精品解析：重庆市第十一中学校2024-2025学年下学期八年级半期考试数学试题

重庆十一中教育集团初2026级八年级（下）半期考试 数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡对应方框内涂黑． 1. 若，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、若，则，故选项不成立，不符合题意； B、若，则，故选项不成立，不符合题意； C、若，则，故选项不成立，不符合题意； D、若，则，故选项成立，符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意； B、是整式的乘法，故B不符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意； D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确； 故选：D． 4. 下列四个命题中，假命题是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题．根据平行四边形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该命题为真命题，该选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，该命题为真命题，该选项不符合题意； C、等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，原命题为假命题，该选项符合题意； D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，该命题为真命题，该选项不符合题意． 故选：C． 5. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式中的被开方数必须是非负数以及分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故选：B． 6. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得是等腰三角形，求出，由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：设交于点，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴ 又， ∴, ∴, ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 故选：A． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为天，根据速度路程时间列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 则可列方程为， 故选：A 8. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（　　） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得阴影部分面积等于的面积，过点作于点,可得是等腰直角三角形，求出，再计算出的面积即可． 【详解】解：∵在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，， 过点作于点,如图， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 9. 如图，在RtABC中，，，是的平分线且，作的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，再根据“等边对等角”得，根据直角三角形的性质可求出，即可得，再根据勾股定理求出，最后根据线段垂直平分线的性质得，则答案可得. 【详解】解：∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵ 解得. 在中，. 根据勾股定理，得. ∵是的垂直平分线的性质， ∴， ∴的周长等于. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，等边对等角，理解勾股定理是求线段长的常用方法是解题的关键. 10. 已知分式，其中为实数，且．则下列结论：①若，则；②若则常数；③若，则；④不存在实数，使得．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值和完全平方公式的应用，分别根据各个结论提供的信息进行分析计算和判断即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴，故①结论错误； ②， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，故②结论正确； ③设，， ， ∵， ∴， 的值不确定， ∴，故③结论错误； ④∵， 当时，， 所以，存在实数，使得，故④结论错误， 所以，正确的结论有1个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将正确答案写在答题卡对应横线上． 11. 不等式：2﹣4x＞0的解集是_____． 【答案】x＜． 【解析】 【分析】根据移项，系数化成1，即可得到答案． 【详解】解：2﹣4x＞0， ﹣4x＞﹣2， x＜， 故答案为：x＜． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集． 【详解】解：由图象得：两条直线的交点坐标为， ∵当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有且只有5个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再解分式方程得出，再根据方程有整数解，且，，从而求出符合条件的所有整数，然后再求和即可． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个奇数解， ∴， 解得：； ∵， 解得：， ∵方程有整数解，且，， ∴符合题意的整数m的值为， ∴符合条件的所有整数m的和是， 故答案为：． 15. 如图，平行四边形中，对角线相交于点O．，E是上一点，，，若，则_____， _______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，作于点，得,是等腰直角三角形，根据得，，在中，由勾股定理可求出；过点作于点，可证四边形是矩形，得出，，，在中由勾股定理得出，从而可求出． 【详解】解：作于点，则， ∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴,， 在中，； 过点作于点，则 ∵， ∴, 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：；． 16. 一个四位数，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称为“双11数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双11数”，则__________；若是“双11数”且是完全平方数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查利用新定义解题，根据“双11数”定义得到最大的“双11数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为；设的千位数字和百位数字分别为，，根据“双11数”定义求解即可． 【详解】解：∵是最大的“双11数”， “双11数”的千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11， ∴最大的“双11数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为， ∴； 设的千位数字和百位数字分别为，， ∵是“双11数”， ∴的十位数字和个位数字分别为，， ∴， ∴的逆序数， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴是的倍数， 由题意得，，，，， ∴，， ∴， ∴最大值为，整理得，为完全平方数， ∵在范围内的最大完全平方数为， ∴，解得， 此时，为最大值； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）根据整式的混合运算法则，结合平方差公式求解即可； （2）先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解和分式性质化简原式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，并直接写出点的坐标； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转得到的； （3）在轴上求作一点，使得值最小，请求出的最小值及此时点坐标． 【答案】（1），图见解析 （2）见解析 （3），，图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用最短路径问题解决，首先作点关于x轴的对称点，再连接与x轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求， 根据两点之间，线段最短可得，的最小值为，即的长， 由坐标系可得，， ∴， 即的最小值为； 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 19. 学习了平行四边形的相关知识后，小明对平行四边形进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的这条短边的两个端点构成的四边形仍然是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点．尺规作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①　　　， ∴， ∴②　　　． ∵， ∴． 在和中 ∴（ASA）， ∴， ∴③　　　， ∵④　　　， ∴四边形是平行四边形．⑤（　　　） 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）利用尺规过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接即可； （2）证明，，推出可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴② ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③， ∵④， ∴四边形是平行四边形．⑤（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 故答案为：①；②；③；④；⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义．等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p （1）填空：　　　，　　　； （2）通过比较方差，判断测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】（1）， （2） （3）综合成绩最高的是B款机器人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，折线统计图和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． （1）把A款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 故答案为：9；8； 【小问2详解】 解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B； 【小问3详解】 解：∵A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，学校为给师生提供更加良好的阅读环境，决定购进A、B两种书桌共200张供师生阅读时使用，A种书桌数量不少于B种书桌数量的，A种书桌的单价比B种书桌单价高；用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张； （1）求出A，B两种书桌的单价； （2）设购买a张A种书桌，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案； 【答案】（1）A种书桌的单价为120元，B种书桌的单价为100元 （2），购买方案为：A种书桌50张，B种书桌150张 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设B种书桌的单价为x元，则A种书桌的单价为元，根据用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进a个A种书桌，则购进个B种书桌，根据购进A种书桌数量不少于B种书桌数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设B种书桌的单价为x元，则A种书桌的单价为元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A种书桌的单价为120元，B种书桌的单价为100元． 【小问2详解】 解：购进a个A种书桌，则购进个B种书桌， 根据题意得：， 解得：， 设购买总费用为w元， 由题意得： ∵随着a增大，w增大， ∴当a取50时，w最小为21000元.， 购买方案为：A种书桌50张，B种书桌150张 22. 如图，在四边形中，，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）利用平行线的性质和中点定义得到，，进而证明得到，再利用平行四边形的判定可得结论； （2）过点E作于F，先利用勾股定理求得，再利用角平分线的性质得到，设，则，中，由勾股定理求得，再在中，由勾股定理求得，再利用平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点E作于F， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵平分，，， ∴，设， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 解得：， (也可以用等面积法) 在中，由勾股定理得： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 23. 如图，在中，，，于点D．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒的速度沿线段运动．点F以每秒的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，EF的长度记为． （1）请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的值． 【答案】（1） （2）见解析，该函数图象在自变量取值范围内是轴对称图形，对称轴是直线 （3）或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解； （2）描点，画出图象，即可求解； （3）结合图象求出的解析式，联立方程组可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述：； 【小问2详解】 解：列表，描点，连线得： x 0 2 4 y 6 0 6 性质：该函数图象在自变量取值范围内是轴对称图形，对称轴是直线 【小问3详解】 解：由图象可得：当时，；当时，， ∵ ∴当时，， ∴； 当时，， ∴． 24. 在中，，，D是边上一动点，连接． （1）如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，，，求的长； （2）如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作于点，设，得证明，得，，求出，运用等积关系可求出，从而求出； （2）过点作于点，证明，根据可证明，得，再证明得，，可求出； （3）设，得出，，求出，得，，过点作于点，则,由三角形面积公式可得结论． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图， 设， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作于点，如图， 设， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∴， ∵， ∴①， 由三角形三边关系得，当点在同一条直线上时，即时，并交于点时，的值最小； ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①②得，， ∴， ∴， 过点作于点，则, ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆十一中教育集团初2026级八年级（下）半期考试 数学试题 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡对应方框内涂黑． 1. 若，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中，假命题是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（　　） A. 9 B. C. D. 9. 如图，在RtABC中，，，是的平分线且，作的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（　　） A. 6 B. C. D. 10. 已知分式，其中为实数，且．则下列结论：①若，则；②若则常数；③若，则；④不存在实数，使得．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将正确答案写在答题卡对应横线上． 11. 不等式：2﹣4x＞0的解集是_____． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_______． 14. 若关于的不等式组有且只有5个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的值的和为________． 15. 如图，平行四边形中，对角线相交于点O．，E是上一点，，，若，则_____， _______． 16. 一个四位数，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称为“双11数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双11数”，则__________；若是“双11数”且是完全平方数，则满足条件的的最大值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，并直接写出点的坐标； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转得到的； （3）在轴上求作一点，使得的值最小，请求出的最小值及此时点坐标． 19. 学习了平行四边形的相关知识后，小明对平行四边形进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的这条短边的两个端点构成的四边形仍然是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点．尺规作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①　　　， ∴， ∴②　　　． ∵， ∴． 在和中 ∴（ASA）， ∴， ∴③　　　， ∵④　　　， ∴四边形是平行四边形．⑤（　　　） 20. 在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p （1）填空：　　　，　　　； （2）通过比较方差，判断测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，学校为给师生提供更加良好阅读环境，决定购进A、B两种书桌共200张供师生阅读时使用，A种书桌数量不少于B种书桌数量的，A种书桌的单价比B种书桌单价高；用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张； （1）求出A，B两种书桌的单价； （2）设购买a张A种书桌，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案； 22. 如图，在四边形中，，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：四边形平行四边形． （2）若平分，求的长． 23. 如图，在中，，，于点D．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒速度沿线段运动．点F以每秒的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，EF的长度记为． （1）请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的值． 24. 在中，，，D是边上一动点，连接． （1）如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，，，求的长； （2）如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； （3）在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$