精品解析：2025年江苏省徐州市铜山区九年级中考一模数学试题 　

2025年江苏省徐州市铜山区九年级中考一模数学试题 注意事项 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某几何体的主视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 5. 如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线 上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（ ） A. 50克、60克 B. 70克、90克 C. 90克、100克 D. 60克、60克 7. 如图，直线y=kx+b（k>0）经过点P(−1，1)，当kx+b≥−x时，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中 个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（ ） A. 正五边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 27的立方根为_____． 10. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为_________． 11. 写出一个比大且比小的整数为_____________． 12. 若x，y满足方程组，则_____________． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位：）是反比例函数关系．如下表，则 _____________． … 4 6 8 … … 9 6 … 14. 如图，Rt 中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是_____________． 15. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为_____________ ． 16. 如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是_____________． 17. 小宇想在边长为 的正方形纸片 上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片 的面积最小，则 的长为_____________． 18. 已知是 的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“ 级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“ 级关联范围”．函数的“级关联范围”是_____________． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．小明计划五一假期来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A.龟山汉墓；B.徐州博物馆；C.徐州户部山古民居）中随机选取一个，再从2个自然景点（D.徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________； （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率． 22. 在“一盔一带”安全守护行动持续推进的背景下，某校小交警社团积极开展交通安全宣传及调研活动．从2025年2月5日起，连续6天，在每天同一时段，对某地区一个重要路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况展开了调查，并将获取的数据绘制成了如下图表．图1是2月5日—2月10日该路口骑乘人员头盔佩戴率折线统计图，图2是2025年2月9日该路口骑乘人员头盔佩戴情况的统计表： 2025年2月5日-10日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图 2025年2月9日骑乘人员头盔佩戴情况统计表 骑乘摩托车 骑乘电动自行车 戴头盔人数 27 72 不戴头盔人数 88 （1） ______________； （2）小明依据此次调查数据，认为2月10日该地区全天电动自行车骑乘人员头盔佩戴率约为．你是否认同他的观点？请说明理由． （3）统计发现每天同一时段，该路口电动自行车骑乘人员平均约为人，小交警社团于2月11日在该路口同一时段给未佩戴头盔的电动自行车骑乘人员每人发放1份交通安全知识宣传单，根据以上统计信息，判断发放宣传单的份数可能是（ ） A.180 B.126 C.92 23. 如图，在 中，点 分别在边上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明： 四边形 是平行四边形， ．① ， ，② 在 与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）请添加一个条件___________，使四边形 是矩形．（直接填空，不需说明理由） 24. 如图， 的三个顶点坐标都是整数，点在线段 上，反比例函数的图象经过点 ． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）将 向左平移，当点 落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 25. 某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 26. 如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（ ）”的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点 抬高，此时碓杆绕着支点 转动．当碓头 被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知于点与水平线相交于点于点 ． （1）若 分米，分米，，求此时点 到水平线的距离（结果精确到1）．（参考数据：） （2）当点 下落至时水平线上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 27. 已知二次函数的图象经过点，与轴交于点 ． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点都在这个二次函数的图象上，且，求 的最大值； （3）若点是直线 上的点，二次函数图象上是否存在点（点 在点 的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 在菱形 中，，点在射线上运动（点与点 不重合）， 关于 的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线 与交于点 ，连接交 于点 ． （1）若，则____________ ； （2）当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； （3）直接写出的外接圆的半径 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省徐州市铜山区九年级中考一模数学试题 注意事项 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据合并同类项法则判断选项A、B；根据幂的乘方法则判断选项C；根据同底数幂相乘法则判断选项D． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意， 故选：D． 4. 已知某几何体的主视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．根据题意，逐项判断即可，具体见详解． 【详解】解：A.当长方体的宽与高相等时，主视图是正方形，此项不符合题意； B.正方体的主视图是正方形，此项不符合题意； C.当圆柱的高与底面直径相等时，主视图是正方形，此项不符合题意； D.三棱锥的主视图是三角形，不是正方形，此项符合题意． 故选：D． 5. 如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，首先根据平行线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 某公司拟推出由5个小礼品组成的礼品套盒，统计序号为1到5号的小礼品的质量如图所示．为了提高礼品套盒的品质，公司决定再增选2个小礼品放入套盒，且7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，增选的2个小礼品的质量可以是（ ） A. 50克、60克 B. 70克、90克 C. 90克、100克 D. 60克、60克 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．先求出原来5个小礼品质量的中位数为 克，再根据中位数的定义可得增选的2个小礼品的质量一个需在 克以下，一个需在 克以上，由此即可得． 【详解】解：由图可知，原来5个小礼品质量的中位数为 克， 要使7个小礼品质量的中位数与原来5个小礼品质量的中位数相等，则增选的2个小礼品的质量一个需在 克以下，一个需在 克以上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 7. 如图，直线y=kx+b（k>0）经过点P(−1，1)，当kx+b≥−x时，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线y=kx+b（k＞0）经过点P（-1，1），直线y=-x也经过点（-1，1），根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【详解】解：直线y=kx+b（k＞0）经过点P（-1，1），直线y=-x也经过点（-1，1）， 根据图象可得：kx+b≥-x时，x的取值范围是：x≥-1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键． 8. 如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中 个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（ ） A. 正五边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形外角和、三角形内角和定理，根据任何多边形的外角和都为 ，可以求出正五边形每个外角的度数为，根据三角形内角和定理求出每个正五边形所对应的圆心角的度数为，从而可求共有个正五边形，所以可知顺次连接，所得图形是正十边形． 【详解】解：如下图所示， 和是正五边形的外角， ， ， ， 顺次连接，所得图形是正十边形． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 10. 每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为_________． 【答案】210-7 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000 0002=2×10-7， 故答案为：210-7． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 11. 写出一个比大且比小的整数为_____________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴这个数可以是2或3； 故答案为：2或3． 12. 若x，y满足方程组，则_____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．求解即可． 【详解】解：， ，得． 故答案为：7． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系．如下表，则 _____________． … 4 6 8 … … 9 6 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求出m的值． 【详解】解：设， 把代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 14. 如图，Rt 中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点 ，若，则四边形的面积是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为 是 的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为 ，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵ 是 的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 15. 已知圆锥的底面半径为5，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为_____________ ． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．设圆心角的度数为，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程解出 的值即可． 【详解】解：设圆心角的度数为， 由题意得，， 解得：， 扇形的圆心角的度数为． 故答案为：150． 16. 如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中①号三角形区域的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率．根据题意得：①号三角形区域面积占整个图形的面积的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①号三角形区域面积占整个图形的面积的， ∴飞镖投中①号三角形区域的概率是． 故答案为： 17. 小宇想在边长为 的正方形纸片 上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片 的面积最小，则 的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题．设 的长度为，可得，根据二次函数的性质可得：正方形纸片 的面积最小，则 的长为． 【详解】解：设 的长度为， 则， 四个直角三角形全等， ， ， 又， ， 整理得：， ， 当 时，正方形纸片 的面积最小， 正方形纸片 的面积最小，则 的长为． 故答案为：． 18. 已知 是的函数，若存在实数，当时， 的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，当时，，即，所以是函数的“ 级关联范围”．函数的“级关联范围”是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，“级关联范围”的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由二次函数的图象与性质得当时， 随的增大而增大，当时， 的取值范围是，当时，，即，解得：，因为，所以，当时，即，解得：，因为，所以，即可求解． 【详解】解： 函数开口向下，对称轴， 当时， 随的增大而增大， 当时， 的取值范围是， 当时，， 即， 解得：， ， ， 当时，， 即， 解得：， ， ， ， 函数的“级关联范围”是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算： （1）先进行乘方，去绝对值，开方，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）通分计算括号内，除法变乘法，约分化简． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原方程可化为， ， 解这个方程，得， ； （2）由，得， 由，解得 不等式组的解集为． 21. 历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．小明计划五一假期来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A.龟山汉墓；B.徐州博物馆；C.徐州户部山古民居）中随机选取一个，再从2个自然景点（D.徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________； （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下所示： 由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有1种，    ∴小明恰好选中龟山汉墓和徐州吕梁风景区的概率为． 22. 在“一盔一带”安全守护行动持续推进的背景下，某校小交警社团积极开展交通安全宣传及调研活动．从2025年2月5日起，连续6天，在每天同一时段，对某地区一个重要路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况展开了调查，并将获取的数据绘制成了如下图表．图1是2月5日—2月10日该路口骑乘人员头盔佩戴率折线统计图，图2是2025年2月9日该路口骑乘人员头盔佩戴情况的统计表： 2025年2月5日-10日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图 2025年2月9日骑乘人员头盔佩戴情况统计表 骑乘摩托车 骑乘电动自行车 戴头盔人数 27 72 不戴头盔人数 88 （1） ______________； （2）小明依据此次调查数据，认为2月10日该地区全天电动自行车骑乘人员头盔佩戴率约为．你是否认同他的观点？请说明理由． （3）统计发现每天同一时段，该路口电动自行车骑乘人员平均约为人，小交警社团于2月11日在该路口同一时段给未佩戴头盔的电动自行车骑乘人员每人发放1份交通安全知识宣传单，根据以上统计信息，判断发放宣传单的份数可能是（ ） A.180 B.126 C.92 【答案】（1）3 （2）不认同， 理由：该调查时对某地区一个重要路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行的调查，数据比较少，不具有代表性． （3）C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图和统计表，样品所占百分比求样品总量，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据题意求解2025年2月9日骑乘摩托车人员总人数，在减去戴头盔人数人即可求解． （2）不认同，一个路口不能代表全区，数据比较少，不具有代表性．通过折线统计图中，摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况，可以得出：电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传，毕竟这5天，其佩戴的百分比增长速度较慢． （3）由题意得2025年2月10日骑乘电动自行车头盔未佩戴率为 ，结合在2025年2月5日日骑乘电动自行车头盔未佩戴率逐步下降，骑乘电动自行车头盔未佩戴人数应小于： ，即发放宣传单的份数小于，结合选项即可选出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：2025年2月9日骑乘摩托车人员戴头盔人数人，头盔佩戴率为， ∴2025年2月9日骑乘摩托车人员总人数为： （人）， ∴2025年2月9日骑乘摩托车人员中不戴头盔人数为：（人）， ∴， 故答案为： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得2025年2月10日骑乘电动自行车头盔佩戴率为，且在2025年2月5日日骑乘电动自行车头盔佩戴率逐步上升， ∴2025年2月10日骑乘电动自行车头盔未佩戴率为 ，在2025年2月5日日骑乘电动自行车头盔未佩戴率逐步下降． ∴2月11日，当该路口电动自行车骑乘人员平均约为人时，骑乘电动自行车头盔未佩戴人数应小于： ， ∴发放宣传单的份数小于， ∴C选项符合要求， 故选：C． 23. 如图，在 中，点 分别在边上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明： 四边形 是平行四边形， ．① ， ，② 在 与中， ， ； 上述推理过程从第___________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）请添加一个条件___________，使四边形 是矩形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】（1）②， 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴. ∵， ∴. 在 和中， ， ∴ ； （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，再根据可得，然后根据“边角边”得出答案； 对于（2），先证明四边形 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：.（答案不唯一） ∵，， ∴四边形 是平行四边形. 当时， ∴四边形 是矩形. 故答案为：.（答案不唯一） 24. 如图， 的三个顶点坐标都是整数，点在线段 上，反比例函数的图象经过点 ． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）将 向左平移，当点 落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2） 平移的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图形平移的性质，掌握待定系数求解析式，图形平移的特点是关键． （1）由图可知点，点，点，运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法可得，则点，对于，令，根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知点，点，点， 反比例函数的图象经过点， ， ， 这个反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设，将，点，代入得， 解得， ， 令， 点， 对于，令， ∴， 解得，， 平移的距离为． 25. 某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 【答案】走路线1到达B地需要小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设走路线1到达B地需要，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设走路线1到达B地需要，10分钟小时， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：走路线1到达B地需要小时． 26. 如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（ ）”的结构简图，图2为其平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点抬高，此时碓杆绕着支点 转动．当碓头被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知于点与水平线 相交于点于点 ． （1）若 分米，分米，，求此时点到水平线 的距离（结果精确到1）．（参考数据：） （2）当点下落至时水平线 上时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点对应点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）4分米 （2） 解：如图，点即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，尺规作图等知识，解题的关键是： （1）延长 交l于D，过B作于E，在中，根据正切的定义求出 的长度，进而求出 的长度，在中，根据正弦的定义求出 的长度即可； （2）连接 ，以C为顶点，在的下方作，然后在截取即可． 【小问1详解】 解：延长 交l于D，过B作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴点到水平线 的距离为4分米； 【小问2详解】 略 27. 已知二次函数的图象经过点，与 轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点都在这个二次函数的图象上，且，求 的最大值； （3）若点是直线 上的点，二次函数图象上是否存在点（点 在点 的左侧），使得四边形是面积为2的正方形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）n的最大值为 （3）存在，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据二次函数的对称性可得出，设，则，解方程组，求出，把代入，求出n关于t的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出直线 表达式为，当 在 右上方时，如图，设直线 与y轴交于点E，过B作于F，则，，根据正切的定义求出，则可求，进而求出直线 表达式为，联立方程组，解方程组即可；当 在 左下方时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴ ， ∴二次函数的表达式； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∴点关于直线 对称， ∴， ∴， 设，则， 解方程组，得， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，n随t的增大而减小， 又， ∴当时，n有最大值为； 【小问3详解】 解：对于，令 ，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线 表达式为， 则， 解得， ∴直线 表达式为， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， 当 在 右上方时，如图，设直线 与y轴交于点E，过B作于F 则，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ∴直线 表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，符合题意； 当 在 左下方时， 同理可求直线 表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， ∴，不符合题意，舍去， 综上，当时，正方形的面积为2． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造等腰直角三角形解答． 28. 在菱形 中，，点 在射线上运动（点 与点 不重合）， 关于 的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线 与交于点 ，连接交 于点 ． （1）若，则____________ ； （2）当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； （3）直接写出的外接圆的半径 的最小值． 【答案】（1）15 （2）直线与相切， 理由： 过点E作于点H，如图， ∵四边形 为菱形， ∴， ∵ 关于 的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴直线与相切； （3）r的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质，圆周角定理解答即可得出结论； （2）过点E作于点H，利用菱形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到，则为圆的直径，利用等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，通过计算求得，则，最后利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用点的轨迹得到的外接圆为以 为弦， 所对的圆周角为 的圆，则当 取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，过点D作于点E，利用轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质得到 的长，则结论可求． 【小问1详解】 解：∵ 关于 的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的外接圆的半径r的最小值为． 由题意得：， ∴的外接圆为以 为弦，弦 所对的圆周角为 的圆， ∴当 取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值， ∵点E在射线上运动， ∴当时， 取得最小值， 过点D作于点E，如图， 此时点与点B重合， 为的外接圆的直径， ∵， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径r的最小值． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $