精品解析：广东省佛山市三水区十三校联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

广东省佛山市三水区十三校联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式，可以运用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出白球 C. 摸出黑球 D. 摸出白球或红球 7. 如图，某运水厂要从点P修建一条管道通向河边，为了节约材料，修建了管道，其原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 8. 如图所示，若，，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 9. 在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若长方体的体积是，底面积是，则这个长方体的高是________． 12. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值是______________． 13. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 14. 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成______________对对顶角． 15. 如图，直线相交于点比大，则______°． 16. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 _________． 三、解答题（17-20题每题6分，21-23每题8分，24-25每题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 化简： （1） （2）； 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，已知． 如 （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 按要求计算下面各题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 22. 现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球5个，白球20个和黑球10个．每个球除颜色外都相同． （1）如果想摸出1个黑球，从____盒中抽取成功的可能性大； （2）小明同学说：“将10个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想摸出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 23. 如图，中，点在边上． （1）在边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）根据你在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理． 24. 在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____． 【基础巩固】 （2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 25. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是_____．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市三水区十三校联考2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：D． 2. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、守株待兔是随机事件，故符合题意； 、种豆得豆是必然事件，故不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； 、水涨船高是必然事件，故不符合题意； 故选：． 3. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方、积的乘方，解题的关键在于正确的计算． 根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方、积的乘方等的运算规则求解即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合题意； B中，错误，故不符合题意； C中，正确，故符合题意； D中，错误，故不符合题意； 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 5. 下列各式，可以运用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键：（1）公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）公式右边是因式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方；（3）运用平方差公式计算时，关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式的结构特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，因而能用平方差公式计算，故选项符合题意； B. ，这两个二项式中两项都互为相反数，因而不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； C. ，这两个二项式中两项都是相同的项，因而不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； D. ，这两个二项式中两项既不相同，也不互为相反数，因而不能用平方差公式计算，故选项不符合题意； 故选：． 6. 在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出白球 C. 摸出黑球 D. 摸出白球或红球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据概率的计算公式，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、摸出红球的概率，故此选项不符合题意； B、摸出白球的概率，故此选项符合题意； C、摸出黑球的概率，故此选项不符合题意； D、摸出白球或红球的概率，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，某运水厂要从点P修建一条管道通向河边，为了节约材料，修建了管道，其原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择． 【详解】解：根据题意得，修建了管道，其原理是垂线段最短． 故选D． 8. 如图所示，若，，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据题意得，解得，即可得解． 本题考查了补角，余角的计算，熟练掌握列方程即可得解． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 9. 在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用列举法求概率，根据概率公式计算概率，完全平方式等知识点，熟练掌握列举法的概念以及用列举法求概率的基本步骤是解题的关键：1、列举法的概念：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法；2、用列举法求概率的基本步骤：列举出一次试验的所有可能结果，假设共种；数出满足要求的结果数，假设共种；根据概率公式计算概率：概率． 按照用列举法求概率的基本步骤求解即可． 【详解】解：在的中分别填上“”和“”，则所有可能的结果共有种，即： ，，，， 该式能构成完全平方式的结果共有种，即： ，， （该式能构成完全平方式）， 故选：． 10. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ， ，故②符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若长方体的体积是，底面积是，则这个长方体的高是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，熟练掌握单项式除以多项式法则是解题的关键． 利用多项式除以单项式法则计算，即可求解． 【详解】解： ∴这个长方体的高是． 故答案为：． 12. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值是______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．先计算，再根据乘积中不含x的一次项，即可求出m的值． 【详解】解：， 与的乘积中不含x的一次项， ， 解得：， 的值是5． 故答案为：5． 13. 某五金企业生产一种精密工件，以下是质检员对生产出的工件的检测情况．则该工厂每生产一个工件，合格的概率约为 _________．（结果精确到0.01） 抽查的工件数n/个 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的工件m/个 95 194 289 479 769 950 2880 合格工件的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 【答案】0.96 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：观察上表，可以发现，合格工件的频率稳定在0.960附近，合格的概率约为0.96． 故答案为：0.96． 14. 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成______________对对顶角． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了平面内两直线的位置关系、对顶角的定义，熟练掌握平面内两直线的位置关系是解题的关键．根据直线的位置关系可知，在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角，据此即可解答． 【详解】解：在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角， 在同一平面内任意画5条直线且直线两两相交，能构成最多对对顶角，此时对顶角共有对， 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成20对对顶角． 故答案为：20． 15. 如图，直线相交于点比大，则______°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了余角的计算，对顶角的性质．根据题意，列式解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵比大， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：15． 16. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则与的度数和是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（17-20题每题6分，21-23每题8分，24-25每题12分，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）6 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的法则化简，再相加即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别计算单项式的乘法和除法，再合并即可； （2）利用完全平方公式和整式的乘法计算，再合并即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知． 如 （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ． 又， ， ， ． 21. 按要求计算下面各题： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法的性质，熟练掌握运算法则逆用是解题的关键． （1）把都改为底数为3的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由整体代入即可． （2）先根据幂的乘方的法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘除法法则求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴ 22. 现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个；乙盒装有红球5个，白球20个和黑球10个．每个球除颜色外都相同． （1）如果想摸出1个黑球，从____盒中抽取成功的可能性大； （2）小明同学说：“将10个红球再放入乙盒后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想摸出1个红球，选乙盒成功的可能性大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】（1）甲 （2） 解：在甲盒中，一共有10个球，其中红球有5个，所以在甲盒中抽到红球的概率为：， 在乙盒中，再放多10个红球，则乙盒中一共有45个球，其中红球有15个，所以在乙盒中抽到红球的概率为：， 由于， 所以在甲盒中抽到红球的概率比乙盒大，因此小明的说法是不正确的． 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【小问1详解】 解：从甲盒中随机取出 1 个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出 1 个黑球的概率为：， ∵， ∴从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为：甲． 【小问2详解】 略 23. 如图，中，点在边上． （1）在边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）根据你在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理． 【答案】（1）解：如图所示，点即为所求： （2）①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质与判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）利用尺规作角等于已知角的方法作交于点，根据平行线的判定可得，则点即为所求； （2）根据在（1）中作图的依据和作图的结果，结合平行线的公理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理为： ①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 24. 在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____． 【基础巩固】 （2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）40； （2），理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，有关三角板的角度计算． （1）由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 25. 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是_____． 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 （4）当时，则的值是_____．（直接写出结果） 【答案】（1），，（2），（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据条件先求解，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）图1阴影的面积：； 图2阴影的面积：； （2）图3阴影的面积：； （3）由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $