精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试题

合肥45中九年级数学阶段练习（一） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分（其中卷面书写占5分），考试时间为150分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 2025首届逍遥津新春灯会圆满落幕，入园客流量超过213万人次，斩获合肥热门景点排行榜第一、“213万”这个数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是的直径，是上两点，连接，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 已知三个实数满足，则下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，与轴交于点，连接、，抛物线对称轴交于点，为抛物线顶点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线对称轴是直线 B. C. 将线段向上平移个单位得线段，若抛物线与线段有两个交点，则 D. 若，则 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是________． 12. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 13. 如图，点是反比例函数图象上一点，连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线分别交反比例函数图象、轴于、两点，若，则点的坐标是___________ 14. 如图，在中，，点为边上一个动点，以为边在的上方作正方形． （1）过作于，当时，的值为___________； （2）当为等腰三角形时，的值为___________． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 2 5 共计（本） 246 340 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； （2）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； （3）在线段上画点，使的长度最短．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹） 18. 探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （ ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为测量学校窗户（矩形）的高度（直接测量存在安全隐患），数学兴趣小组用所学的数学知识设计了一种测量仪器．如下图所示，在中，，测量时，把测量仪点与点重合，且，再用激光笔测得，请计算出窗户高的长度．（结果保留整数，参考数据：） 20. 如图，四边形内接于，为的直径，的延长线交于点，连接． （1）若点为的中点，，求的度数； （2）若点是的中点，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组， A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 87.5 111.2 86 88 89.8 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，______； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满的总用户数． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． （1）求证：； （2）如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 八、（本题满分12分） 23. 合肥作为“大湖名城，创新高地”，凭借科技创新实力享誉全国．庐智高新技术企业研发部门针对新型产品的资金投入与生产利润关系展开生产模拟，设定投入资金为（万元）与生产利润（万元）的关联机制如下： 第一阶段（技术卵化期）：当时，产值， 第二阶段（规模扩张期）：当时为，受多重成本因素影响，该阶段生产利润遵循二次函数．并且时，， 第三阶段（稳定产出期）：当时启动第三阶段生产模式，发现投入资金每增加1万元，生产利润同步增加1万元． （1）求、的值； （2）按当前模拟环境，求最大生产利润； （3）生产部门发现在当前模拟环境下，会出现一段投入资金增多而生产利润下降的情况，决定提前进入第三阶段，即在时，进入第三阶段生产模式．请帮助生产部门确定为何值时进入第三阶段可以获得生产利润最大？最大生产利润为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥45中九年级数学阶段练习（一） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分（其中卷面书写占5分），考试时间为150分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．请在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 2025首届逍遥津新春灯会圆满落幕，入园客流量超过213万人次，斩获合肥热门景点排行榜第一、“213万”这个数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：213万， 故选：C． 3. 如图所示，几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了简单几何体的三视图．根据简单几何体的三视图得特征解答即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：D 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，整式的加减，熟练掌握幂的乘方和积的乘方、同底数幂相乘、合并同类项的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方法则计算并判定A；根据合并同类项的运算法则判定B、C；根据同底数幂相乘法则计算并判定D． 【详解】解∶A、，正确，故此选项符合题意； Ｂ、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； Ｃ、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； Ｄ、，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 先由函数图象用待定系数法求出一次函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：由图可知：函数图象经过点，， 把，代入得 ， 解得：， ∴， A、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； B、当时，，所以在一次函数图象上，故此选项符合题意； C、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键． 列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种， 小明、小亮选择的影片相同的概率为， 故答案为：D． 7. 已知，是的直径，是上两点，连接，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 连接，由圆周角定理求得，再由弧形长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴的半径为， ∴的长． 故选：B． 8. 已知三个实数满足，则下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，不等式的性质，熟练掌握等式和不等式的性质是解题的关键． 根据等式和不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，∵，∴，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接、相交于H，连接，根据菱形的性质和直角 三角形的性质，由勾股定理求得，，再证明，得出，然后由三角形周长和两点之间线段最短得的周长，即可求解． 【详解】解：连接、相交于H，连接，如图， ∵菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ∴的周长的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，与轴交于点，连接、，抛物线对称轴交于点，为抛物线顶点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线对称轴是直线 B. C. 将线段向上平移个单位得线段，若抛物线与线段有两个交点，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数对称性，结合、两点坐标即可判断选项；将、两点坐标代入抛物线解析式求出，并由此得出用表示的点、坐标，求出直线解析式后由抛物线对称轴交于点即可得点坐标，综合点、点、点坐标得出、后即可判断选项；要使抛物线与线段有两个交点，点应在线段上方，得出即可判断选项；若，则，将对应线段长代入即可判断选项． 【详解】解：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴为直线，选项错误； 将点，代入可得， 则， 当时，， 当时，， ，， 设直线解析式为， 将代入可得， 即， 直线解析式为， 当时，， ， ，选项错误； 将线段向上平移个单位得线段，即，， 当时，抛物线开口向上，该抛物线与线段无交点； 当时，抛物线开口向下，要使抛物线与线段有两个交点， 则点应在线段上方， 即，， 又， ， ，选项正确； ， ， ， 又， ， 即， 解得， 又， ，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的对称性、解三元一次方程、求一次函数解析式、一次函数与二次函数综合、二次函数图象与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可. 【详解】， 3x>1+2， 3x>3， x>1， 故答案为：x>1. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 12. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 把代入方程，求得，再把整体代入计算即可． 【详解】解∶把代入方程，得 ， ∴， ∴． 故答案为∶2027 13. 如图，点是反比例函数图象上一点，连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线分别交反比例函数图象、轴于、两点，若，则点的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴与x轴相交于E，先用待定系数法求得反比例函数解析式为，从而求得，再证明，得，即可求得，然后把代入，求得，即可求解． 【详解】解：过点A作轴与x轴相交于E，如图， 把代入，得， ∴， ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点B的横坐标为， 把代入，得 ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，根据反比例函数的比例系数求三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的比例系数求是解题的关键． 14. 如图，在中，，点为边上一个动点，以为边在的上方作正方形． （1）过作于，当时，的值为___________； （2）当为等腰三角形时，的值为___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识． （1）过点作于，证明，得到，，则，用勾股定理即可求出答案； （2）分三种情况画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示： 四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ∴， 故答案为：． （2）当时，作于点G，则 ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴此时点和点重合， 则点E在上， ∴不存在， 当时，作于点G，同理可得， 设， 则， 在中，， 即 解得， 即， 当时，作交的延长线于点G，则， 设，则 ∴， 在中，，， 即 解得（不合题意，舍去）， 即， 故答案为： 或 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂的计算是关键． 先开方，计算特殊角的三角函数值，零次幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 2 5 共计（本） 246 340 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 【答案】九（1）班和九（2）班各有50、48人 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可． 【详解】解：设九（1）班有人，九（2）班有人， 由题意得：， 解得：． 答：九（1）班有50人，九（2）班有48人． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； （2）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； （3）在线段上画点，使的长度最短．（要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为作求． （2） 解：如图所示，即为作求． （3） 解：如图所示，线段即为作求． 取格点P，如上图， 由图可知：，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 根据垂线段最短可得的长度最短． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移、中心对称，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握利用网格特征进行复杂作图是解题的关键． （1）根据平移性质作出平移后的线段即可； （2）根据中心对称的性质作出； （3）取格点G、H，使，，连接交于F，则线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 探究“（其中）”（表示一个两位数，十位数字是，个位数字是，）的计算规律：①；②；③．．．通过上述计算发现： 将十位数字与相乘，所得结果作为积的前两位数字； 将个位数字与相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加0． 【规律探究】 （1）按此规律计算：___________，___________； （2）用含的等式归纳上述规律，请完成填空： （ ）+（　　）（其中）． 【问题解决】 （3）请运用上述规律计算：． 【答案】（1）2025，7221；（2）；（3）10000 【解析】 【分析】本题主要考查数式规律探究，有理数混合运算，解答的关键是理解清楚题意及对相应的运算法则的掌握． 〖规律探究〗（1）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积，计算即可； （2）根据题示规律用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积，列式表示即可； 〖问题解决〗（3）根据（2）的规律，计算即可． 【详解】解：〖规律探究〗 （1）， ， 故答案为：2025；7221； （2）， 故答案为：；； 〖问题解决〗 （3） ． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为测量学校窗户（矩形）的高度（直接测量存在安全隐患），数学兴趣小组用所学的数学知识设计了一种测量仪器．如下图所示，在中，，测量时，把测量仪点与点重合，且，再用激光笔测得，请计算出窗户高的长度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于H，证明，从而求得，得到，，则，再求得，再解，求得，然后根据求解即可． 【详解】解：延长交于H，如图， ∵矩形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 答：窗户高的长度约为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，的延长线交于点，连接． （1）若点为的中点，，求的度数； （2）若点是的中点，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质： （1）利用圆周角定理得到，由点为的中点，得到，推出，再根据圆的内接四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求求解； （2）连接交与点F，易证，，推出，证明，得到，求出，进而求出，再证明，得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得是的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接交与点F， ∵点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组， A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 87.5 111.2 86 88 89.8 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，______； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满的总用户数． 【答案】（1），， （2） 解：人工智能软件更受用户欢迎，理由如下： 因为两款人工智能软件得分的平均数相等，但人工智能软件得分的中位数和众数均高于豆包人工智能软件，而且人工智能软件的方差小于豆包人工智能软件的方差，人工智能软件更稳定， 所以人工智能软件更受用户欢迎（答案不唯一，合理即可）； （3）估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可； （2）根据中位数、众数和方差的意义进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：共个数据，人工智能软件得分数据中： A组有个数据，B组有个数据， 则人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第个、第个数据的平均数， 中位数， 豆包人工智能软件得分数据中出现的次数最多， 众数， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名． 【点睛】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，运用中位数做决策，运用众数做决策，运用方差做决策，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数、方差的概念及扇形统计图是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． （1）求证：； （2）如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （2）①；②7 【解析】 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 八、（本题满分12分） 23. 合肥作为“大湖名城，创新高地”，凭借科技创新实力享誉全国．庐智高新技术企业研发部门针对新型产品的资金投入与生产利润关系展开生产模拟，设定投入资金为（万元）与生产利润（万元）的关联机制如下： 第一阶段（技术卵化期）：当时，产值， 第二阶段（规模扩张期）：当时为，受多重成本因素影响，该阶段生产利润遵循二次函数．并且时，， 第三阶段（稳定产出期）：当时启动第三阶段生产模式，发现投入资金每增加1万元，生产利润同步增加1万元． （1）求、的值； （2）按当前模拟环境，求最大生产利润； （3）生产部门发现在当前模拟环境下，会出现一段投入资金增多而生产利润下降的情况，决定提前进入第三阶段，即在时，进入第三阶段生产模式．请帮助生产部门确定为何值时进入第三阶段可以获得生产利润最大？最大生产利润为多少？ 【答案】（1） （2）最大生产利润为 30 万元 （3）当万元时，生产利润最大为万元 【解析】 【分析】该题考查了二次函数和一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据第二阶段与第一阶段函数在处值相同可求出对应，再结合题目已知数据代入二次函数，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出各阶段函数的最大值，取三个阶段中的最大值即可求出最大利润．注意第二阶段为二次函数，需要判断开口方向来判断最值． （3）根据题意利用第二，三阶段函数在处函数值相同求解第三阶段函数，第三阶段函数为一次函数，判断值大小即可求解在时取得最值，从而得到提前进入第三阶段后的最大利润． 【小问1详解】 解：第二阶段函数在处与第一阶段相连，即第一，二阶段在处函数值相同，故当时，． 将代入二次函数得：， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）知第二阶段函数为， ∵，开口向下，函数在处取得最大值， ∴当时，最大利润为：， 当时，， 由题意知第三阶段函数为， 当时，最大利润为． 比较各阶段最大值可知最大生产利润为 30 万元． 【小问3详解】 解：当时，在抛物线上点时进入第三阶段生产模式， 设点横坐标为，则点纵坐标为， 当时，函数值随 x 的增大而增大， 设解析式为， 代入得， ∴解析式为， ∴点纵坐标值为，即为最大生产利润． ∴， ∴当万元时，生产利润最大为万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $