精品解析：江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

金陵中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题） 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2 已知向量，，若，且满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 设，且，则（ ） A B. C. D. 4. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题） 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点M在所在平面内一点，则（ ） A. 若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B. 若，则面积比 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则钝角三角形 D. “”是“为等边三角形”的充要条件 三、填空题（共2小题） 12. 已知，，则______． 13. 在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________. 14. 数学语言是一门神奇的语言，比如对于任意的，，，，恒有不等式，这其实就是柯西不等式，但是换个角度，如果设向量，向量，上述不等式又可以表示为______（用向量表示），正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．带着这样多角度的眼光，请大家解决下面的问题：已知，若存在，当时，都有则k的取值范围是______． 四、解答题（共5小题） 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 17. 为了防止水鸟偷吃行知楼池塘的鱼儿，学校拟制作一个保护网，如图，是固定的框架，，AD是的角平分线，AD的长为2米，过D点安装另一直线型横架BC（B，C分别在AP，AQ上），围成安全区，由于池塘大小限制，AB、AC都不超过8米．设AB长为x米，AC长为y米． （1）将y表示成x的函数，并求其定义域； （2）若AB边上挂网的造价为2百元/米，AC边上挂网的造价为1百元/米，当两侧拦网AB和AC的总造价最低时，横架BC的长度为多少？ 18. 已知函数． （1）求的对称中心； （2）若，求值； （3）记，集合，试判断集合Q中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数m的取值范围． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）记的面积为S，且满足． ①求角B； ②若为锐角三角形，且，求的取值范围． （2）对于，若存在，使得，，则称为伴随三角形．若存在伴随三角形，试求出三个内角中的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金陵中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题） 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 2. 已知向量，，若，且满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及共线的坐标运算，即可求解. 详解】根据题意，得到， 由. 故选：A. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系得到，利用正切的倍角公式得到，进而可得，再结合角的范围，即可求解. 【详解】因为，，则，所以， 则，又因为，则， 又，则， 又，，则，所以， 故选：D. 4. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案． 【详解】中，，所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 故选：C． 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平方，结合可得，结合选项逐个判断即可. 【详解】将平方得， 结合可得，即， 即， 即，故CD错误 又 ，故A对，B错； 故选：A 6. 在中，，，，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先根据向量运算法则，将用与表示出来.接着计算，把和代入并展开.然后根据已知的角度和边长，求出、以及的值.最后将这些值代入的表达式中，得到关于的方程，求解方程得出的值. 【详解】由，且，所以. 又因为，则. 展开得. 则. 根据乘法分配律展开： ， 且. 已知，，. ，，. 把，，代入前面式子中，得. 即. 解得. 故选：C. 7. 若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数化简变形为，令，解得或，由，求出范围，再由在上恰有1个零点，得，从而可得的取值范围. 【详解】 令，则，所以或， 因为，所以， 因为在上恰有1个零点，所以，解得． 故选：B 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【详解】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 二、多选题（共4小题） 9. 下列式子化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的化简求值，结合选项依次计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 10. 已知点M在所在平面内一点，则（ ） A. 若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量 B. 若，则面积比 C. 若，，的夹角两两相等，，，则 D. 若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A,先由是BC中点得，设单位向量、，根据条件知与共线，推出AM是角平分线，又是中点，得等腰且，从而判断是投影向量. 对于选项B，对变形得，因两三角形高相同，根据底边比求面积比. 对于选项C，由向量夹角两两相等得夹角为，通过求，利用向量运算及数量积公式计算，再开方得结果. 对于选项D,坐标法计算数量积得关于的二次函数，根据二次函数性质求取值范围. 【详解】对于A，两边平方得，即，即，且是角的角平分线，又M为BC中点，即是等腰三角形，，则是在方向上的投影向量，故A正确； 对于B，因为，所以点在线段上，如图所示 取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接，则有且，所以的高是的高的，所以，故B错误； 对于C， ，，故C正确； 对于D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面坐标系 易知直线的方程为，设， 因为，所以， ， 又，所以当时，取最小值为， 当时，取最大值为3， 所以，即，故正确． 故选：ACD 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. “”是“为等边三角形”的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差正弦公式可判断A；由余弦定理可判断B；由同角三角函数的关系，正弦定理边角互化及余弦定理可判断C；由余弦定理，两角和差正弦公式和基本不等式可判断D. 【详解】对于A， 或，故是等腰三角形或者直角三角形，故A错误； 对于B,，又，所以，即， 所以最大角C锐角，故B正确； 对于C， ，故C为钝角，故C正确； 对于D，， ， 又，要等式成立则需且，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（共2小题） 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦的二倍角公式以及正切的和角公式，可得答案. 【详解】由，解得， 则. 故答案为：. 13. 在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点，所以，. 又因为，所以 , , , 所以. 故答案为： 14. 数学语言是一门神奇的语言，比如对于任意的，，，，恒有不等式，这其实就是柯西不等式，但是换个角度，如果设向量，向量，上述不等式又可以表示为______（用向量表示），正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．带着这样多角度的眼光，请大家解决下面的问题：已知，若存在，当时，都有则k的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据柯西不等式将不等式写为；接着对已知不等式变形为，然后分情况讨论：再利用均值不等式得到，再结合变形后的不等式推出，进一步化简得出. 【详解】由可知不等式可写为； 已知，故， 当时，，原不等式左边不可能小于0， 当时，原不等式左边单调，原不等式左边不可能小于0， 当时， ，故． 故答案为：；. 四、解答题（共5小题） 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 16. 已知复数，，其中． （1）若，且为纯虚数，求复数； （2）若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义来确定复数； （2）先设出的表达式，再根据为实数得出相关等式，最后结合的取值范围求出实部的取值范围． 【小问1详解】 已知，则． 根据复数乘法法则展开可得：  ， 因为为纯虚数，根据纯虚数的定义，可得． 解得．所以． 【小问2详解】 设（，且）． 则． 可得：． 所以． 因为为实数，所以虚部为，即． 因为，可得，即． 此时． 又因为，即，可得． 17. 为了防止水鸟偷吃行知楼池塘的鱼儿，学校拟制作一个保护网，如图，是固定的框架，，AD是的角平分线，AD的长为2米，过D点安装另一直线型横架BC（B，C分别在AP，AQ上），围成安全区，由于池塘大小限制，AB、AC都不超过8米．设AB长为x米，AC长为y米． （1）将y表示成x的函数，并求其定义域； （2）若AB边上挂网的造价为2百元/米，AC边上挂网的造价为1百元/米，当两侧拦网AB和AC的总造价最低时，横架BC的长度为多少？ 【答案】（1），定义域； （2） 【解析】 【分析】（1）由结合三角形面积公式即可求解； （2）由（1）得到，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由等面积法可知， 即，即， 所以有，因此， 要求定义域，需满足，解得． 故定义域为 【小问2详解】 由（1）知，故， 所以总造价， 当且仅当时取等，此时， 所以在三角形中，由余弦定理得： ． 即. 18. 已知函数． （1）求的对称中心； （2）若，求的值； （3）记，集合，试判断集合Q中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）最多有5个正整数元素，实数取值范围是 【解析】 【分析】（1）先把化简成.因为正弦函数对称中心纵坐标为，令，解出，就得到对称中心坐标. （2）已知，代入化简得.结合范围确定范围，进而求出.再把变形为，用公式计算. （3）对函数进行化简，得出其在给定区间上的值域，然后通过换元法将问题转化为关于的函数，再根据的单调性以及正整数解的个数来确定的取值范围. 【小问1详解】 由可得，所以的对称中心为． 【小问2详解】 又，所以，即 【小问3详解】 先化简,利用立方和公式得到，因为，所以. 又因为，所以. 再根据二倍角公式，则， 所以. 利用辅助角公式得到. 再求的值域，已知，则，. 根据正弦函数的性质，，所以. 通过换元并分析的单调性,设，则，. 因为，一次函数单调递减，而函数在时单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，在上单调递减. 所以 最后根据正整数解的个数确定的取值范围， 若区间中包含个整数解： 要使区间包含个正整数解，则且. 解，两边平方得，即，； 解，两边平方得，即，，此时无解. 若区间中包含个整数解： 有两种情况： 情况一：且. 解，两边平方得，则； 解，两边平方得，即，，取交集得. 情况二：且. 解，两边平方得，即，； 解，两边平方得，即，此时无解. 故集合中最多个正整数解，此时的取值范围为. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）记的面积为S，且满足． ①求角B； ②若为锐角三角形，且，求的取值范围． （2）对于，若存在，使得，，则称为的伴随三角形．若存在伴随三角形，试求出三个内角中的最大值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正弦定理和三角的恒等变换的化简和计算求出B；②由余弦定理，根据锐角三角形得，结合和二次函数的图象与性质即可求解； （2）由题意，根据诱导公式可得，结合三角形内角和计算即可求解. 【小问1详解】 ①由， 得， ， 由正弦定理得， ，又，所以. ②由（1）得， 由锐角三角形得， 而 当时，最小值为1；当时，最大值为7， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 对于一般情况有或， 不妨设， 由，得， ，得， 根据三角形内角和可得， 所以，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$