精品解析：Ｋ12重庆市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

K12重庆市2024—2025学年度下期期中质量诊断 八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段长度，可以构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，14 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 1，，3 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 邻边相等的四边形是菱形 5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4，求中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 14 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算__________． 12. 如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________． 13. 一根竹竿竖直立在地面上，竹竿的顶端被风吹断，竹梢触地，触地点距离竹根5尺．已知竹竿折断处距离地面的高度是12尺．则竹竿原来的高度为_________尺． 14. 如图，在矩形中，是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，已知，则的长是_________． 15. 如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和_________． 16. 如图，四边形是矩形，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，则_________，P在运动过程中，，则的最小值是_________． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，每小题8分，其余每题各10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习了菱形的判定后，小德对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了拓展性研究．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作等腰底边上的高的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O，连接、．（不写做法，只保留作图痕迹） （2）已知：如图，中， ， ，垂直平分，垂足为点O 求证：四边形是菱形． ∵，， ∴平分， ∴ ． ∵垂直平分， ∴，，． 在和中，， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是菱形． 小南进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征，请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中， ． 19. 阅读下列材料，然后回答问题． 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】，即． 的整数部分为1． 的小数部分为． ，即 的整数部分为，小数部分为 （1）化简； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求_________， _________． ②求的值． 20. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内． （1）海港C受台风影响吗？请说明理由． （2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 22. 如图在四边形中，，过点A作，垂足为E，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，求菱形的面积． 23. 如图，在矩形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段的长度：_______． （2）当时，运动时间t为多少秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． （3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 24. 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点． （1）如图1．当时，若，求的长； （2）如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：． （3）如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ K12重庆市2024—2025学年度下期期中质量诊断 八年级数学试题 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，直接利用二次根式的定义，被开方数一定大于等于零，进而得出答案． 【详解】解：A．是二次根式，故选项A符合题意； B. 是二次根式，故选项B不符合题意； C. 中被开方数小于0，故不是二次根式，故选项C不符合题意； D. 不是二次根式，故此选项不合题意； 故选：A 2. 下列各组线段长度，可以构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，14 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了能否构成直角三角形．熟练掌握三角形三边关系，勾股定理的逆定理，是解题的关键．三角形三边关系，三角形任意三边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理逐一判定即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A选项不符合题意； B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故C选项符合题意； D、，不能构成三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据乘方的运算法则对C选项进行判断；根据算术平方根的定义对D选项进行判断． 【详解】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 邻边相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质． 根据平行四边形、矩形和菱形的性质和判定对选项进行逐一判断． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定正方形，所以选项A命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的四边形，但对角线不一定互相平分，故四边形不一定平行四边形，也不一定是正方形，所以选项B命题是假命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，选项C命题是真命题，符合题意； D、邻边相等的平行四边形是菱形，所以选项B命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4，求中间小正方形（阴影部分）的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求出直角三角形的较长直角边，则可求出中间正方形的边长，然后根据正方形周长公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是41，每个直角三角形的较短直角边为4， ∴直角三角形的较长直角边的长为， ∴中间正方形的边长为， ∴中间小正方形（阴影部分）的周长为， 故选：A． 6. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．再计算出二次根式混合运算的结果，再估算出的取值范围即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， 故选：C 7. 有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故选：． 8. 如图，在四边形中，P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别是对角线，上的点，连接，，，若，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理．熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．先证明，从而证得，再证明，得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设对角线、相交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：D． 10. 若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ） ①只存在一组a和b使得； ②只存在两组a和b使得； ③不存在a和b使得； ④若只存在三组a和b使得，则的值为36或81 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时，，故结论①正确； ②， 当，则 当则．故结论②正确； ③， 当时，， 当时，，故结论③错误； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故结论④错误． 综上所述：正确结论有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题答案填在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算零指数幂和去绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是根据勾股定理求出长，再确定点D表示的数即可；先利用勾股定理求出，再根据点在数轴上的位置写出点D表示的数即可． 【详解】解：的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度， 所以， 以斜边长为半径画弧交数轴于点D， 所以 点A表示的数为，点D在点A右侧， 所以点D表示的数为， 故答案为：． 13. 一根竹竿竖直立在地面上，竹竿的顶端被风吹断，竹梢触地，触地点距离竹根5尺．已知竹竿折断处距离地面的高度是12尺．则竹竿原来的高度为_________尺． 【答案】25 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．根据题意得出尺，，，根据勾股定理得出（尺），求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：尺，，， 根据勾股定理得：（尺）， ∴竹竿原来的高度为：（尺）． 故答案为：25． 14. 如图，在矩形中，是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，已知，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，由翻折可知，，，得到，可证明，得到，，在中，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 在中， ， ， 故答案为：． 15. 如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出，再解方程求出且，根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可． 【详解】解：∵关于a的二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 即整数的值为，，，，， 解分式方程得：且， 又∵分式方程有负整数解， ∴整数的值为：，， 即所有整数a的和为， 故答案为：． 16. 如图，四边形是矩形，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，则_________，P在运动过程中，，则的最小值是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题以及三角形中位线性质，根据三角形中位线的性质得，根据直角三角形的斜边中线的性质可得，，转化所求最值为，再依据轴对称的性质得当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是，再利勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 找到点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是， 在中，，， ， ∴的最小值， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题16分，每小题8分，其余每题各10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用二次根式混合运算的方法是解决本题的关键． （1）先计算二次根式的除法，再化简二次根式，然后进行加减计算； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，并计算二次根式的除法运算，最后进行加减计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 学习了菱形的判定后，小德对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了拓展性研究．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作等腰底边上的高的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O，连接、．（不写做法，只保留作图痕迹） （2）已知：如图，中， ， ，垂直平分，垂足为点O 求证：四边形是菱形． ∵，， ∴平分， ∴ ． ∵垂直平分， ∴，，． 在和中，， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是菱形． 小南进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征，请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中， ． 【答案】（1） 如图即为所求：   （2） ， 垂直平分， 两腰的中点，底边的中点和顶点所组成的四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）按照作垂线的方法进行即可； （2）读懂推理过程，结合全等三角形和菱形的判定，完成填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线与垂线，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，理解对角线互相垂直平分的四边形是菱形是关键． 19. 阅读下列材料，然后回答问题． 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】，即． 的整数部分为1． 的小数部分为． ，即 的整数部分为，小数部分为 （1）化简； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求_________， _________． ②求的值． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握题目给出的方法，进行化简计算； （1）按照题目给出的方法分母有理化即可； （2）先分母有理化，再确定的整数部分和小数部分，代入求值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ，； 故答案为：， ②，， ． 20. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）先证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长． 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内． （1）海港C受台风影响吗？请说明理由． （2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港C受台风影响，见解析 （2）台风影响该海港持续的时间为1.4小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响， 【小问2详解】 解：如图，当，时，正好影响C港口， ∵， ∴， ∵台风的速度为， ∴（小时）， 即台风影响该海港持续的时间为1.4小时． 22. 如图在四边形中，，过点A作，垂足为E，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再证，则，进而由三角形面积求出，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴DF， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示线段的长度：_______． （2）当时，运动时间t为多少秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形． （3）当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有可能， 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键． （1）先根据题意求出，再由即可求出答案； （2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可； （3）利用平行四边形的性质得到，然后分两种情况分析：当时，点从点向点运动；当时，点从点向点运动，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；由题意得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 四边形是矩形， ∴，， 当时，四边形是矩形， 当时，点从点向点运动， ， 解得； 【小问3详解】 以、、、为顶点的四边形有可能是平行四边形， ∵， 当时，四边形是平行四边形， 当时，点从点向点运动， 由得， 解得； 当时，点从点向点运动， 由得， 解得， 综上所述：． 24. 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点． （1）如图1．当时，若，求的长； （2）如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：． （3）如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据直角三角形含角的性质可得的长； （2）如图②，过点作，交于点，则，证明和，再根据等腰直角三角形的性质可得结论； （3）如图③，当与重合时，最大，此时最大，先由勾股定理可得的长，从而可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ∵，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图②，过点作，交于点，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ， ， ∴ ， 又∵, ∴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：由折叠得：，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴当最小时，最小，最大，最大， 过点作，如图， ∵， 又∵， ∵点与点重合时，，最小，， 此时，故点、、三点共线，、互相重合；如图。 ∴最大时， ， ， 当最大时，的值为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，第（3）问有难度，点的位置受折叠后点到直线距离的限制，利用的定长作为高，推导出的最大值，进而确定的长度，这是处理几何最值问题的经典思路． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $