精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试模拟演练数学试题

方城一高2025年春期高一年级期中考试模拟演练 数学试题 命题人：杨哲；审题人：李春燕； 考试范围：北师大版必修二第一章､第二章 考试时间：4月17日 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 若是平面内所有向量一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， （北师大版必修二P105习题1改编） 2. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（  ） A. B. C. D. （人教版必修二P20练习3改编） 4. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上．则旗杆的高度为（ ） A 米 B. 15米 C. 20米 D. 米 8. 已知，在上单调递减，为的一个对称轴，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底 C. D. 在上的投影向量为 10. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 将函数图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称 C. 若是偶函数，则 D. 若区间上恰有3个零点，则 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. （北师大版必修二P111练习4改编） 13. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为__________． 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，（），则的最小值为________. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知在中，，其中内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 17. 已知两个非零向量与不共线， （1）若，求证：A､B､D三点共线； （2）试确定实数k，使得与共线； （3）若，且，求实数的值. 18. 如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点. （1）若，求、的值； （2）若是等腰直角三角形，且，求. 19. 已知函数，,的最小正周期是 （1）求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2025年春期高一年级期中考试模拟演练 数学试题 命题人：杨哲；审题人：李春燕； 考试范围：北师大版必修二第一章､第二章 考试时间：4月17日 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的概念，分别判断四个选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A选项：，共线，故不能构成基底； 对于B选项：，共线，故不能构成基底； 对于C选项：，共线，故不能构成基底； 对于D选项：假设与共线，由题他们均为非零向量，故存在非零实数，使得：，整理得：，故共线，与是平面内所有向量的一个基底矛盾，故假设不成立，所以与不共线，可以构成基底. 故选：D. （北师大版必修二P105习题1改编） 2. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦函数，正切函数的周期性和单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得， 所以函数在上单调递增，故A不符题意； 对于B，函数的周期，故B不符题意； 对于C，由，得， 所以函数在上单调递增，故C不符题意； 对于D，函数的周期， 由，得， 所以函数在上单调递减，故D符合题意. 故选：D. （人教版必修二P20练习3改编） 4. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 5. 已知扇形面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 6. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的范围直接去求的范围即可. 【详解】，，， ，， ，即， 函数，的值域为. 故选：D. 7. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，在这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上．则旗杆的高度为（ ） A. 米 B. 15米 C. 20米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】 先画出示意图，根据题意可求得，则可求，利用正弦定理可得，再在中利用即得. 【详解】如图所示，由题得，，，，由正弦定理可知，米，在中，米，即旗杆的高度为15米. 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，是基础题. 8. 已知，在上单调递减，为的一个对称轴，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先由函数的单调性转化函数周期的范围，即可求的范围，再结合函数的对称性列式，确定，再分别代入函数的解析数，由对称性求，并验证函数的单调性后，即可求解. 【详解】因为函数在内单调递减， 所以，得， 因为是函数的一条对称轴， 所以，① 因为函数是奇函数， 所以，②， 由①②可得，， 而，所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意， 所以. 故选：A 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，计算可判断；对B，根据平面向量基底的定义判断；对C，利用向量数量积运算判断；对D，根据投影向量的定义运算判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以与不共线，所以与可以作为平面的一组基底，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，则定为等腰三角形 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦函数的性质即可求解判断A；利用余弦定理推理判断B；利用向量线性运算判断C；利用三角形心的向量表示判断D. 【详解】对于A,由，,可得或者，故或者,故为等腰三角形或者直角三角形，故A错误， 对于B，由可得,,故为锐角，但无法确定，所以无法确定三角形为锐角三角形，故B错误， 对于C , 由，得，即， 则，面积是面积的，C错误； 对于D，由，得是的重心，由， 得是的外心，即的重心、外心重合，则为等边三角形，D正确； 故选：ABC 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称 C. 若是偶函数，则 D. 若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性，对称性，奇偶性和零点的判定方法依次判定即可. 【详解】对于A：时，，此时单调递增，故A正确； 对于B：曲线的解析式为，显然不关于原点对称，故B错误； 对于C：为偶函数， 则，解得，故C正确； 对于D：，当，， 所以在区间上恰有3个零点，等价于在上恰有3个零点， 所以，解得，故D正确 故选：ACD. 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量模的运算及向量数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为是单位向量，所以， ， 所以，因为，所以，即与的夹角为. 故答案为：. （北师大版必修二P111练习4改编） 13. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】以向量为方向向量的直线的斜率为， 则过点的直线的方程为， 即， 则点到直线的距离. 故答案为：. 14. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（， 交两点不重合）.若，（），则的最小值为________. 【答案】. 【解析】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 因为D，E，F三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知角终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用三角函数的定义直接求解即可； （2）结合诱导公式以及弦化切的方法即可直接求解. 【小问1详解】 角的终边经过点，且， ，解得， . 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 16. 已知在中，，其中内角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； （2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值 【小问1详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； 【小问2详解】 在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 17. 已知两个非零向量与不共线， （1）若，求证：A､B､D三点共线； （2）试确定实数k，使得与共线； （3）若，且，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证； （2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可； （3）由向量垂直的坐标表示求解即可 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴共线， 又∵它们有公共点B， ∴A､B､D三点共线； 【小问2详解】 ∵与共线， ∴存在实数，使， 即，∴， ∵是两个不共线的非零向量， ∴， ∴，解得； 【小问3详解】 ∵， 且， ∴， 解得. 18. 如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点. （1）若，求、的值； （2）若是等腰直角三角形，且，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量基本定理可得出关于、的表达式，即可得出、的值； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得的值. 【小问1详解】 因为为的中点，，所以，， 所以，， 又因为，所以，． 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，故. 19. 已知函数，,的最小正周期是 （1）求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式可解得，从而得出解析式，结合正弦函数的单调性即可求得增区间； （2）根据伸缩平移变换可得的解析式，结合为对称中心，从而求得的最小值； （3）在（2）的条件下结合，利用三角函数的图象性质，数形结合即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减. 故函数的单调递增区间为：. 【小问2详解】 由题意，的图象向右平移个单位， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象， 依题意，，解得， 因，则当时，此时的最小值为. 【小问3详解】 当取最小值时，， 当时，， 此时， 因恰有两个实数根，故与的图象有两个交点， 结合图象可知，即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $