精品解析：2025年上海市普陀区中考数学二模试卷

2024学年度第二学期九年级自适应练习 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分．考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 4. 2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（ 表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（ ） A. 数值随着体重 的值的增加而减少 B. 数值与体重 的值之间成正比例关系 C. 数值与体重 的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D. 如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 5. 已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（ ） A. B. C. D. 6. 有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（ ） A. 顶角是的等腰三角形 B. 顶角是 的等腰三角形 C. 有一个锐角是的直角三角形 D. 有一个锐角是的直角三角形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：________． 8. 函数的定义域是________． 9. 方程的解是________． 10. 关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于________． 11. 苏州河是上海的“母亲河”，普陀段的岸线约有米，正好相当于半程马拉松的长度，被誉为“半马苏河”．数据用科学记数法可表示为________． 12. 在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 13. 如图，平行四边形 中，点 在边上，，连结并延长交 的延长线于点 ，设，．如果向量用向量、表示，那么________． 14. 如图，在 中，， 是边 的中点，过点 作交边 于点 ，如果， ，那么________． 15. 在矩形 中，， ， 、 分别是边 、的中点，点 、 在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么 的长等于________． 16. 常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有________人． 17. 已知抛物线的顶点为 ， 、 、 、 是抛物线上的四点，且线段 、 都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于________． 18. 在 中，， （如图）．点 在边 上， ， 为垂足，将绕点 按顺时针方向旋转后得到，点 、 分别与点、对应，，射线与边交于点 ．如果，那么 的长是________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解不等式组： 21. 如图，在四边形 中，，，，，． （1）求的值； （2）连接交 于点，求 的长． 22. 【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数 的图像； ②在 轴的正半轴上截取 ，过点A作 轴交函数 的图像于点 ； ③以点为圆心， 长为半径作弧，交于点 ． 所以点 平分线段． 【解决问题】 （1）根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段 上，找到点 ，使 ，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） （2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点 在 轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 23. 已知：如图，平行四边形 的对角线和 相交于点O，交 的延长线于点E， ． （1）求证：四边形 为菱形； （2）连结交于点F，如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与 轴交于点 和，与 轴交于点 ．直线交抛物线于点 ． （1）如图，抛物线的对称轴是直线 ． ①求此时抛物线的表达式； ②如果 ，求点 的横坐标； （2）如果点 关于直线 的对称点恰好是的重心 ，求的值． 25. 如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． （1）下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． （2）如果 、 是莱洛三角形上的两点，连接 、 ，满足且，求此时的正切值； （3）已知、分别是、上的两个动点：点沿从点 运动到点 ，点沿从点 运动到点 ，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点 的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期九年级自适应练习 数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分．考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 下列各式计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的除法及单项式乘单项式，利用整式的除法及单项式乘单项式法则，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：，则A符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， 与无法合并，则D不符合题意， 故选：A． 3. 某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，属于基础题型，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：这个班的全体同学的平均分． 故选：D． 4. 2025年“体重管理年”正式启动，其中所涉及的体质指数“”是衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为（表示体重，单位：公斤；表示身高，单位：米）成年人火女值标准见下表： 范围 胖瘦程度 瘦弱 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 已知某位成年人身高为1.6米，以下说法正确的是（ ） A. 数值随着体重的值的增加而减少 B. 数值与体重的值之间成正比例关系 C. 数值与体重的值之间的函数图像为双曲线位于第一象限的一支 D. 如果这位成年人的体重为64公斤，他的胖瘦程度属于正常 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的应用，根据题意及反比例函数图象上点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、某位成年人身高为1.6米，数值随着体重m的值的增加而增加，原说法错误，不符合题意； B、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间成正比例关系，原说法正确，符合题意； C、某位成年人身高为1.6米，数值与体重m的值之间的函数图象为第一象限内的直线，原说法错误，不符合题意； D、某位成年人身高为1.6米，这位成年人的体重为64公斤，则数值是25，属于偏胖，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两圆相交的条件，解绝对值不等式以及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解： 的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 6. 有若干个全等三角形，如果这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形，那么下列三角形中，符合条件的是（ ） A. 顶角是的等腰三角形 B. 顶角是 的等腰三角形 C. 有一个锐角是的直角三角形 D. 有一个锐角是的直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心对称图形的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由题意可得：拼成的正多边形的边数为奇数，分别求出每个选项中各个三角形的内角，进而得到组成的正多边形的内角，再根据正多边形的内角和公式判断出正多边形的边数，即可求解． 【详解】解： 这些全等三角形恰好能拼成一个正多边形，且这个正多边形不是中心对称图形， 拼成的正多边形的边数为奇数， A、顶角是的等腰三角形，则底角为， 可能拼成的正多边形的内角为或，但无法对应奇数边正多边形的内角，故该选项不符合题意； B、顶角是 的等腰三角形，可拼成正方形，但正方形是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，可能拼成的正多边形的内角需为、或的组合，但无法匹配奇数边的正多边形内角，故该选项不符合题意； D、有一个锐角是的直角三角形，则另一个锐角为，正五边形的内角为，可由两个角组成，正五边形边数为奇数，且不是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分数指数幂，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由分数指数幂得到，再求算术平方根即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 8. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据分式有意义分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 9. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的解法，熟练掌握解无理方程是解题的关键．方程两边平方得，再解这个一元二次方程，得或1，最后进行检验即可． 【详解】解：把方程两边平方，得， 整理，得， ， 解得或1， 经检验是增根，舍去， 是原方程的解， 所以方程的解是 ． 故答案为： ． 10. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确一元二次方程有两个相等的实数根时判别式． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原方程可化为， 由题意知 解得 故答案为：． 11. 苏州河是上海的“母亲河”，普陀段的岸线约有米，正好相当于半程马拉松的长度，被誉为“半马苏河”．数据用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 任意摸出一个球恰好为红球的概率， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形中，点 在边 上，，连结并延长交的延长线于点 ，设，．如果向量用向量、表示，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，利用三角形的法则以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在 中，，是边的中点，过点作交边于点 ，如果， ，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据等边三角形的判断得的等边三角形，所以，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在矩形中， ， ， 、 分别是边、 的中点，点 、 在对角线上（如图）．如果四边形是矩形，那么 的长等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．连接，， ，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，， ，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ，， ∴， ∵ 、 分别是边、 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有________人． 【答案】1600 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体，先根据扇形统计图计算出有氧运动的占比，再根据条形统计图计算出喜欢快走的占比，两项占比乘以总人数即可． 【详解】解：估计该社区最喜欢快走的居民大约有： （人）． 故答案为：1600． 17. 已知抛物线的顶点为 ，、、、是抛物线上的四点，且线段、 都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标为：， 的纵坐标为：，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、 都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、 为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点 到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点 到 的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 18. 在 中，， （如图）．点在边上， ， 为垂足，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、 分别与点、对应，，射线与边交于点 ．如果，那么的长是________． 【答案】4或4.8 【解析】 【分析】先过点A作交与点F，利用等腰三角形的性质以及余弦的定义得出，然后分两种情况，当P在的延长线上时和当P在线段上时想，证明四边形为平行四边形，根据设出， ，有旋转的性质得出 ，得出，最后根据余弦的定义求出x，进而可得出答案． 【详解】解：过点A作交与点F， ∵， ∴， ， ∴， 分两种情况：当P在的延长线上时，如下图： 由旋转的性质得出， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴设，则， 则，， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， 则； 当P在线段上时，如下图： 同理可设，则， 则， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， 则， 综上：的值为4或4.8， 故答案为：4或4.8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形的计算，平行四边形的判定和性质，旋转的性质等知识，学会分类思考是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，先分解因式约分，再根据同分母分式加减法则把所求式子化简，最后把a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式解集的步骤和方法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，则两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为 ． 21. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的值； （2）连接交于点，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理逆定理得到 ，然后根据正切的定义求解即可； （2）连接交于点，首先利用勾股定理求出，然后求出 ，证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图所示，连接交于点， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段 ，为了平分线段 ，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数 的图像； ②在轴的正半轴上截取 ，过点A作 轴交函数 的图像于点； ③以点 为圆心，长为半径作弧，交 于点 ． 所以点 平分线段 ． 【解决问题】 （1）根据小普同学的做法，如果要将线段 三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使 ，于是可作出线段 上的一个三等分点．（填函数解析式） （2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） 如图，Q为所求： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． 【解析】 【分析】（1）由题意得 ， ，设 ，则 ，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【小问1详解】 解：若 ， ， 设 ，则 ，点， ∴ ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 23. 已知：如图，平行四边形的对角线和相交于点O，交的延长线于点E， ． （1）求证：四边形为菱形； （2）连结交 于点F，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）证明：如图，过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴平分 ，， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明 ，推出 可得结论； （2）证明，推出，证明四边形是矩形，推出，证明 ，推出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形及菱形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点 ． （1）如图，抛物线的对称轴是直线 ． ①求此时抛物线的表达式； ②如果 ，求点 的横坐标； （2）如果点 关于直线的对称点恰好是的重心 ，求的值． 【答案】（1）① ；②点 的横坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形重心定理，中点坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是数量掌握以上性质并正确作辅助线． （1）①利用对称轴确定系数的关系，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式； ②利用圆周角定理确定点 的位置，过点 做辅助线构造直角三角形，假设出点 的坐标，表示出相关点的坐标，证出，利用列出方程，解方程即可； （2）做辅助线确定的重心 ，表示出，和相关线段的长度，证明，利用对应边成比例表示出，设，则，利用等腰直角三角形的性质和点 在直线上，列出方程求解即可求出的值． 【小问1详解】 解：① 抛物线的对称轴是直线 ， ，即 ， 将代入抛物线得：， 则， 解得： ， ， 抛物线的表达式为 ； ②如图，连接,以为直径作圆，与抛物线在第一象限的交点即为点 ,过点 作轴于点，过点作交的延长线于点 ， ，， ， ， ， ， ， 在 中，令，则， ， 直线交抛物线于点 ，， 设，则，， ，，，， ， ，即， 整理可得：， 解得：（负值已舍去）， 点 的横坐标为； 【小问2详解】 解：如图，取的中点 ，连接 ，过点 作轴于点、交于点 ，过点 作轴于点，与交于点，连接交于点 ， ， 抛物线的开口向下，与轴交于点和，， ，即， ， 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 是的重心，点 是的中点， 点 在 上，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， 点 关于直线的对称点是 ， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为 ， 将代入得：， 整理得：， ∴， 解得， 又∵， ∴可整理为， 解得或（舍去）， 所以. 25. 如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． （1）下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为 ； 莱洛三角形的面积等于． （2）如果、 是莱洛三角形上的两点，连接、 ，满足且，求此时的正切值； （3）已知 、分别是、上的两个动点：点 沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接 ．试表述线段 的中点 的轨迹． 【答案】（1）； （2）或； （3）点 在以 的中点R为圆心，以 为半径的圆心角为 的弧上 【解析】 【分析】（ ）根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可； （）分当 在上方时，当 在下方时，两种情况分析即可； （）连接， ，， ， ，取 、 的中点，连接，， ，再证明，得出即可确定轨迹． 【小问1详解】 解：因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形， 所以莱洛三角形是轴对称图形，正确； 三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确； 等边三角形的每一个内角都是 ，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为 ，正确； 莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当 在上方时，过作于点 ， ∵， ∴ ， ∴， ， ∵， ∴设，则，， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 当 在下方时， 同理：∵， ∴设，则，， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：的正切值为或； 【小问3详解】 解：连接， ，， ， ，取 、 的中点R、S，连接，， ， ∵点 沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 、 的中点为， 的中点为 ， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点 与点重合时，点 为中点，当点 与点重合时，点 为中点，此时，， 故点 在以 的中点为圆心，以 为半径的圆心角为 的弧上； 【点睛】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $