精品解析：2025年广东省深圳市宝安区西乡中学中考数学模拟（4月）

深圳市中考数学模拟试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 实数a与b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（角的顶点在直尺的边上），若，则（ ） A. B. C. D. 5. 列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　） A. B. C D. 6. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 95米 B. 米 C. 190米 D. 米 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 10. 如图，从一个大正方形中截去面积为和两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为______． 11. 如图，在矩形中，， ，以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留π） 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则______． 13. 在中，，，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，则的值为______． 三．解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某校为了加强反霸凌相关方面教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 17. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖． （1）当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱？ （2）写出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）的关系式． （3）小明现有31元，只去一个超市购买，最多可以买多少本练习本？ 18. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若半径为3，，求、的长． 19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，开口向下的抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC，BC． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）若直线BC：， ①在直线BC上方的抛物线上找一点Q，使得△BCQ的面积为6，求点Q的坐标； ②试在y轴上找一点N，连接AN，使AN+CN的值最小，此时点N的坐标是 ，AN+CN的最小值为 ； （3）若在第四象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 20. 已知：中，E在上，F在上，． （1）如图1，D、F重合，，，，求的长． （2）如图2，若F为中点，，求． （3）如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市中考数学模拟试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，C中的图形是轴对称图形，选项B中的图形是中心对称图形，选项D中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B． 2. 实数a与b在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的乘法法则的含义，根据数轴可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题中数轴知：，， ∴，，， ∴C正确； 故C符合题意， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，单项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误；   故选：C ． 4. 将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（角的顶点在直尺的边上），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 5. 列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案． 【详解】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意； B．由此作图可知BA=BP，不符合题意； C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意； D．由此作图可知PA=PC，符合题意. 故选D． 【点睛】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键. 6. 同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如和．在一次制取的实验中，和的原子个数比为，和的原子个数比为，若制取的化学方程式为，实验反应恰好生成，则反应生成的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：反应的化学方程式为， 和的原子个数比为，和的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可． 本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得， 故选：A． 8. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ） A. 95米 B. 米 C. 190米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．该主塔为，在中，利用正切函数的定义求得，同理，在中，求得，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，该主塔为， 由题意，得：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴该主塔的高度为米． 故选：B 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，； 故答案为：1． 10. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，， ，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，则图中阴影部分的面积是___________．（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，用矩形的面积减去扇形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】在矩形中，，， ， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴点， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍）， 则点， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 13. 在中，，，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理．过点A作于点P，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得和，求得，，在中，求得，推出，由，求得，，，进而得，设，，则，，由正切函数，，即可求解． 【详解】解：过点A作于点P，过点E作交的延长线于点F，如图所示： ∴， 在中，， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， 中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，， ， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 解得：， ， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简各项后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 15 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 16. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【答案】（1）4，35，； （2）名； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数； （2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解； 【小问1详解】 解：， ， 即， 将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93， ∴20名学生成绩的中位数为：， 故答案为：4，35，； 【小问2详解】 解：(名)， ∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， ∴恰好抽到一男一女的概率． 17. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖． （1）当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱？ （2）写出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）的关系式． （3）小明现有31元，只去一个超市购买，最多可以买多少本练习本？ 【答案】（1）小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同 （2） （3）小明用31元最多可买40本 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，函数关系式等知识；求出总价y甲与购买本数的关系式是解题的关键． （1）根据两家超市的优惠条件进行计算即可； （2）当时，，求解即可； （3）由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用31元应到甲商店买，当时，，求解即可． 【小问1详解】 解：甲超市收款为：（元）， 乙超市收款为：（元）， ∴小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同； 小问2详解】 解：当时，， 即总价（元）与购买本数x（本）的关系式为； 【小问3详解】 解：由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用31元应到甲商店买， 当时，， 解得：， 答：小明用31元最多可买40本． 18. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求、的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理并结合已知可求出，然后根据切线的判定即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，得出，设，则，在中，根据勾股定理求出，证明，同理求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，过D作于F， ∵是的直径，的半径为3， ∴，， ∵ ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，符合题意． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正切的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，开口向下的抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．连接AC，BC． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）若直线BC：， ①在直线BC上方的抛物线上找一点Q，使得△BCQ的面积为6，求点Q的坐标； ②试在y轴上找一点N，连接AN，使AN+CN的值最小，此时点N的坐标是 ，AN+CN的最小值为 ； （3）若在第四象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①Q点坐标为或；②N (0，1) ，；（3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）令，即求出的两个根，即可求出A，B两点的坐标． （2）①根据直线解析式可求出C点坐标，将C点坐标代入抛物线解析式中，即可求出的值，即得到抛物线解析式，设，最后根据列出等式，解出x，即可求出Q点坐标． ②由图并结合题意可知N不可能在C点上方；当N在C点下方且在原点上方时，作，交BC于点M，并取CM中点P，连接NP．由题意可知为等腰直角三角形，即可证，即得出．故当A、N、P三点共线时最小，最小值为AP长，且此时．最后由为等腰直角三角形可推出为等腰直角三角形，得出结论，即N点坐标为(0，1)；当N在原点下方时，由图可知当N点与原点重合时，有最小值，即最小值为，可证明此时，故最小值为AP的长，此时N点坐标为(0，1)． （3）分类讨论，①当时，此时，即．设，分别求出和，列出等式，求出x即可．②当时，， 设，，同理求出y即可． 【详解】（1）令，则，即． 解得：． ∵点A在点B的左边， ∴． （2）①直线BC：， 令x=0，则，即． ∵点C在抛物线上， ∴将C点坐标代入抛物线解析式中，得：， 解得：． 故该抛物线解析式为：． 根据题意设， 如图可知，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． ∴当时，Q点坐标为，即； 当时，Q点坐标为，即． 综上Q点坐标为或． ②由图并结合题意可知N不可能在C点上方， 当N在C点下方且在原点上方时，即，作，交BC于点M，并取CM中点P，连接NP． 由题意可知为等腰直角三角形， ∴，且， ∴， ∴． ∴当A、N、P三点共线时最小且最小值为AP长，此时． ∴为等腰直角三角形， ∴，即最小值为． 由为等腰直角三角形又可推出， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴N点坐标为(0，1)． 当N在原点下方时，即，由图可知当N点与原点重合时， 有最小值，即最小值为， ∵， ∴最小值为，即N点坐标为(0，1)． （3）①如图，当时， 根据题意可知， ∴， 抛物线 令x=0，得出， ∴, ∴， 设， ∴， ∴，即， ∵P在第四象限，故， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：． 即， 当时，， 设， ∴． ∵ ∵， ∴， 同理可解出， 即． 综上，点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数相结合的问题，抛物线上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质以及三角函数等知识，综合性极强，很难，为典型压轴题． 20. 已知：中，E在上，F在上，． （1）如图1，D、F重合，，，，求的长． （2）如图2，若F为中点，，求． （3）如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）证明，则代入数值即可得到答案； （2）延长交的延长线于点Q，设，则，则，由四边形是平行四边形得到，，证明，则，，得到，证明，得到，，求出，求出，设，则，则，即可得到答案； （3）先证明四边形是平行四边形，得，结合四边形是平行四边形，以及等角对等边得，证明是等边三角形，再结合三角形的三边关系列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值不合题意，舍去）； 【小问2详解】 解：延长交的延长线于点Q，设，则，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，则， ∴； 【小问3详解】 解：将平移到，点D的对应点是点，点E的对应点是点，连接，如图所示： 由平移的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 当三点共线时，则，即取最小值； 此时的最小值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定和性质、三边关系的应用、等边三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线和熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$