精品解析：湖南省长郡教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

八年级期中检测试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共24个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据形如的方程为一元二次方程，进而可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知：是一元二次方程，故D符合题意； A、B、C都不是一元二次方程，故不符合题意； 故选D． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查自变量的取值范围及分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不等于0求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选C． 3. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的增减性：①当，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小．由题意可知，即可求解． 【详解】解：在直线上，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得到关于的方程，再解关于的方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 故选：B． 5. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 故选：B． 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，准确理解是解题的关键． 根据比例系数得到相应的象限，进而根据常数得到另一象限，判断即可； 【详解】解：∵， ∴一次函数经过二四象限， ∵， ∴一次函数又经过第三象限， ∴一次函数的图象不经过第一象限． 故选：A． 7. 如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，取得最大值 D. 当时，取得最小值 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查函数的图象与性质，读懂图象是解题的关键． 根据函数的图象对各项分析判断即可． 详解】解：观察图象可知： A、当时，图象呈上升趋势，随的增大而增大，选项正确，符合题意； B、当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项错误，不符合题意； C、∵射线， ∴当时，不是最大值，选项错误，不符合题意； D、∵射线， ∴当时，不是最小值，选项错误，不符合题意； 故选：A． 8. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形判定方法依次判断即可得出结果． 【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键． 9. 如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握中位线的性质是解答本题的关键． 根据为的中位线，可得，，即，结合，可得，即，即可解答． 【详解】∵为的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】连接，可证四边形是平行四边形，故；在的延长线上截取，连接，则；由即可求解． 【详解】解：如图，连接 在矩形中， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 则 在的延长线上截取，连接 则 ∵ ∴ 连接，则 ∵ ∴的最小值为 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用．正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的两根关系，理解两根之和为，是解答关键． 根据一元二次方程的两根关系来求解． 【详解】解：，是方程的两个根， ． 故答案为：． 12. 一次函数的图象经过点，则一次函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标一定满足其函数解析式，据此把点的坐标代入解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，，则________°． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 【详解】解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 14. 若关于的方程不存在实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求出的取值范围. 【详解】解：∵关于的方程不存在实数根， ∴， 解得：； 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练利用根的判别式求参数. 15. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，点的坐标特征以及勾股定理的应用，解题关键是利用矩形性质将求的长转化为求对角线的长． 根据点坐标得到两直角边长度，运用勾股定理计算出的长度，利用矩形对角线相等的性质，将求的长转化为求的长即可． 【详解】解：如图所示： 连接、，过点向轴作垂线，垂足为，向轴作垂线，垂足为 ， ∵点D的坐标是，O是原点， ∴， ， 在中， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 16. 如图，的对角线与相交于点．若，则的长是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 三、解答题（第17题每小题3分，共计12分；18~22题每小题8分；23~24题每小题10分；共计72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键。 （1）运用平方差公式因式分解，化为两个一元一次方程，求解即可； （2）利用因式分解法，即可解答； （3）利用配方法，即可解答； （4）提公因式后利用因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解： ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，； 【小问3详解】 解： ∴或 ∴，； 【小问4详解】 解： ∴或 ∴，； 18. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个一次函数图象上． 【答案】（1） （2）点不在这个一次函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式和求一次函数的函数值，正确求出一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时y的值即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过和两点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴点不在这个一次函数图象上． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再由得出，确定，即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求的值； （2）请根据图象直接写出时，的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴取值范围是． 【小问3详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 21. 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，含30度角的三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）证明，得到，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形的性质及三角形内角和定理得出，再由含30度角的直角三角形的性质确定，利用勾股定理得出．再由等角对等边确定，结合图形即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. “书香中国，读领未来”．4月23日是世界读书日，我市某书店计划同时购进，两类图书．已知购进2本类图书和3本类图书共需88元；购进3本类图书和2本类图书共需92元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划购进，两类图书共100本，其中购进类图书本．已知书店计划将类图书每本的售价定为33元，类图书每本的售价定为30元． （ⅰ）假设所采购的，两类图书能够全部销售完，该书店所获利润为元．请你写出利润与之间的函数关系式； （ⅱ）若类图书的购进数量不少于40本，在（ⅰ）的条件下，该书店如何进货才能使本次销售所获的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每本A类图书的进价为20元，每本B类图书的进价为16元 （2）（ⅰ）；（ⅱ）购进A类图书40本、B类图书60本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为1360元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键． （1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出购进B类图书本，然后列出函数关系式即可；（ⅱ）根据题意确定，然后结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每本A类图书的进价为a元，每本B类图书的进价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：每本A类图书的进价为20元，每本B类图书的进价为16元． 【小问2详解】 解：（ⅰ）购进，两类图书共100本，其中购进类图书本， ∴购进B类图书本， 根据题意得：； （ⅱ）∵， ∴随的增大而减小， 根据题意得：且， ∴， ∴当时，取得最大利润为：元， 此时，， ∴购进A类图书40本、B类图书60本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为1360元． 23. 如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点． （1）若，请求出的值； （2）求证：是的中点； （3）请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）是定值，为 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、三角形内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． （1）根据矩形的性质及角平分线得出是等腰直角三角形，结合题意及线段长即可得出结果； （2）根据题意及各角之间的关系确定，，，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）由（2）得，设，则，确定，，，再由全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，由勾股定理得出，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，的平分线交于点，于点， ∴，， ∴与是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即是中点； 【小问3详解】 是定值，理由如下： 由（2）得， ∴， 设，则， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． （1）若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； （2）如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； （3）一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）3 （3）（ⅰ）或；（ⅱ）存在，或或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的基本性质，利用平行四边形的性质求解，理解新定义“沉毅函数”，进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意确定，然后将点E代入求解即可； （2）根据题意整理得，然后代入一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”，确定点M和N的纵坐标分别为3和1，确定其横坐标为，即可求解； （3）（ⅰ）根据题意确定，分别代入两个一次函数得出，然后分两种情况分析：当时，即时，当时，即时，结合一次函数的性质求解即可； （ⅱ）根据题意确定，得出的“沉毅函数”为，然后分两种情况分析：当以为边，当以为对角线时，分别利用平行四边形的性质列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数为“沉毅函数”， ∴， 将点代入得：； 【小问2详解】 根据题意得：点坐标在上， ∴， ∴， ∴一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”为：， ∵，，，， ∴点M和N的纵坐标分别为3和1， ∴当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； ∴， ∴； 【小问3详解】 （ⅰ）∵， ∴， ∴，， ∴， 当时，即时，y随x的增大而增大， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 当时，即时，y随x的增大而减小， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 综上可得：或； （ⅱ）根据题意，联立得：， 解得：， ∴， ∴的“沉毅函数”为， 当以为边，当点H在上时， 设， ∵，， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 当以为对角线时，点H在上时， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 综上可得：或或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中检测试卷数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共24个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 4. 若关于一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而增大 C 当时，取得最大值 D. 当时，取得最小值 8. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 9. 如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. 32° D. 10. 如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（ ） A. 22 B. 24 C. 25 D. 26 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 设，是方程两个根，则________． 12. 一次函数的图象经过点，则一次函数的解析式为________． 13. 如图，在四边形中，，，，则________°． 14. 若关于的方程不存在实数根，则的取值范围是__________． 15. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________． 16. 如图，对角线与相交于点．若，则的长是___________． 三、解答题（第17题每小题3分，共计12分；18~22题每小题8分；23~24题每小题10分；共计72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个一次函数图象上． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 20. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求的值； （2）请根据图象直接写出时，的取值范围； （3）求的面积． 21. 如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，，求的长． 22. “书香中国，读领未来”．4月23日是世界读书日，我市某书店计划同时购进，两类图书．已知购进2本类图书和3本类图书共需88元；购进3本类图书和2本类图书共需92元． （1），两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划购进，两类图书共100本，其中购进类图书本．已知书店计划将类图书每本的售价定为33元，类图书每本的售价定为30元． （ⅰ）假设所采购的，两类图书能够全部销售完，该书店所获利润为元．请你写出利润与之间的函数关系式； （ⅱ）若类图书的购进数量不少于40本，在（ⅰ）的条件下，该书店如何进货才能使本次销售所获的利润最大，最大利润是多少元？ 23. 如图，在矩形中，．的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点． （1）若，请求出的值； （2）求证：是的中点； （3）请判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 24. 定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． （1）若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； （2）如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； （3）一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $