精品解析：2025年湖南省衡阳市衡阳一中、八中、九中联考 一模数学试题

九年级模拟检测卷 数学 班级：__________姓名：__________准考证号：__________ （本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各实数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 3.14 2. 下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起．根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破次，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，若的对应边恰好经过点，且与相交于点（点异于点和点），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 随机抽取甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，并绘制了如下折线统计图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 10. 如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，交于点，再连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（任写一个符合条件的实数即可） 12. 某中学开展“新时代好少年”评选活动，其中一个评价标准是参与社区志愿服务的次数．校学生会从各班推选的学生中随机抽取了10名学生，统计他们过去一个月参与志愿服务的次数（单位：次），数据如下：3，5，2，4，3，6，4，5，3，1，则志愿服务次数是3的频率为_______． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 正多边形的一个外角是，则这个多边形的内角和的度数是___________________． 15. 化简的结果为_______． 16. 如图，直线与双曲线在第一象限内交于点，过点作轴于点，若，则的值为_______． 17. 如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为_______． 18. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为_______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． （1）求证：所在的直线与相切； （2）若直径，求阴影部分的面积． 22. 《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： （1）哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ （2）若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个？ 23. 为了引导学生树立绿色生态文明的理念，3月12日植树节当天，某中学九年级（1）班开展了全员植树活动，该班因活动需要将学生分成挖坑、栽树、填土、浇水四个小组，并根据分组情况绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题． （1）该班总人数为________人． （2）请补全条形统计图和扇形统计图． （3）活动结束后，学校团委小记者从浇水小组4人中随机抽取2人进行采访．浇水小组由2名男生2名女生组成．请用树状图法或者列表法求接受采访的恰好是1名男生和1名女生的概率． 24. 如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为． （1）若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）； （2）求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，） 25. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 26. 综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级模拟检测卷 数学 班级：__________姓名：__________准考证号：__________ （本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列各实数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 3.14 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则．正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，由此得到答案． 【详解】解：∵， ∴所给的实数中，最小的是． 故选：A． 2. 下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 在人工智能技术迅猛发展的浪潮中，DeepSeek作为一款新兴应用迅速崛起．根据数据分析平台QuestMobile的数据，自上线以来至2025年2月9日，DeepSeek App的累计下载量已突破次，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 利用科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4. 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，在数轴上表示无理数等知识点，解题的关键是正确估算无理数的取值． 利用无理数的估算方法进行估值，介于整数2和3之间即可得出答案． 【详解】解： 即 故选：D． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：， ， ； 故选：C． 6. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． 利用求出的度数，利用求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 下列各式在实数范围内因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解． 利用公式法或提公因式法进行因式分解逐项判断即可． 【详解】解：A. ，该选项正确，故符合题意； B. ，该选项错误，故不符合题意； C. ，该选项错误，故不符合题意； D. ，该选项错误，故不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，若的对应边恰好经过点，且与相交于点（点异于点和点），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转、等腰三角形、三角形内角和等知识，理解旋转前后图形的对应线段相等，对应角相等，准确找到旋转角是解题的关键． 由旋转可知，从而求得出，由此即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定角度后得到， ， ，故选项C正确，符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项D结论错误； 在中，，但不一定是等边三角形，故不一定成立；故选项A结论错误； 在中，，但不一定是等边三角形，故不一定成立；故选项B结论错误. 故选：C． 9. 随机抽取甲、乙两位同学一周内每天完成书面家庭作业的时间，并绘制了如下折线统计图．下列统计量中，最能反映出这两组数据之间差异的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，平均数，众数，中位数以及方差，解题的关键是掌握折线和方差的对应关系． 先将平均数，中位数和众数求出，结果都是相等的，再根据折线统计图比较方差． 【详解】解：根据折线图可得（分钟） （分钟） 所以甲和乙的平均数相等； 甲的众数为：60分钟，乙的众数为：60分钟，所以甲乙的众数相等； 甲的中位数为：60分钟，乙的中位数为：60分钟，所以甲乙的中位数相等； 通过折线统计图可以看出乙的折线比较平缓，而甲的折线相对乙比较陡峭，所以甲的方差比乙的方差大，方差能反映出两组数据之间的差异， 故选：A． 10. 如图，在中，，，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，交于点，再连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题等知识点逐项进行判定即可． 【详解】解：①尺规作图的操作可知，直线垂直平分线段， ， ， ， 故①正确； ②， ， , 又∵直线垂直平分线段， ， 在和中只有,其余两角不相等，所以两个三角形不相似，故②错误； ③如图： 过点作于点，过点作于点， ， 又 由可知， 即， 由②得 ∴在和中，底边相等，底边上的高不相等，所以两个三角形的面积不相等， ∴的面积和的面积不相等， 故③错误； ④ 假设，则， 整理得，， 解得，， ， ∴ ∴ 故④正确； 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 在实数范围内有意义，则实数的值可以是______．（任写一个符合条件的实数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， （答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某中学开展“新时代好少年”评选活动，其中一个评价标准是参与社区志愿服务的次数．校学生会从各班推选的学生中随机抽取了10名学生，统计他们过去一个月参与志愿服务的次数（单位：次），数据如下：3，5，2，4，3，6，4，5，3，1，则志愿服务次数是3的频率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了频率的计算，解题的关键是掌握频率计算公式． 用3出现的次数除以总个数即可得到频率． 【详解】解：志愿服务次数是3的频率为， 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：1． 14. 正多边形的一个外角是，则这个多边形的内角和的度数是___________________． 【答案】540°##540度 【解析】 【详解】根据多边形的外角和为360°，因此可以求出多边形的边数为360°÷72°=5， 根据多边形的内角和公式（n－2）·180°， 可得（5－2）×180°=540°． 【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 15. 化简的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．先通分，再加减，最后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 如图，直线与双曲线在第一象限内交于点，过点作轴于点，若，则的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 先利用求出点坐标，再利用待定系数法求解可． 【详解】解：∵， ∴点横坐标为， 将代入得，， ∴， 将点的坐标代入， ∴， 故答案为：6． 17. 如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的性质、正多边形与圆等，解直角三角形等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，确定正方形的面积为8，得到正方形的边长为，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为18， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 运用以上法则进行计算求解即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据多项式的乘法运算展开，进而合并同类项化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 如图，，为的直径，连接，，延长至点，使，连接． （1）求证：所在的直线与相切； （2）若直径，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，， ∴，即， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴所在的直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明是的中位线，推出，即可证明所在的直线与相切； （2）根据阴影部分的面积，代入数据计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为的直径，， ∴， ∵， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定，求扇形的面积，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： （1）哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ （2）若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个？ 【答案】（1）哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元． （2）小军最多可以购买哪吒玩具4个． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具个，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是x元和y元， 由题意得：， 解得：， ∴哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是30元和20元． 【小问2详解】 解：设小军可以购买哪吒玩具m个，则购进敖丙玩具个， 由题意得：， 解得， ∴小军最多可以购买哪吒玩具4个． 23. 为了引导学生树立绿色生态文明的理念，3月12日植树节当天，某中学九年级（1）班开展了全员植树活动，该班因活动需要将学生分成挖坑、栽树、填土、浇水四个小组，并根据分组情况绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题． （1）该班总人数为________人． （2）请补全条形统计图和扇形统计图． （3）活动结束后，学校团委小记者从浇水小组4人中随机抽取2人进行采访．浇水小组由2名男生2名女生组成．请用树状图法或者列表法求接受采访的恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40 （2） 条形统计图和扇形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）用浇水人数除以其所占百分比即可求出总人数； （2）栽树人数可用总数减去挖坑、填土和浇水人数可得，填土人数所占百分比等于12除以总数乘可得，则可分别补全条形统计图和扇形统计图； （3）利用树状图得出所有情况，所需情况除以所有情况即可得到概率. 【小问1详解】 解：该班总人数为（人）； 故答案为：40； 【小问2详解】 解：栽树人数为（人）， 填土所占百分比为； 【小问3详解】 解：树状图如下 等可能出现的情况共12种，其中一男一女的情况有8种， 所以，恰好是1名男生和1名女生的概率． 24. 如图，红红家后面的山坡上有座信号发射塔，塔尖点到地面的距离为．红红站在离房子的底端前方30米的点处，眼睛距离地面的高度米，抬头发现恰好可以观察到发射塔的塔尖，并且在此观测位置测得塔尖的仰角为．红红家到山脚的水平距离米，山坡的坡度为（），山脚到塔尖的仰角为． （1）若米，则__________米，__________米（用含的代数式表示）； （2）求房子和塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：，，） 【答案】（1）， （2）房子的高度为米；塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）利用，可求得米，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求解； （2）作于点，交于点，在中，利用正切函数的定义列式得到，求得，在中，利用正切函数的定义列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵米，， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：作于点，交于点， 则四边形和四边形是矩形， 设米， 在中，， ∴， 在矩形中，，， ∴， 在中，，，即， ∴， 解得， 由（1）得米，米， ∵四边形是矩形，，， 在中，，，，∴， ∴米． 答：房子的高度约为米；塔的高度约为米． 25. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 【答案】（1） （2） 的值为定值10 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论； （3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标． 【小问1详解】 解：将，两点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：的值为定值10，理由如下， 如图，过点作轴于点,则, ∴, 即 假设点坐标为，则点坐标为， ∴，，,，， ∴， 整理得， ∴的值为定值10； 【小问3详解】 解：平移后抛物线的表达式为， 整理得， 联立， 解得， ∴点坐标为， ∴根据勾股定理得， 抛物线的对称轴为直线， ①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为； ②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示， 假设交点坐标为， ∴ 解得或， 即， 假设， ∵, ∴，；，； 解得；； 所以此时； ③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示， 假设， ∴ 即 解得 ∴ 假设，根据得， ， 解得， 所以此时 综上可得点坐标为或． 26. 综合与实践 【问题情境】 类比是人类认知世界的重要思维方式，它不仅能帮助我们更好地理解复杂概念，更能激发创新思维，为人类认知开辟新的疆域．如示意图，在矩形中，于点，点是上一动点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：． 【类比探究】 （2）点运动到时，连接． ①如图2，当，，三点共线时，是否还成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请求出的值． ②如图3，当，时，求的长． 【答案】 （1）证明：在矩形中，当时，矩形为正方形，为等腰直角三角形， ∵，， ，，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①不成立， ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质判定出为正方形，进而证明即可得答案； （2）①根据给出条件证明出为等边三角形，进而判断出，假设，则，根据勾股定理可得，最后可得比值； ②根据条件和相似三角形的性质求出，根据勾股定理逐步求出的长，再利用线段的和差求出的长，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①不成立，理由如下， 根据题意可知，此时点为矩形对角线的交点， ， ∴为等边三角形， 根据等边三角形的性质可得，， ∴， ， ， 设，则，根据勾股定理可得， ， ； ②∵，则在中，， 又∵，，即， 由（1）条件可得， ， ， ， ， 如图，连接，在中，由勾股定理得，  ， 是等腰三角形，为底边，为底边上的高， 为的垂直平分线， ， ， 在中，，，， ， 则， 根据勾股定理得 ， 在中，， ， 则， ， 过作，则，， ， 在中，，，设，则 ， ， 解得或(舍) ， ，， ， 在中，，， ， 即的长度为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角函数；解题的关键是熟练掌握相关性质和构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $