福建莆田中山中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

2024--2025学年中山中学八年级数学下学期期中考试卷 （考试时间：120 分钟；满分：150 分）一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. ( 5 ) ( 12 ) ( 1 2 ) ( 0.4 )B． C． D． 2. ( 7 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 8 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )下列计算正确的是（ ） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 A. ( 2 ) ( 5 )× = B．2 + = 2 C． ÷ = 2 D．3 − = 3 3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C＝120°，则∠C 的度数为（ ） A. 0° B．60° C．70° D．120° 4. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，BC＝8，则 DE 的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 5. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以 AB、BC、AC 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 225、400，则 AB 的长为（ ） A．625 B．175 C．600 D．25 （第 3 题图） （第 4 题图） （第 5 题图） 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B．对角线互相平分 C．对边相等 D．对角线相等 7. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合，点 A 落在点 P 处，折痕为 EF．若 CD＝12，AD＝18，则 DE 的长为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 8. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H，连接 OH， ∠BAD＝56°．则∠DHO 的度数是（ ） A. 2° B．28° C．30° D．34° 9. 华表柱是一种中国传统建筑形式，如图，在底面周长约为 3 米的石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从 A 点到 B 点）均匀地盘绕 3 圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约 12 米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． ( 17 ) ( 2 )A．3 B．20 C．15 D．9 （第 7 题图） （第 8 题图） （第 9 题图） 10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，最早是由中国西周数学家商高发现并证明的，早于西方五百到六百年．关于勾股定理的证明方法有很多，以下是出自于古代的一种证法．过正方形对角线交点做两条互相垂直的线段，将正方形分成四块四边形，如图 1，然 后将其拼成一个大正方形 ABCD，如图 2，若阴影部分图形面积为 16，𝐸G = 5，则 GH 的 长为（ ） ( ． )A．2 B 3 2 C．3 D．5 FG 2 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. 若二次根式 x − 9在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ． 12. 若最简二次根式 m + 1与 3是同类二次根式，则 m＝ ． 13. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 AC 上一点，连接 BE，DE，若∠ABE=25°，则 ∠CED 的度数为 ． 14. 如图，在矩形 OCDE 中，点 D 的坐标是（1,3），则 CE 的长是 ． 15. 如图，E，F 分别是▱ABCD 边 AD，BC 上的点，AF 与 BE 相交于点 P，DF 与 CE 相交于点 Q，若S△ABP = 13 cm 2， SS △CDQ = 14 cm 2，则阴影部分四边形 EPFQ 的面积为 cm2． 16. 如图，四边形 ABCD 为菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，E，F 为 BD 上的两个动点，且 ( ＝ ) ( BD )EF 1 ，点 M 是 AD 的中点，连接 CE，MF，则 CE+MF 的最小值为 . 2 （第 13 题图） （第 14 题图） （第 15 题图） （第 16 题图） 三、解答题（共 9 小题，共 86 分） ( 24 ) ( 3 )17．（8 分）计算： ÷ − 2 ( 5 )+ 32. 18．（8 分）已知：如图，在▱ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上不同的两点，且 BE＝DF． 求证：四边形 AECF 是平行四边形． 19．（8 分）问题：先化简，再求值：2a+ a 2 − 10 a + 25，其中 a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下： 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在第 步？并给出完整正确的解答过程． 20．（8 分）如图，四边形 ABCD 为某工厂的平面图，经测量 AB＝BC＝AD＝50m， CD=50 3，m且∠ABC＝90°． （1） 求∠DAB 的度数； （2） 若直线 EF 为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点 D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为 50m，通过计算说明道路 EF 被监控到的最大范围为多少米． 21．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF＝BE，连接 DF． （1） 求证：四边形 ADFE 是矩形； （2） 连接 OF，若 AD＝6，EC＝4，AB＝4，求 OF 的长度． 22．（10 分）如图，在▱ABCD 中，点 E 是边 AB 上的中点． （1） 请仅．用．无．刻．度．直．尺．作图，画出边 BC 的中点 F．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2） 在（1）的条件下，线段 AF 与 CE 相交于点 G，求证：AG = 2FG． 23．（10 分）（1）观察： 2+8 2 2 × 8； 1+ 1 2 1 × 1； 5+5 2 5 × 5．（用“＝”“＞”“＜”填空.） 9 9 （2）猜想： 当 m≥0，n≥0 时，比较式子大小：m+n 2 𝑚 n；当 m，n 满足 时，m+n＝2 𝑚 n （3） 应用：请利用上述结论解决下面问题：园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体（足够长），已知花圃面积为 200m2，问当花圃的长、宽分别为多少米时，所用的篱笆长度最小，并求出最小值. 24．（12 分）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作 60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法，如图所示： 第一：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平． 第二：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM 和线段 BN． （1） 请问图中∠1，∠2 和∠3 有什么关系？证明你的结论． （2） 在（1）的条件下，延长 BN 交 AD 于点 G，延长 MN 交 BC 于点 H，连接 GH，判断四边形 BMGH 的形状并证明． （3） 在（2）的条件下，过 G 点作 GK⊥BC 于点 K，得出一个以 DG 为宽的黄金矩形 GKCD （ ( 为 )黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值 5−1 ）．若已知 AB＝4，求 BC 的长． 2 25．（14 分）在正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点（不与点 A，B 重合），作点 D 关于 CE 的对称点 F，连接 CF． （1） 如图 1，连接 EF，若 EC＝EF，求证：E 是 AB 的中点； （2） 如图 2，连接 BF,DF，作 BG⊥DF 于点 G，M,N 分别为 BF,DG 的中点，连接 AN,MN． ①求∠GFB 的大小； ②猜想线段 AN 与 MN 的关系，并证明． 2024--2025学年八年级下学期期中考数学参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、A 2、C 3、B 4、A 5、D 6、D 7、C 8、B 9、C 10、B 二、填空题（每小题4分，共24分） 11、x≥9 12、 2 13、 70° 14、 15、 27 16、 三、解答题（共9小题，共86分） 17、（8分）解：原式= = 18．（8分） 证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 19．（8分=2分+6分）解：错在第二步， 理由：原式＝2a2a+|a﹣5|， ∵a＝3＜5， ∴a﹣5＜0， ∴原式＝2a+（5﹣a）＝a+5， 当a＝3时，原式＝3+5＝8． 20． （8分=4分+4分） 解：（1）连接AC， ∵AB＝BC＝AD＝50m，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC50，∠CAB＝45°， 在△ACD中，AD2+AC2＝502+（50）2＝7500＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝90°+45°＝135°； （2）过点D作DN⊥AB于E，作点A关于DN的对称点M，连接DM， 由轴对称的性质，得：DM＝DA＝50m，AN＝MN， 由（1）知，∠BAD＝135°， ∴∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AN＝DNAD＝25（m）， ∴AM＝2AN＝50（m）， ∴被监控到的道路长度为50m． 21．（8分=4分+4分） （1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC 即BC=EF ∴AD∥EF且AD＝EF ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝8， 在Rt△ABE中， DF＝AE， 在Rt△BDF中， ∴BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OFBD． 22.（10分=5分+5分） 23．（10分=3分+2分+5分） （1） 　＞　 ；　＞　；　＝　． （2）　≥　；　m＝n　； （3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200， 根据（2）的结论可得：a+2b≥2222×20＝40， 当a=2b时，取到最小值。 代入ab＝200，得：2b²＝200，b²＝100 又∵b>0∴b＝10，则a=2b=20 ∴花圃的长、宽分别为20、10米时，所用的篱笆长度最小，最小值为40米. 24．（12分=3分+4分+5分） 解：（1）∠1＝∠2＝∠3＝30°． 证明：如图，连接AN， 由折叠可得：∠1＝∠2，AB＝NB，EF垂直平分AB， ∴NA＝NB， ∴AB＝NA＝NB， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠3＝∠ABC﹣∠NBC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°． （2）四边形BMGH是菱形． 证明：由折叠知∠MNB＝∠A＝90°， ∴∠BNH＝180°﹣∠MNB＝90°， ∴∠MNB＝∠BNH＝90°， 又∵∠2＝∠3，BN＝BN， ∴△MNB≌△HNB（ASA）， ∴BM＝BH， ∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠3， 又∵∠2＝∠3， ∴∠AGB＝∠2， ∴BM＝GM， ∴GM＝BH， 又∵GM∥BH， ∴四边形BMGH是平行四边形， 又∵BM＝BH， ∴四边形BMGH是菱形； （3）如图： ∵四边形ABCD是矩形纸片，GK⊥BC， ∴AB＝GK＝DC＝4， ∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GK＝4， ∴， ∴， ∵∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴BG＝2GK＝8， 由勾股定理得， ∴． 25．（14分=4分+4分+6分） （1）证明：如图1中，连接DE． ∵D，F关于EC对称， ∴ED＝EF， ∵EC＝EF， ∴ED＝EC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， 在Rt△ADE和Rt△BCE中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCE（HL）， ∴AE＝EB， ∴E是AB的中点； （2）解：①设∠BCF＝x． ∵CD＝CB＝CF，∠DCB＝90°， ∴∠DCF＝90°+x， ∴∠CFD（180°﹣90°﹣x）＝45°x，∠CFB（180°﹣x）＝90°x， ∴∠BFG＝∠CFB﹣∠CFD＝90°x﹣（45°x）＝45°； ②结论：AN＝MN，AN⊥NM．（2分） 理由：如图2中，延长AN到T，使得NT＝AN，连接AM，MT，TG，延长TG交AB的延长线于点J，交BM于点J． 在△AND和△TNG中， ， ∴△AND≌△TNG（SAS）， ∴AD＝TG，∠DAN＝∠NTG， ∴AD∥GJ， ∴∠DAB+∠H＝90°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠H＝90°， ∵GB＝GF，∠BGF＝90°，BM＝MF， ∴GM⊥BF，GM＝BM＝MF， ∴∠GMJ＝∠H＝90°， ∵∠BJH＝∠GJM， ∴∠JBH＝∠JGM， ∴∠ABM＝∠TGM， ∵BA＝AD＝GT，BM＝GM， ∴△ABM≌△TGM（SAS）， ∴AM＝MT，∠AMB＝∠TMG， ∴∠AMT＝∠BMG＝90°， ∴∠MAN＝45°， ∵MA＝MT，∠AMT＝90°， AN＝NT， ∴MN⊥AT，MN＝AN＝NT，即AN＝MN，AN⊥MN． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/14 13:12:15；用户：小P；邮箱：1036687100@qq.com；学号：194963 $$