精品解析：2025年湖北省黄冈市九年级中考调研考试数学试题

黄冈市2025年春季九年级调研考试 数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位直． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将9540000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 2. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，掌握三视图的定义和画法是解题的关键． 根据俯视图的定义即可解答． 【详解】解：俯视图是从上面看，平面图形三列两行，中间列为两个小正方形，每行分别为两个小正方形，B图形符合． 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 4. 小丽同学把一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，理解三角板中角度的大小关系，掌握角度计算方法，三角形内角和定理是关键． 根据三角板中角度的关系，运用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 在中，， 故选：B ． 5. ，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把，，，按照从小到大的顺序排列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴和相反数比较即可． 【详解】解：因为从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|， 所以a＜-b＜b＜-a， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a、b的位置得出-a和-b的位置是解此题的关键． 6. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可． 【详解】解：换人前平均身高为：， 换人后平均身高为：， 换人前的方差为： ， 换人前的方差为： ， ∵，， ∴平均数不变，方差变大，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差． 7. 魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，连接FB．若，则FB的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、圆与正多边形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由题意可得，，进而得到，如图：过A作，根据等腰三角形的性质可得，30度直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求得，进而完成解答． 【详解】解：∵六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴ 如图：过A作， ∴， ∴， ∴． 故选D． 8. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 与的周长之比为 D. 与的面积之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 9. 已知抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 抛物线与轴的另一个交点是 C. 方程有两个相等的实数根 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．由题意可得抛物线的对称轴为直线，即，抛物线有最大值3，再根据函数图象的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标为，即B选项错误；再说明，即可判定A选项；根据二次函数与一元二次方程的关系可得判断C选项；由可得，再结合即可判定D选项． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点， ∴抛物线的对称轴为直线，即，抛物线有最大值3， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为，即B选项错误； ∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即， ∵抛物线有最大值3， ∴，， ∴，所以A选项错误； ∵抛物线有最大值3， ∴有两个相等的实数根，即C选项正确； ∵， ∴， ∴，即D选项错误． 故选C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 10. 把向东走4米记作+4米，那么向西走6米记作_____米． 【答案】-6 【解析】 【分析】向东记为正，则向西就记为负，由此解答即可 【详解】如果把向东走4米记作+4米，那么向西走6米记作：﹣6米． 故答案为：﹣6 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 11. 春节期间，小黄和小刚为各自的母亲买一束鲜花，现有两种鲜花可供选择：康乃馨和郁金香，两人恰好选择到同种鲜花的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法以及概率公式是解答本题的关键． 先根据题意列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择到同种鲜花的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：将康乃馨、郁金香分别记为A，B，C， 列表如下： A B A （A，A） （A，B） B （B，A） （B，B） 共有4种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种鲜花的结果有2种， ∴两人恰好选择到同种鲜花的概率为． 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的加减运算等知识点，灵活对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，由可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为8． 13. “美丽乡村建设”小组乘汽车赴 处的农村进行调研，前一段路为国道，后一段路为乡村公路，汽车在国道和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该小组到达目的地的时间为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知汽车在乡村公路上1小时行驶的路程为，据此可得汽车在乡村公路上的行驶速度，进而可求出汽车在乡村公路上行驶的时间，据此可得答案． 【详解】解；由函数图象可知，汽车在乡村公路上行驶的速度为， ∴该小组到达目的地的时间为， 故答案为：． 14. 如图，已知中，，，，D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在点的位置，若，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、一元一次方程、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 如图：延长交于E，由，先说明与重合，即可求得；再根据角平分线的性质可得，设，则，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图：延长交于E，过C作，则， ∵， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，使点B落在点的位置， ∴， ∴， ∴，即与重合， ∴； ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵中，，，， ∴，， ∴， ∵，即，解得：， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（共9小题，共75分） 15. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减． 此题考查了绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 16. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定定理成为解题的关键． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论． 【详解】略 17. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验步骤 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动，（摆线的长度变化忽略不计） 实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，．，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，灵活运用三角函数解决实际问题成为解题的关键． 分别在、中解直角三角形求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，．，； ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴． ∴的长为． 18. 为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 【收集数据】 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下： 80 82 84 85 86 86 88 88 89 90 92 93 94 95 95 95 99 99 100 100 【整理、描述数据】 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 7 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___，___，___； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，____同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 【答案】（1）4，91，95 （2）甲 （3）350人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、用样本估计总体、中位数、众数的意义等知识点，理解各个统计量的意义及特点是解题的关键． （1）根据八年级的分数得，第10，11名学生的成绩为90分、92分，即可求出中位数b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值； （2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，据此即可解答； （3）用八年级不低于95分的比例乘以总人数求解即可． 【小问1详解】 解：由八年级的分数得，分数在有4个， ， 八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分， （分）， 八年级成绩的95分出现了3次，次数最多， ． 故答案为：4，91，95； 【小问2详解】 解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分， ∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人， 所以（人）， 答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人． 19. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使成立的的值． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键． （1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点A的坐标为； 当，则，解得：， ∴点B的坐标为． ∵一次函数过A、B两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于M， ∴点M的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当或时，． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门高为．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）通过计算判断小明此次射门能否射入球门内； （3）守门员扑救的最大高度为，如果守门员正对足球，在足球下降阶段能够封堵住这次射门，那么他出击离球门不能超过多少米？ 【答案】（1） （2）球能进球门内 （3）他出击离球门不能超过． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）令，得到即可判断； （3）将代入抛物线解析式，求出对应的x的值，再根据足球在下降阶段确定符合条件的x值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线为， 把代入得， 解得： ， ∴抛物线表达式为：． 【小问2详解】 解：当时，， ∴球能进球门内． 【小问3详解】 解：将代入抛物线解析式， 得：， 解得：或6， 因为足球在下降阶段，对称轴为，下降阶段， 所以取， 所以他出击离球门不能超过． 22. （1）【问题发现】如图1，在中，，，过点A作的垂线，垂足为点D，作关于的对称图形，若，则______． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，将绕点B旋转至如图2所示的位置，A点的对应点为，E点的对应点为，连接．求证：； （3）【结论运用】如图3，若的直角边，过点A作的垂线，垂足为点D，作关于的对称图形，将绕点B旋转至如图3所示的位置（此时C，，三点共线）时，求的值． 【答案】（1）4， （2）证明：在（1） 的条件下：， ∵将绕点B旋转至如图2所示的位置，A点的对应点为，E点的对应点为， ∴ ， ∴，，即， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”以及已知条件可得，根据“直角三角形两锐角互余”得，由已知及轴对称的定义可得：，从而根据直角三角形中的边角关系得到，进而完成解答； （2）在（1）的条件下可得，由旋转的性质可得，从而得到、即可证明结论； （3）设，则，，再证明可得、，再根据正余弦定理可得，即，从而得到，再根据勾股定理列方程求得，最后作比即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：若的直角边， 设，则，， 同理（2）可得：， ， ∴， ∴， ∴， 由和，得：， ∴，， 当三点共线时，， 在中，由勾股定理，得： ∴， 整理，得：， 解得：（已舍弃负值）， ，即的值为． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点的坐标为，求四边形的面积； （3）如图1，点是抛物线上一动点，且在直线上方．过点作轴，交直线于点，过点作，交直线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求关于的函数解析式（不需要注明的取值范围）； ②满足的点分别记作点，，如果将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为．如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过，两点，设抛物线的交点式，再由抛物线与轴交于点，将代入解析式求解即可得到答案； （2）根据题意，，，，，，由四边形的面积，代值求解即可得到答案； （3）①根据题意，求出，利用两点之间距离公式表示出，即可得到关于的函数解析式；②由①中解析式，当时，解一元二次方程得到点，，求出直线，结合抛物线平移性质，设顶点式，最后由该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过，两点， 设， 抛物线与轴交于点， 将代入得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示： ，，，，， 四边形的面积； 【小问3详解】 解：①、， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线； 同理，、，则直线， 点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为， ，且， ，则设直线， 将代入直线，得， 直线， 交线段于点， 联立方程组得，解得，即， ， 关于的函数解析式为； ②由①知， 当时，得，即， ，解得或， 则、， 设直线， 将、代入可得， 解得， 直线， 将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上， 设平移后的抛物线的顶点横坐标为，则顶点坐标为， 平移后的抛物线为， 该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，，， 当抛物线过点时，，即，解得或； 当抛物线过点时，，即，解得或； 当时，抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点； 联立，消去得， 当抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点时， ，即，解得， 此时，将代入得， 解得，满足线段中的要求， 即当时，抛物线与线段也只有一个交点； 综上所述，抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度很大，涉及待定系数法求二次函数解析式、两点之间距离公式、平面直角坐标系中求图形面积、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线交点问题、一次函数图象的平移、抛物线的平移、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，熟记二次函数图象与性质，理解并掌握二次函数综合问题的相应解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄冈市2025年春季九年级调研考试 数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位直． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年1月17日上午，国家统计局发布数据，2024年全年出生人口约为9540000人，9540000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小丽同学把一副三角板按如图所示的方式放置，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. ，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把，，，按照从小到大的顺序排列（ ） A. B. C. D. 6. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7. 魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．如图，六边形是的内接正六边形，连接FB．若，则FB的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 与的周长之比为 D. 与的面积之比为 9. 已知抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 抛物线与轴的另一个交点是 C. 方程有两个相等的实数根 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 10. 把向东走4米记作+4米，那么向西走6米记作_____米． 11. 春节期间，小黄和小刚为各自的母亲买一束鲜花，现有两种鲜花可供选择：康乃馨和郁金香，两人恰好选择到同种鲜花的概率为______． 12. 已知，则______． 13. “美丽乡村建设”小组乘汽车赴 处的农村进行调研，前一段路为国道，后一段路为乡村公路，汽车在国道和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该小组到达目的地的时间为______． 14. 如图，已知中，，，，D是边上的一点，将沿直线翻折，使点B落在点的位置，若，则_______，_______． 三、解答题（共9小题，共75分） 15. 计算：． 16. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．求证：四边形是菱形． 17. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验步骤 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动，（摆线的长度变化忽略不计） 实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，．，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 18. 为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 【收集数据】 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级学生的分数如下： 80 82 84 85 86 86 88 88 89 90 92 93 94 95 95 95 99 99 100 100 【整理、描述数据】 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 7 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___，___，___； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，____同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 19. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出使成立的的值． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门高为．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）通过计算判断小明此次射门能否射入球门内； （3）守门员扑救的最大高度为，如果守门员正对足球，在足球下降阶段能够封堵住这次射门，那么他出击离球门不能超过多少米？ 22. （1）【问题发现】如图1，在中，，，过点A作的垂线，垂足为点D，作关于的对称图形，若，则______． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，将绕点B旋转至如图2所示的位置，A点的对应点为，E点的对应点为，连接．求证：； （3）【结论运用】如图3，若的直角边，过点A作的垂线，垂足为点D，作关于的对称图形，将绕点B旋转至如图3所示的位置（此时C，，三点共线）时，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点的坐标为，求四边形的面积； （3）如图1，点是抛物线上一动点，且在直线上方．过点作轴，交直线于点，过点作，交直线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求关于的函数解析式（不需要注明的取值范围）； ②满足的点分别记作点，，如果将（1）中的抛物线平移，且顶点始终在直线上，设平移后的抛物线的顶点横坐标为．如果该抛物线在移动过程中，与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $