精品解析：湖北省荆楚联盟2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷　

荆楚联盟2024～2025学年度下学期期中考试 七年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分（附加题另15分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图，乐乐用手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，为保证两条钢轨平行，添加的下列条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A. 减小 B. 减小 C. 增大 D. 与的和不变 5. 下列数据中不能确定物体的位置的是（ ） A. 一单元202号 B. 电影院6排8号 C. 人民路75号 D. 北偏东 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 同角的余角相等 D. 互补的角是邻补角 9. 如图，直线与相交于点 O，已知射线将分成了两部分，若，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，将四边形折叠，折痕为，连接并延长交延长线于点，若，，平分．则下列结论：①．②；③平分；④．其中错误的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 12. 如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出几何模型，若，，，则______． 13. 夏季荷花盛开，为便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为______． 14. 若，且是两个连续整数，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点的坐标为______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 求未知数： （1）； （2）． 18. 如图，射线端点在直线上，按下列步骤画图并填空． （1）①在射线上取点； ②过点作直线平行于直线； ③用量角器作的平分线，交直线于点； ④作射线，交直线于点； （2）若，则______； （3）用等式表示与的数量关系：______． 19. 如图是小华所在学校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，1个单位长度表示．小华建立平面直角坐标系，得到生物园的坐标为，办公楼的坐标为，学校大门、教学楼、实验楼和操场的位置都在网格线的交点上． （1）在图中画出符合条件的平面直角坐标系； （2）用坐标表示下列位置：操场______，实验楼______； （3）若艺术楼在教学楼以东300米，再往北200米，请在图中标出来．（不必写坐标） 20. 如图，将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）画出平移后的，并写出点的坐标； （2）点是内部一点，写出平移后对应点的坐标； （3）若为轴上一点，且，则点坐标为______． 21. 某学习小组进行如下探究活动： 探究1：如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，探求大正方形的边长． 探究2：如图2，用面积为的正方形纸片，沿纸片的边的方向裁出一个面积为的长方形，使裁出的长方形纸片的长、宽之比为． 解决问题： （1）图1拼成的大正方形的边长是否为有理数？请说明理由； （2）图2能否裁出符合要求的长方形纸片？为什么？ 22. 已知：如图，点分别是的边上的点． （1）给出下列三个论断：①；②；③．请你用其中两个论断作为题设，另一个论断作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 题设：______；结论：______（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若平分，，求的度数． 23. 如图1，点为直线，内部一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，为上一点，连接并延长交于点，若，过点作于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 24. 已知，，，在第二象限，且点到两坐标轴的距离都为，其中满足：． （1）填空：______，______，______； （2）如图，过点作直线，与轴交于点． ①求的面积和点的坐标； ②点是射线上一点，点是线段上一点．若，，求的值． 附加题（15分） 25. 某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． （1）如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． （2）如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． （3）若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆楚联盟2024～2025学年度下学期期中考试 七年级数学试卷 本试卷共6页，满分120分（附加题另15分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A．0，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B．，是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； C．，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； D．，是分数属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，乐乐用手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标特征，熟记各个象限内点的坐标特征，结合所给四个选项逐个判定即可得到答案． 【详解】解：如图，乐乐用手盖住的点在第二象限， 结合选项可知，可能的坐标为， 故选：C． 3. 如图，已知，为保证两条钢轨平行，添加的下列条件中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一分析即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：A、和是邻补角，，不能直接保证两条钢轨平行，故选项符合题意； B、和是同旁内角，，两条钢轨平行，故选项不符合题意； C、和是同位角，，两条钢轨平行，故选项不符合题意； D、和是内错角，，两条钢轨平行，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 将两根矩形木条如图放置，固定其中一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A. 减小 B. 减小 C. 增大 D. 与的和不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，邻补角的定义等知识点，熟练掌握对顶角的性质和邻补角的性质是解题的关键：对顶角相等，邻补角互补． 根据对顶角的定义、邻补角的定义进行解答即可． 【详解】解：A. 和是邻补角，若增大，则减小，该说法正确，故选项符合题意； B. 和是对顶角，若增大，则也增大，原说法错误，故选项不符合题意； C. 和是邻补角，若增大，则减小，原说法错误，故选项不符合题意； D. 和都与是邻补角，若增大，则和都减小，与的和减小，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 5. 下列数据中不能确定物体的位置的是（ ） A 一单元202号 B. 电影院6排8号 C. 人民路75号 D. 北偏东 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定点的位置，解题关键是明确确定物体位置至少需要两个及以上的要素； 确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据．据此逐项进行判断即为． 【详解】A．一单元202号，明确了单元和房间号，能确定物体的位置，故本选项不合题意； B．电影院6排8号，给出了电影院内的排数和座位号，能确定物体的位置，故本选项不合题意； C．人民路75号，指明了道路名称和门牌号，能确定物体的位置，故本选项不合题意； D．北偏东，只给出了方向，没有距离等其他信息，不能确定物体的位置，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根及立方根，熟练掌握算术平方根、平方根及立方根相关性质是解题关键． 根据平方根，算术平方根和立方根的法则分别计算，进而判断得出答案． 【详解】A．，原式计算错误，故此选不项符合题意； B．，无法化简，故此选项不合题意； C．，原式计算错误，故此选不项符合题意； D．，计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 8. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 同角的余角相等 D. 互补的角是邻补角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题和定理，熟练掌握平行线的性质，对顶角的定义，余角的性质，邻补角的定义是解题的关键． 根据平行线的性质，对顶角的定义，余角的性质， 邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】解∶A．两直线平行，同位角相等，故同位角相等是假命题，不符合题意； B．相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意； C．同角的余角相等是真命题，故该选项符合题意； D．相邻且互补的角是邻补角，故该选项不符合题意； 故选∶C． 9. 如图，直线与相交于点 O，已知射线将分成了两部分，若，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 10. 如图，将四边形折叠，折痕为，连接并延长交延长线于点，若，，平分．则下列结论：①．②；③平分；④．其中错误的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，翻折的性质等知识，利用平行线的性质可得，从而得出，即可得出①正确，由平行线的性质和翻折的性质可知②正确；根据平行线的性质可得，若平分，则可证明，根据现有条件无法说明，从而得不到平分，故③错误；设，则，再利用翻折和平行线的性质表示出的度数，从而判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ， 四边形折叠， ，故②正确； 平分， ， ， ， 若平分，则， ∴，即， 根据现有条件无法说明，即不能说明，故得不到平分，故③错误； 设， 则， ， ，， ，故④正确， 综上所述，错误的有③， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 【答案】-1.010010001......(答案不唯一） 【解析】 【详解】根据无理数的定义，指无限不循环小数，答案不唯一. 12. 如图1为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、对顶角性质等知识．根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质得到，最后由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 13. 夏季荷花盛开，为便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可知，小桥的总长为长方形周长的一半，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知： 小桥的总长为长方形周长的一半，即：， 故答案为：． 14. 若，且是两个连续整数，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题关键．利用夹逼法求出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故答案为：5． 15. 如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按图中箭头所示方向依次运动，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点的坐标为______． 【答案】（2024，1） 【解析】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点， ∴点的运动规律是每运动四次向右平移4个单位， 则， ∴动点第2025次运动时向右个单位， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为： ． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算； （1）先进行算术平方根、立方根运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先去绝对值、二次根式的乘法，然后合并求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 求未知数： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查运用平方根和立方根解方程，灵活掌握一个数的平方根和立方根是解答本题的关键． （1）先移项，再开方即可得解； （2）方程移项后，两边同乘以3，再开立方，即可得到方程的解． 【小问1详解】 解：， ， 或； 小问2详解】 解： ， ， ， ． 18. 如图，射线的端点在直线上，按下列步骤画图并填空． （1）①在射线上取点； ②过点作直线平行于直线； ③用量角器作的平分线，交直线于点； ④作射线，交直线于点； （2）若，则______； （3）用等式表示与的数量关系：______． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查画平行线、作角平分线和垂线，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质以及垂直定义是解答的关键． （1）按步骤作图即可； （2）根据角平分线得到，再根据两直线平行，内错角相等解题即可； （3）根据垂直的定义可得，然后根据等量代换得到结论即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 19. 如图是小华所在学校的平面示意图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，1个单位长度表示．小华建立平面直角坐标系，得到生物园的坐标为，办公楼的坐标为，学校大门、教学楼、实验楼和操场的位置都在网格线的交点上． （1）在图中画出符合条件的平面直角坐标系； （2）用坐标表示下列位置：操场______，实验楼______； （3）若艺术楼在教学楼以东300米，再往北200米，请在图中标出来．（不必写坐标） 【答案】（1）平面直角坐标系见解析部分 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用，熟练运用平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据题意，建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系得到各点坐标； （3）在图中标出艺术楼点坐标即可． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图， 【小问2详解】 解：根据（1）中坐标系可得操场，实验楼； 【小问3详解】 解：艺术楼如图． 20. 如图，将向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）画出平移后的，并写出点的坐标； （2）点是内部一点，写出平移后对应点的坐标； （3）若为轴上一点，且，则点的坐标为______． 【答案】（1）见解析， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，坐标与图形： （1）根据所给平移方式描点，最后顺次连接即可； （2）根据“上加下减，左间右加”平移规律求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积计算公式列方程求解即可． 小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为 【小问2详解】 解：若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意设点的坐标为， ∵ ∴， 解得，， 即点的坐标为或， 故答案为：或． 21. 某学习小组进行如下探究活动： 探究1：如图1，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，探求大正方形的边长． 探究2：如图2，用面积为的正方形纸片，沿纸片的边的方向裁出一个面积为的长方形，使裁出的长方形纸片的长、宽之比为． 解决问题： （1）图1拼成的大正方形的边长是否为有理数？请说明理由； （2）图2能否裁出符合要求的长方形纸片？为什么？ 【答案】（1）大正方形的边长是有理数，见解析 （2）不能裁出符合要求的长方形纸片，见解析 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的应用，能根据题意列出算式或方程是解题关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，列方程，求出长方形的长与宽，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可． 【小问1详解】 解：两个小正方形纸片的面积为， 那么拼成一个大正方形后的面积为， 大正方形边长为， 大正方形的边长是有理数； 【小问2详解】 解：不能裁出符合要求的长方形纸片，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得， 解得或（负值，舍去）， ∴长方形的长为，宽为， ， ， ； 又∵，，不符合题意， 不能用这块纸片剪出符合要求长方形纸片． 22. 已知：如图，点分别是的边上的点． （1）给出下列三个论断：①；②；③．请你用其中两个论断作为题设，另一个论断作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 题设：______；结论：______（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平角的定义等等； （1）任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可； （2）根据（1）的结论结合平角的定义和已知条件可得，求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【小问1详解】 解：①③为条件，②为结论， 证明如下：， ， ， ， ． ①②为条件，③为结论，证明如下： ，， ，， ； ②③为条件，①为结论，证明如下： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， ，，， ， ， ， ． 23. 如图1，点为直线，内部一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，为上一点，连接并延长交于点，若，过点作于点，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及判定，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． （1）过点作，得到，继而得到，再由内错角相等，两直线平行可证明，最后根据平行的传递性即可证明； （2）由，得到，继而得到，再由，得到，然后通过等量代换得到，最后由三角形内角和定理得到． 【小问1详解】 证明：过点作， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 ， 证明如下：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 24. 已知，，，在第二象限，且点到两坐标轴的距离都为，其中满足：． （1）填空：______，______，______； （2）如图，过点作直线，与轴交于点． ①求的面积和点的坐标； ②点是射线上一点，点是线段上一点．若，，求的值． 【答案】（1） （2）①7，；②的值为0或2 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得，由此可得的值； （2）①如图，作如图所示的长方形．根据，得出，连接，根据，得出，即可求出，结合，即可得出； ②分为（i）当点在线段的延长线上时，和（ii）当点在线段上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 又 ∵， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①如图，作如图所示的长方形． ， ， 连接， ， ， ， ， ， ； ②（i）当点在线段的延长线上时，如图，设交轴于点， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （ii）当点在线段上时， 如图，∵， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 综上所得，的值为 0 或 2 ． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，点的坐标，平行线的性质，三角形的面积，理解非负数的性质，点的坐标，熟练掌握平行线的性质，三角形的面积计算是解决问题的关键． 附加题（15分） 25. 某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． （1）如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． （2）如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． （3）若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）3秒，58秒，93秒，118秒 （3）能垂直，A灯旋转秒或45秒 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． 【小问2详解】 设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． 【小问3详解】 设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$