精品解析：江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级下学期期中考试 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）． A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 右视图 3. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（ ） A. 32° B. 48° C. 44° D. 30° 5. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点A在直线上，点B，C，，在抛物线上，当时，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：_____． 8. 我国神舟十九号在2024年10月30号成功发射，新华网进行全程直播，超过5120000多人次在线观看，5120000用科学记数法表示为__________． 9. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 10. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 11. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________． 12. 已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，平分，于点E，，， 求的长． 14. 下面是小友同学解不等式的运算过程： （1）以上解题过程中，从第________步骤开始出现错误，这一步错误的原因是_______； （2）请写出该不等式正确的求解过程． 15. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 16. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作的一条平行线； （2）如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 17. 如图，点在反比例函数图象上，点为第三象限内一点，连接并平移得到，点D在第四象限反比例函数图象上，点C落在第一象限且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． （1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________（用含a的式子表示）； （2）求直线的表达式． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． （1）将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果； （2）将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论． 19. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，） 20. 为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 80 82 84 85 86 86 88 88 89 90 92 93 94 95 95 95 99 99 100 100 整理、描述数据 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 a 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 b c 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”） （4）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线： （2）若，，求的长， 22. 【问题情境】 （1）如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为_______． 【变式探究】 （2）如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； （3）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2024-2025学年九年级下学期期中考试 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）． A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 右视图 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键． 根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答． 【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图． 故选B． 3. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念结合选项解答即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故该选项错误； B、不是轴对称图形，故该选项错误； C、是轴对称图形，故该选项正确； D、不是轴对称图形，故该选项错误． 故选：C． 4. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（ ） A. 32° B. 48° C. 44° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角，熟练掌握各性质定理是解题关键．延长交于点F，得然后由三角形外角求解即可． 【详解】解：延长交于点F，如图： 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 6. 已知点A在直线上，点B，C，，在抛物线上，当时，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，求出二次函数的最小值，以及两个函数图象的交点，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值为1， ∴， 联立，解得：或， ∴两个图象的交点为，如图， 当时，， 由图可知：； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可﹒ 【详解】解：﹒ 8. 我国神舟十九号在2024年10月30号成功发射，新华网进行全程直播，超过5120000多人次在线观看，5120000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里． 【详解】 故答案为： 9. 设、是方程的两个根，且，则m的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两实数根，则是解题的关键． 10. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 11. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故答案为：． 12. 已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为______． 【答案】，或 【解析】 【分析】根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形 ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ①当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ②当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，平分，于点E，，， 求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握运算法则和相关的性质，是解题的关键． （1）根据立方根定义，负整数指数幂和零指数幂运算法则以及绝对值性质，进行计算即可； （2）根据是角平分线，，，，得出，求出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵是角平分线，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 14. 下面是小友同学解不等式的运算过程： （1）以上解题过程中，从第________步骤开始出现错误，这一步错误的原因是_______； （2）请写出该不等式正确的求解过程． 【答案】（1）②；去括号时，常数项没有乘 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （）根据去括号时，常数项没乘即可求解； （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； 【小问1详解】 解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘， 故答案为：②；去括号时，常数项没有乘； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 15. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 16. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作的一条平行线； （2）如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，直线即为所作， 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理及三角形的重心． （1）连接，证明，可得； （2）连接，连接交于点，交于点，连接交于点，作直线，则直线即为所作，利用三角形重心的性质和垂径定理即可得证． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所作， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴点是三角形的重心， ∴点是的中点， ∴直线是的垂直平分线， ∴直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 17. 如图，点在反比例函数图象上，点为第三象限内一点，连接并平移得到，点D在第四象限反比例函数图象上，点C落在第一象限且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． （1）点C的坐标为_________，点D的坐标为_________（用含a的式子表示）； （2）求直线的表达式． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质． （1）根据题意得，根据可得平移规律，由平移规律可得点D的坐标； （2）根据点B和D的坐标列方程可得a的值，再利用待定系数法可得直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵点C落在第一象限且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． ∴， ∵， 由平移可知：线段向下平移1个单位，再向右平移3个单位， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点A和点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， 设直线的表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 有一个数学游戏，如图，一个实数从A，B，C三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置． 例如：将3按照 (或) 的顺序进行运算，是将数据3经过“乘以”的运算得出结果． （1）将 按照 的顺序进行运算， 列出算式并求出运算结果； （2）将一个大于3的数按照 的顺序进行运算，发现运算结果总小于 1． 请验证这个结论． 【答案】（1）， 原式 （2） 解：设这个数为x， 则． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，不等式的性质，列代数式，根据题意列出算式并准确计算成为解题的关键． （1）根据列出算式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先根据的运算顺序列出代数式，然后根据不等式的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：列式为： ． 【小问2详解】 略 19. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为243m． 【解析】 【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解； （2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)， 在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°， ∴， ∴AC=120(m)， 答：无人机的高度AC=； （2）根据题意得：DE=8(m)， 则CE= DE+CD=520(m)， 过点B作BF⊥CE于点F， 则四边形ABFC为矩形， ∴AB=FC，BF=AC=， 在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°， ∴， ∴EF=(m)， ∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)， 答：AB的长度为243m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 20. 为了弘扬长征精神，传承红色基因，某校举行了以“长征精神进校园，革命历史记心间”为主题的知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了部分七、八年级学生的分数x（百分制），过程如下： 收集数据 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下： 80 82 84 85 86 86 88 88 89 90 92 93 94 95 95 95 99 99 100 100 整理、描述数据 按如下分段整理描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 6 a 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 89 96 八年级 91 b c 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为89分，_________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）； （3）补全七、八年级成绩统计图，从统计图来看，分数较整齐的是_________年级．（填“七”或“八”） （4）若该校八年级共有1000人，并且全部参赛，估计八年级学生中分数不低于95的人数． 【答案】（1）4；91；95 （2）七年级甲同学 （3）八 （4）估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）根据八年级的分数表格得，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值； （2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论； （3）根据根据八年级的分数表格得出不同阶段的学生人数，再根据人数补全图形，观察图形即可求解； （4）用八年级不低于95分的比例乘以总人数即可求解； 【小问1详解】 解：由八年级的分数表格得，分数在有4个， ， 八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分， （分）， 八年级成绩的95分出现了3次，次数最多， ， 故答案为：4；91；95； 【小问2详解】 解：七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前， 理由如下： ∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分， ∴89分等于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：根据八年级的分数表格得：成绩在有7人， 补全图形如图所示： 从统计图来看，分数较整齐的是八年级， 故答案为：八； 【小问4详解】 解：∵样本中八年级不低于95分的有7人， ∴（人）， 答：估计八年级参赛学生的分数不低于95分的有350人． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且． （1）求证：直线是的切线： （2）若，，求的长， 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， 即， ， ， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径确定直角，再由等腰三角形三线合一的性质，推出，最后利用圆的切线的判定方法进行解答即可； （2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出、、，进而求出、，再根据相似三角形的判定和性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，， ，， ，， ， 在中，，， ，， ， ， ， 即， 解得， 经检验是原方程的解， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 22. 【问题情境】 （1）如图，把一块三角板（，）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为_______． 【变式探究】 （2）如图，在四边形中，点是线段上一点，且满足，，，试说明； （3）如图，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【答案】（1）； （2），，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，即可得解； （3）在上取点，使，连接，，证明得，，进而求得，所以，求得，由，得，最后根据即可得解． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）在上取点，使，连接，如图， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 六、解答题（本大题12分） 23. 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为， 将代入得，，解得， ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴， 将代入得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $