精品解析：安徽省六安市独山中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期独山中学高二年级期中考试数学试卷 考试内容：选择性必修二全部内容，选择性必修三：加法和乘法原理 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. -1 C. D. 3. 等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A. 36 B. 30 C. 20 D. 18 4. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 5. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同选购方法种数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分） 9. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数在处取得最小值 C. 函数在处切线斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 三、填空题（每题5分共15分） 12. 学校二楼饭堂有牛扒饭，鸡扒饭和鳗鱼饭三种套餐，甲、乙、丙三位同学从中各选一种，共有________种不同的选法. 13. 已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则________． 14 已知直线与曲线相切，则__________ 四、解答题 15. 已知函数 （1）求曲线在处的切线方程. （2）若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 16. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 17. 已知为公差不为0等差数列，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 18. 已知两个数列与，满足，且 （1）求证：是等差数列. （2）记，求数列的前项和 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期独山中学高二年级期中考试数学试卷 考试内容：选择性必修二全部内容，选择性必修三：加法和乘法原理 一、单选题（每题5分共40分） 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的计算公式可得. 【详解】. 故选：B 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入，求出. 【详解】，令得，解得. 故选：B 3. 等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ） A. 36 B. 30 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解，即可得到答案. 【详解】由等差数列得，故，即， 故选：B. 4. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 5. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 6. 某地举行新疆绿色农特产品展销活动，活动中有驼奶粉、奶豆腐、奶皮、酸奶共种奶制品，无花果干、杏干、乌梅干、巴达木、开心果、葡萄干共种干果，葡萄、哈密瓜、香梨、苹果、西瓜、沙棘、白杏共种新鲜水果，张先生参观完活动决定至少选购一种商品，而每一大类中最多选购一种，则张先生不同选购方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合条件可将张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种，根据分类加法计数原理求结论. 【详解】由条件张先生不同的选购方法分为三类，选购一种，选购两种，选购三种， 选购一种商品的方法有种， 选购两种商品的方法有种， 选购三种商品的方法有种， 由分类加法计数原理可得张先生不同的选购方法种数共有种， 故选：D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，可得在恒成立，参变分离，结合函数单调性分析求解即可． 【详解】因为， 由题意可得：在恒成立，可得在上恒成立， 又因为在内单调递减， 可得，可得， 所以a的范围为. 故选：D． 8. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】由可得， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 且， 由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题（每题6分，错选或多选不得分，部分对答部分分共18分） 9. 下列求导不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，以及导数的运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D错误. 故选：AD. 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列说法中正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 函数处取得最小值 C. 函数在处切线的斜率小于零 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，函数在区间上单调递增，故AD正确， 函数在处不能取最小值，函数在处切线的斜率大于零，故BC错误. 故选：AD. 11. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案. 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每题5分共15分） 12. 学校二楼饭堂有牛扒饭，鸡扒饭和鳗鱼饭三种套餐，甲、乙、丙三位同学从中各选一种，共有________种不同的选法. 【答案】27 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】每位同学都有三种选择，所以共有种选法， 故答案为：27 13. 已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意得，从而可求出，进而可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，所以， 化简整理得，解得（舍去），或， 所以． 故答案为：． 14. 已知直线与曲线相切，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】求导，设切点坐标为，根据导数的几何意义求切线方程，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线过定点，斜率为， 因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入可得，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求曲线在处的切线方程. （2）若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【小问1详解】 由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 【小问2详解】 由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 16. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用求出a，b的值，再进行检验； （2）结合函数的单调性和极值情况，只需满足，解之即得. 【小问1详解】 由题意得， 由函数在及处取得极值，得 解得，此时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根，所以 解得，所以实数c的取值范围是． 17. 已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义以及等比数列性质列方程计算可得公差，可求得通项公式； （2）利用等差等比前项和公式代入计算可得结果. 【小问1详解】 设公差为，则，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以或0（舍去）. 故； 即的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得， 18. 已知两个数列与，满足，且 （1）求证：是等差数列. （2）记，求数列的前项和 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后结合等差数列的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由知. 则， ， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， ， ， 相减得：， ， 得. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断原函数单调性； （2）解法一：分离参数可得在上恒成立，构建，利用导数求其最值即可得结果；解法二：可知在上恒成立，分类讨论，结合（1）中的单调性运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 解法一：（分离参数法）由已知得在上恒成立， 等价于在上恒成立， 构建， 则 构建，可知在上单调递减，且， 当时，，即； 当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，即实数的取值范围为； 解法二：（分类讨论法）由题意可知： 在上恒成立， 由（1）知，当时，在上单调递减； 且，不合题意； 当时，可知， 构建，可知在上单调递增，且， 若，则，可得， 故实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$