精品解析：湖南省常德市武陵区常德芷兰实验学校2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

常德芷兰实验学校2025年上学期期中考试七年级数学（问卷） （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列式子：①；② ；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子是完全平方式的是（ ） A. B. C. D. 7. 在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 估计的大小在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 10和11之间 9. 若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ） A. B. C. D. 或 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则______（填“＞”或“＜”）． 12. “的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______． 13. 的算术平方根是__________． 14. 若一个数算术平方根是它本身，则这个数为_______． 15. 计算：______． 16. 已知不等式的解集是，是的取值范围是______． 17. 若，则的值为______． 18. 已知，则的值为______；的值为______． 三、解答题（共8个小题，共66分） 19. 计算： （1） （2）． 20. 用乘法公式计算： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 解下列一元一次不等式组： （1） （2） 23. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 24. 已知关于x的方程 的解是非负数． （1）求a的取值范围； （2）若关于y的不等式组的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和． 25. 伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元． （1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？ （2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金． 26. 【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合思想是解决问题的有效途径． 若x满足，求的值． 解：设，， 则，． ； 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足，则______； （2）若x满足，求值； （3）如图，已知数轴上A、B、C表示数分别是m、10、13，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于P．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常德芷兰实验学校2025年上学期期中考试七年级数学（问卷） （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，以及开平方、开立方运算，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②还有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．利用相关运算法则化简，并结合概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：A． 2. 神舟号飞船离地飞行速度约为每秒，则飞船离地飞行1分钟的路程约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据速度、时间、路程的关系计算即可． 【详解】解：∵飞行速度约为每秒， ∴飞行1分钟的路程约为：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，理解题意是解题关键． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据单项式乘以单项式法则，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项正确，符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，熟练掌握和运用单项式乘以单项式法则是解决本题的关键． 4. 下列式子：①；② ；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“”、“”、“”、“”、“”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．依据不等式的定义进行判断．用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：根据不等式的定义可知， ①；②；⑤；⑥是不等式，共有4个， 故选C． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得． 在数轴上表示为： 故选：D． 6. 下列式子是完全平方式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍． 完全平方公式∶．看哪个式子整理后符合即可． 【详解】解：A、原式，不是完全平方式，故本选项错误； B、原式，不是完全平方式，故本选项错误； C、原式，不是完全平方式，故本选项错误； D、原式 ，是完全平方式，故本选项正确； 故选∶ D． 7. 在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的特征：两数和与这两数差相乘可使用平方差公式，形如，即可得出答案． 【详解】解：A．，能用平方差公式，故本选项符合题意； B．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 8. 估计的大小在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 10和11之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键．根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，故A正确． 故选：A． 9. 若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键． 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则______（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质3求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 12. “的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解． 【详解】解：的3倍表示为， ∴根据题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用字母表示数或数量关系，理解题意，掌握用字母表示数或数量关系的书写规则是解题的关键． 13. 的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 【详解】解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 14. 若一个数的算术平方根是它本身，则这个数为_______． 【答案】0或1 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1． 【详解】解：根据算术平方根的定义，这个数是0或1． 故选答案为： 0或1． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，分清算术平方根的概念易与平方根的概念是解决此题关键． 15. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算及同底数幂的乘法计算即可． 本题主要考查幂的乘方运算及同底数幂的乘法，掌握相关的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 已知不等式的解集是，是的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可． 【详解】解：解不等式， 不等式两边同时减去，得． ∵它的解集是， ， ． 故答案为：． 17. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键． 先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故答案为：． 18. 已知，则的值为______；的值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 6 【解析】 【分析】由可得,，再对进行变形即可求解；由可得，然后左右平方，将作为一个整体求解即可． 【详解】解:∵， ∴，， ∴ =2； ∵ ∴，即 ∴ ∴，解得：． 故答案为：2，6． 【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用相关知识对代数式进行变形成为解答本题的关键． 三、解答题（共8个小题，共66分） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，立方根定义，绝对值意义，准确计算． （1）根据立方根定义，算术平方根定义进行解答即可； （2）根据二次根式性质，立方根定义，绝对值意义进行化简，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20 用乘法公式计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，21 【解析】 【分析】本题考查整式得混合运算，包括完平方公式及平方差公式，先化简，再代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 22. 解下列一元一次不等式组： （1） （2） 【答案】（1）无解集 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． （1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【小问1详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解集． 【小问2详解】 解不等式，得， 解不等式，得， 则原不等式组的解集为． 23. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小和平方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义和估算无理数的大小． （1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是3，的立方根是2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的a，b，c代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴的整数部分为3， 的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分， ，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ， ， ， ， ， 的平方根为：． 24. 已知关于x的方程 的解是非负数． （1）求a的取值范围； （2）若关于y的不等式组的解集为 ，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解： （1）先用含a的式子表示出该方程的解，再根据解是非负数列不等式，即可求解； （2）根据不等式组的解集为，得出关于a的不等式，结合（1）中结论得出关于a的不等式组，得出整数解，求和即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得， 该方程的解是非负数， ， 解得； 【小问2详解】 解： 解不等式得：， 解不等式得：， 该不等式组的解集为 ， ， ， 由（1）得， ， 整数a可能为，或， ， 所有符合条件的整数a的和为． 25. 伴随年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元． （1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？ （2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金． 【答案】（1）14个 （2）1950元 【解析】 【分析】设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个， （1）根据题意可得：，解出不等式取最大整数即可； （2）根据购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，得，解得范围，即可得到答案． 【小问1详解】 设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个， 根据题意得：， 解得， 为整数， 最大取， 答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个； 【小问2详解】 购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍， 故， 解得， 由题意可知，购买冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个时， 所需资金为， 故当时，所用的资金最少为（元）， 答：此时所用的最少资金是1950元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式． 26. 【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合思想是解决问题的有效途径． 若x满足，求值． 解：设，， 则，． ； 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若x满足，则______； （2）若x满足，求的值； （3）如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于P．若正方形与正方形面积的和为117，求长方形的面积． 【答案】（1）320 （2）见解析； （3）见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合的思想，灵活变形完全平方公式是解题的关键． （1）根据阅读材料，利用换元法求解即可； （2）按（1）的方法求解即可； （3）设，，可得，根据正方形与正方形面积的和为117，可得，进一步得，求长方形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据阅读材料的方法，设，， 则，， ． 小问2详解】 解：设， 则，， ； 【小问3详解】 解：设，， ， 正方形与正方形面积的和为117， ， ， ， 长方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$