，得到，从而，； ②将代入即可求出的值； （2）先求出，，过作轴交延长线于点，求出直线为，令，求出点F的横坐标，得到，然后利用即可求解； （3）设P的坐标为，则Q的坐标为，可得，结合列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ， 则． ， ∴，． ②将代入得：． ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ． ，． 过作轴交延长线于点， 设直线为，则，即， 直线为． 令，则，即， 点F横坐标为4， ． ∵轴， ，则； 【小问3详解】 解：由（2）知，直线为． 设P的坐标为， 则Q的坐标为， ∴． ∵， ∴， 解得（舍去）， 解得， ∴点P的横坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 27. 已知：在矩形中，，，点G是边的中点，连接．以点A为圆心、2为半径作，点E是上的一个动点，连接、．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接、、． 知识回顾 （1）如图1，当点E在直线的左侧时，试证明，并求出的长； 初步探索 （2）直接写出的最小值是 ，最大值是 ； 操作并思考 （3）如图2，当点E落在边上时，试猜想和有怎样的位置关系，并说明理由； （4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求的长． 【答案】（1） 证明：∵矩形中，，，点G是边的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ； （2）； （3），如图，过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）证明，，可得，再利用相似三角形的性质可得答案； （2）证明在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的交点为，，再进一步可得答案； （3）过作于，证明，由，可得，再证明，从而进一步可得结论； （4）连接， 证明，而，可得，，可得；同理可得：，，，从而可得答案； 【详解】解：（1）∵矩形中，，，点G是边的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 记与的交点为，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为； （3）略 （4）如图，连接，∵，，， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图，同理可得：， ∴，， ∴； 综上：当时，． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $