精品解析：2025年天津市部分区九年级中考一模数学试题

2025年天津市部分区九年级中考一模数学试 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 6 C. D. 5 2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 据国家市场监督管理总局所属中国物品编码中心统计，年消费品中的传统节日文化产品新增种，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 值等于（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A B. C. D. 12. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于； ②的最大值是； ③汽车刹车后到停下来等于． 其中，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明的袋子里装有个球，其中有个绿球、个白球、个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，则它是绿球的概率为______． 14. 计算的结果等于______． 15 计算结果等于______． 16. 若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 17. 如图，正方形的边长为，是边上一点，且，交延长线于点，平分交于点，连接． （1）的长为______； （2）的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，以的边为直径的圆交边于点，，为格点． （）线段的长为______； （）在线段上有一点，满足与以为直径的圆相切于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得______________； （2）解不等式，得______________； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______________． 20. 沐浴书香，“悦读”美好时光．某校为了解学生的课外阅读的情况，随机抽取了名学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____________，图中的值为_____________，统计的这组学生每周阅读时间数据的众数和中位数分别为_____________和_____________； （2）求统计的这组每周阅读时间数据的平均数； （3）根据样本数据，该校共有名学生，估计该校学生每周课外阅读时间大于的学生人数约为多少？ 21. 已知是的直径，为的中点，连接． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，交的延长线于点，弦与交于点，若，求的直径． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量有关高度的问题．如图，已知某建筑物底部到一斜坡底部的距离是（即），在处测得建筑物顶部的仰角为，沿斜坡走到处，在处测得点的仰角为，已知斜坡的坡角（）为，垂足为，点在同一平面内，点在同一直线上． （1）求建筑物的高度； （2）求线段的长（结果取整数）．参考数据：，取． 23. 《龟兔赛跑》是一则广为人知的寓言故事，某兴趣小组对“龟兔赛跑”进行故事新编，塑造了一只知错能改的兔子和一只坚持不懈的乌龟．新故事中兔子和乌龟在一条直线形的跑道上进行折返跑，兔子和乌龟同时从始点出发，兔子从始点匀速跑了，在距始点处发现乌龟已落后，就开始骄傲的睡了，醒来后发现乌龟已超过它，于是加快追赶，匀速跑了到达处的折返点时，还是比乌龟到达折返点晚了，小兔子认识到错误，立即返程，匀速跑了返回始点，下图中表示时间，表示离始点的距离，图象反映了这个过程中兔子离始点的距离和时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 450 ②填空：兔子从折返点返回始点的速度为_____________； ③当时，请直接写出兔子离始点的距离关于时间的函数解析式； （2）乌龟从始点匀速跑了到达折返点后，立即返程，又匀速跑了返回始点，以自己不懈的努力跑完全程．从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． （1）如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． （1）若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； （2）若点坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年天津市部分区九年级中考一模数学试 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数乘法，根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案，熟记两个有理数相乘的法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从正面所看到的图形是主视图即可求解，掌握三视图是解题的关键． 【详解】解：如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是， 故选：． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 故选：． 4. 据国家市场监督管理总局所属中国物品编码中心统计，年消费品中的传统节日文化产品新增种，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 5. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的乘法，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式乘法法则求解，最后合并即可． 【详解】解： ， 故选：． 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数，解题的关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 先由，即，然后通过即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可． 【详解】解： 故选：D． 8. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，且第一象限的函数值为正，第三象限的函数值为负， ∵， ∴． 故选：D． 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 10. 如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：、∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵为边上一点，， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项符合题意； 、∵， ∴， ∵不一定平分， ∴与不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 11. 已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， ∴选项符合题意， 故选：． 12. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于； ②的最大值是； ③汽车刹车后到停下来等于． 其中，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式，可得或，即可判断①；把二次函数转化为顶点式，即可判断②和③，综上即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 解得或， ∴汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于，故①正确； ∵， ∴的最大值是，故②正确； ∵当时，的最大值是， 即汽车刹车后到停下来等于，故③错误； 综上，正确的结论有个， 故选：． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明的袋子里装有个球，其中有个绿球、个白球、个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，则它是绿球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，概率公式等知识点，直接由概率公式求解即可，掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有个球，其中有个绿球、个白球、个红球， ∴从袋子中随机取出一个球，则它是绿球的概率为， 故答案为：． 14. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，利用平方差公式直接计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键； 【详解】解：， 故答案为：． 16. 若一次函数（是常数，）的图象经过第二、一、四象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案为不唯一，只要满足即可） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，直接利用函数经过的象限进而得出即可，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、一、四象限， ∴， ∴可以取， ∴故答案为：（答案为不唯一，只要满足即可）． 17. 如图，正方形的边长为，是边上一点，且，交延长线于点，平分交于点，连接． （1）的长为______； （2）的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）四边形是正方形，则有，，然后证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，再由中位线定理可得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接， 由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，以的边为直径的圆交边于点，，为格点． （）线段的长为______； （）在线段上有一点，满足与以为直径圆相切于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. 6 ②. 取格点，，连接，分别与格线交于点，连接，与交于点，则为中点，即圆心；取格点，连接，与圆交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，则点即为所求 【解析】 【分析】（）根据直角三角形的性质即可求解； （）取格点，，连接，分别与格线交于点，连接，与交于点，则为中点，即圆心；取格点，连接，与圆交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（）∵是圆直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图，点即为所求． 理由：根据题意可得点分别是中点，点是中点， 则， ， ∵， ∴， ∴， 结合（1）可得， ∴点为中点，即圆心， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是切线． 【点睛】该题考查了直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图象． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得______________； （2）解不等式，得______________； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______________． 【答案】（1）； （2）； （3）在数轴上表示见解析； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及把不等式组的解集画在数轴上，掌握不等式的解法是解题的关键． （）直接移项合并，即可得到不等式的解集； （）先移项，再把系数化为即可得到不等式的解集； （）根据求出的每一个不等式的解集，将解集在数轴上表示出来即可； （）取不等式的解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：解不等式得， 故答案为：； 【小问2详解】 解不等式，得， 故答案为：； 【小问3详解】 不等式和的解集在数轴上表示，如图， 【小问4详解】 ∴原不等式组的解集为． 20. 沐浴书香，“悦读”美好时光．某校为了解学生的课外阅读的情况，随机抽取了名学生，对他们每周的课外阅读时间进行了调查，根据调查结果，绘制出如下统计图和图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为_____________，图中的值为_____________，统计的这组学生每周阅读时间数据的众数和中位数分别为_____________和_____________； （2）求统计的这组每周阅读时间数据的平均数； （3）根据样本数据，该校共有名学生，估计该校学生每周课外阅读时间大于的学生人数约为多少？ 【答案】（1），，，； （2）这组每周阅读时间数据的平均数为； （3）估计该校学生每周课外阅读时间大于的学生人数约为人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，中位数，众数，平均数的求解，样本估计总体，熟练掌握相关定义是解题的关键． （）根据条形统计图可知（人），每周平均阅读时间学生有人，占，从而求出的值，再根据众数，中位数的定义即可求出众数，中位数； （）根据加权平均数的定义进行求解即可； （）用乘以一周的课外阅读时间大于的人数所占比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知（人）， ∵， ∴， 由条形统计图可知每周阅读时间的人数最多，故众数为， ∵随机抽取了名学生， ∴中位数为第，名学生的平均数，由条形统计图可知第，名学生的平均数为， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：观察条形统计图可知， 这组每周阅读时间数据的平均数为 ， 答：这组每周阅读时间数据的平均数为； 【小问3详解】 解：该校学生每周课外阅读时间大于的学生人数（人）， 答：估计该校学生每周课外阅读时间大于的学生人数约为人． 21. 已知是的直径，为的中点，连接． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，交的延长线于点，弦与交于点，若，求的直径． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）由圆周角定理得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，即可得，最后根据即可求解； （）由切线的性质得，进而得，即得，由三角函数可得，即得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵切于点， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）知， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即的直径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量有关高度的问题．如图，已知某建筑物底部到一斜坡底部的距离是（即），在处测得建筑物顶部的仰角为，沿斜坡走到处，在处测得点的仰角为，已知斜坡的坡角（）为，垂足为，点在同一平面内，点在同一直线上． （1）求建筑物的高度； （2）求线段的长（结果取整数）．参考数据：，取． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）解即可求解； （）过点作于，可得，四边形为矩形，即得，， 由得，由得，进而由可得，解方程即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，， ∵， ∴， 答：建筑物的高度为； 【小问2详解】 解：过点作于， 则，四边形为矩形， ∴，， 在中，, ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 答：线段的长约为． 23. 《龟兔赛跑》是一则广为人知的寓言故事，某兴趣小组对“龟兔赛跑”进行故事新编，塑造了一只知错能改的兔子和一只坚持不懈的乌龟．新故事中兔子和乌龟在一条直线形的跑道上进行折返跑，兔子和乌龟同时从始点出发，兔子从始点匀速跑了，在距始点处发现乌龟已落后，就开始骄傲的睡了，醒来后发现乌龟已超过它，于是加快追赶，匀速跑了到达处的折返点时，还是比乌龟到达折返点晚了，小兔子认识到错误，立即返程，匀速跑了返回始点，下图中表示时间，表示离始点的距离，图象反映了这个过程中兔子离始点的距离和时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 450 ②填空：兔子从折返点返回始点的速度为_____________； ③当时，请直接写出兔子离始点的距离关于时间的函数解析式； （2）乌龟从始点匀速跑了到达折返点后，立即返程，又匀速跑了返回始点，以自己不懈的努力跑完全程．从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①见解析；②225；③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的意义，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）①分别求出前3分钟和第43分钟到第46分钟兔子的速度，进而根据函数图象求出第1分钟和第45分钟兔子与始点的距离即可得到答案；②根据速度等于路程除以时间结合函数图象求解即可；分，，，三种情况讨论求解； （2）设从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是，根据兔子追上乌龟时二者从折返点开始所走的路程相同建立方程求解即可． 【小问1详解】 解；①∵前3分钟，兔子匀速跑了， ∴前3分钟，兔子的速度为， ∴第1分钟时，兔子的路程为； 由函数图象可知，第35分钟时，兔子在睡觉，此时与始点距离； ∵第43分钟到第46分钟，兔子匀速跑了到达处的折返点，即兔子3分钟的路程为， ∴此过程兔子的速度为， ∴第45分钟兔子与始点距离； 填表如下： 兔子离开始点的时间 1 3 35 45 兔子离始点的距离 150 450 450 1050 ②， ∴兔子从折返点返回始点的速度为； ③当时，， 当时，； 当时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解：设从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是， 由题意得，， 解得， 答：从兔子在折返点返回开始计时，到它追上乌龟，所用时间是． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． （1）如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（）过点作轴于，由三角函数可得，，即得点的坐标，再根据矩形的性质可得点的坐标； （）①过点作，垂足为，可得，进而由四边形为矩形得，又由点，点得，，即得，即可得，即可由可得，再根据得，可求出的范围； ②当时，同理可得，即得当时，，再根据二次函数的性质解答即可求出的范围； 本题考查了二次函数的几何应用，矩形的性质，解直角三角形等腰，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图①，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，点， ∴，， ∵四边形矩形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①过点作，垂足为， ∵，， ∴， 由平移可知四边形是矩形， 又∵四边形 是平行四边形， 则四边形为矩形，， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，的值最大，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最小，， ∴的范围为． 25. 已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． （1）若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； （2）若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】（）①把，代入函数解析式得，即得点坐标，再把代入函数解析式求出可得点的坐标；②过点作轴，垂足为，交于点，可得，即得，得到，即得，进而得，又由是等腰直角三角形得，即可得，解方程即可求解； （）由点的坐标为得，即得，又由得，即得，过点作，垂足为， 则，由可得，过点作，使，连接，可证，可得，即得，可知当点共线时，有最小值，最小值为，即，即得到，进而由得，即，解方程求出即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $