精品解析：　上海市闵行区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试卷

2024学年第二学期期中考试七年级数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共有6题，每题2分，满分12分） 1. 已知，下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，若其中，则与互补的角有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（ ） A. 0是这个不等式的解 B. 不是这个不等式的解 C. 小于的数都是这个不等式的解 D. 小于的数都是这个不等式的解 4. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 6、3、2 C. 2、2、3 D. 4、2、1 5. 下列语句中真命题的个数是（ ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示“x与y的一半的和是非负数”：______． 8. 不等式的解集是______． 9. 如图，已知直线a、b相交，这两条直线的夹角是______． 10. 中，如果是的两倍，且比大，那么是______三角形．（按角分类） 11. 已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 12. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为______． 13. 如图，，，，则______． 14. 如图，已知将旋转到的位置，使得点A、C、B在同一条直线上，请写出线段之间的数量关系______． 15. 把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 16. 小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 17. 如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 18. 在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 三、简答题（本大题共有5题，第19题满分5分，第20题满分6分，第21题满分7分，第22题满分5分，第23题满分10分，共33分） 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 求不等式组的整数解． 21. 如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 22. 如图，已知，且，那么吗？为什么？ 解：（已知） （ ） 又 即 （ ） 23. （1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点． 求证： 证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）如图3，已知，求的度数． 解： ____________（ ） 又 又 =（ ） （ ） 四、解答题（本大题共有3题，第24、25题满分6分，第26题满分9分，共21分） 24. 小明准备乘坐出租车从商场回家，商场到家的距离为30公里，当地出租车的收费标准是：起步价为12元（3公里以内），超过3公里低于15公里，每公里收费2元，15公里以上每公里单价是在2元的基础上上浮，小明发现身上只有75元现金，请问他能直接乘出租车回家吗？ 25. 如图，点D、E、H分别在线段上，连接，过点C画交的延长线于点F，且满足，若，，求证． 26. 如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，． （1）点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______． （2）求证平分． 五、综合题（本大题共1题，满分10分） 27. 在一副三角尺中，，， （1）将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ （2）若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期中考试七年级数学试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共有6题，每题2分，满分12分） 1. 已知，下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，不符合题意； B、∵，∴，∴，正确，不符合题意； C、∵，∴，正确，不符合题意； D、时与可能相等，也可能，，故错误，符合题意， 故选：D． 2. 如图，若其中，则与互补的角有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是补角，若两个角的和等于，则这两个角互补，掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴与互补的角是, ∵， ∴， ∴与互补的角是， ∴与互补的角有3个， 故选：B． 3. 已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（ ） A. 0是这个不等式的解 B. 不是这个不等式的解 C. 小于的数都是这个不等式的解 D. 小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 4. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 6、3、2 C. 2、2、3 D. 4、2、1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，3，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为2，2，3的三条线段能组成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为1，2，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 下列语句中真命题的个数是（ ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行公理、平行线的性质．根据对顶角相等、线段、平行公理、平行线的性质逐个判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不是真命题； ②锐角三角形的三条高交于三角形内一点，原说法错误，不是真命题； ③在同一平面内，若，，则，原说法错误，不是真命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，是真命题； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”不是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，是真命题； 综上，真命题的个数有2个， 故选：B． 6. 如图，在中，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 先由三角形内角和定理得到，由平行得到，而，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共有12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示“x与y的一半的和是非负数”：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，解答本题的关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，正确列出不等式．直接根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 8. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 9. 如图，已知直线a、b相交，这两条直线的夹角是______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的性质，一元一次方程的应用．根据邻补角的性质推出，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， 这两条直线的夹角是， 故答案为：． 10. 中，如果是的两倍，且比大，那么是______三角形．（按角分类） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【详解】解：设， ∵是的两倍， ∴， ∵比大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 11. 已知是等腰三角形，若，那么的周长是______． 【答案】11或13 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为腰和为底两种情况，确定对应情形下三角形三边的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当为腰时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当为底时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：11或13． 12. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则另一个角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论；分两种情况分别画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：已知，，交于点O．求的度数． ①如图1，∵， ∴； ∵， ∴； ②如图2，∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 综上，另一个角的度数为或． 故答案为：或． 13. 如图，，，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角定理，掌握三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解题的关键． 由平行得到，再由三角形的外角定理得到，即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 14. 如图，已知将旋转到的位置，使得点A、C、B在同一条直线上，请写出线段之间的数量关系______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．先找到旋转中心，得到，，根据，再等量代换，即可得解． 【详解】解：如图，旋转中心为点， 根据旋转的性质得，，， ∴， 故答案为：． 15. 把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【答案】 ①. 两个角是相等的角的余角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是相等的角的余角，这两个角相等． 16. 小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 17. 如图，在中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么______°．（用含m、n的表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：， …， ∴， 故答案为：． 18. 在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分图1，图2，图3，图4四种情况，根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 三、简答题（本大题共有5题，第19题满分5分，第20题满分6分，第21题满分7分，第22题满分5分，第23题满分10分，共33分） 19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 20. 求不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，据此求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 21. 如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 22. 如图，已知，且，那么吗？为什么？ 解：（已知） （ ） 又 即 （ ） 【答案】两直线平行，同位角相；；1；；2；；；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由角的和差关系证明，据此可证明． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又 ， 即， （同位角相等，两直线平行） 23. （1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点． 求证： 证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）如图3，已知，求的度数． 解： ____________（ ） 又 又 =（ ） （ ） 【答案】（1）；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）；；全等三角形对应角相等；；；；；；三角形外角的性质；；；全等三角形对应角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质，平行线的唯一性，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意先假设，过点N画一条直线，使得，则可证明，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得矛盾点，据此求解即可； （2）根据全等三角形对应角相等得到，则可求出的度数，再由三角形外角的性质和已知条件求出的度数，则可根据全等三角形的性质得到答案． 【详解】（1）证明：假设，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得，又因为，这样直线都过点N，这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以． （2）解： （全等三角形对应角相等） 又 ， 又（三角形外角的性质） （全等三角形对应角相等） 四、解答题（本大题共有3题，第24、25题满分6分，第26题满分9分，共21分） 24. 小明准备乘坐出租车从商场回家，商场到家的距离为30公里，当地出租车的收费标准是：起步价为12元（3公里以内），超过3公里低于15公里，每公里收费2元，15公里以上每公里单价是在2元的基础上上浮，小明发现身上只有75元现金，请问他能直接乘出租车回家吗？ 【答案】不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，有理数的大小比较，正确理解题意是解题的关键． 先求出15公里以上每公里单价，然后分段求费用，再相加即可得到总费用，再与75元比较大小即可． 【详解】解：不能，理由如下： 15公里以上每公里单价为（元） 需要费用：（元）， ∵ ∴他不能直接乘出租车回家． 25. 如图，点D、E、H分别在线段上，连接，过点C画交的延长线于点F，且满足，若，，求证． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质和已知条件证明，则，再由平行线的性质和已知条件证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，． （1）点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______． （2）求证平分． 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形内角和定理，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过直线外一点作直线的垂线，该点与垂足的连线段的长度叫做该点到该直线，据此可得答案；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案； （2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B到直线的距离是线段的长度； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积的比值是； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分． 五、综合题（本大题共1题，满分10分） 27. 在一副三角尺中，，， （1）将一副三角尺按如图1所示方式摆放（两条直角边在同一条直线上） ①联结，测得，则的度数是多少？ ②将三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺的边与射线重合时停止运动，经历多久使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？ （2）若将这幅三角尺按照如图2所示方式摆放（两条斜边在同一条直线上）．三角尺绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与射线重合时两块三角尺都停止运动，运动______秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行？（只写答案） 【答案】（1）①；②10秒或15秒 （2）6或9或42或45 【解析】 【分析】（1）①先由平角的意义求出，再对由三角形内角和定理即可求解； ②分两种情况讨论：当和，作出图形，根据旋转的性质以及平行线的性质进行角度和差计算求出旋转角即可； （2）设旋转时间为秒，由题意得，，，然后分四种情况讨论，当当时，得到；当时，得到；当时，得到；当时，得到，分别建立起关于时间的方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， ∴（秒）； 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴（秒）， 综上所述：当10秒或15秒时，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行； 【小问2详解】 解：设旋转时间为秒，由题意得，，， 当时， 则， ∵， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∵ ∴， 解得：； 当时， 则， ∵， ∴， 解得：； 当时， 则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为6或9或42或45秒，使得其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边平行． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差计算，以及一元一次方程的应用，难度较大，注意分类讨论思想的应用， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $