精品解析：江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024－2025学年九年级下学期4月期中 数学试题 注意事项： 1．本试题共2页，共27题．满分150分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. －2 C. 0 D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在下列四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为（ ） A. B. C. D. 5. 2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 32，31 B. 31，32 C. 31，31 D. 32，35 6. 下列各数：（两个3之间0的个数依次增加1个），其中无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是( ) A. 2π B. π C. D. 6π 8. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于（ ） A. 9 B. 6 C. D. 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 在实数范围内分解因式：_______． 11. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 12. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________． 13. 数据102，99，101，98，100的方差是_________． 14. 如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC=12，那么线段GE的长为__． 15. 已知函数的图象与坐标轴共有两个公共点，则 ． 16. 在中，，，那么的最大值为_________． 三．解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1． 19. 解不等式组 ，并求出的最小整数解. 20. 如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF． (1)求证：△ADE≌△BCF； (2)若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形． 21. 如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内． （1）求居民楼AB的高度； （2）求C、A之间的距离．（结果保留根号） 22. 为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）： （1）报名参加课外活动小组的学生共有 人，将条形图补充完整； （2）扇形图中m= ，n= ； （3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明． 23. 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图像交于点M，过M作轴于点H，且． （1）请直接写出k的值； （2）设点是反比例函数图像上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围； （2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 25. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，的延长线于的切线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） （1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　； （2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标； （2）若四边形为矩形，，点以每秒1个单位长度的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值； （3）抛物线的对称轴与轴交于点，是点关于点的对称点，是轴下方抛物线上的动点．若过点的直线：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2024－2025学年九年级下学期4月期中 数学试题 注意事项： 1．本试题共2页，共27题．满分150分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. －2 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的意义，解题的关键是掌握求一个数的倒数的方法． 根据倒数的意义，即乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解： ∴的倒数是2， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方很容易混淆，记准法则是解本题的关键．根据合并同类项系数相加字母及指数不变，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的乘法底数不变指数相加． 【详解】解：A、和不是同类项不能合并，本选项错误； B、，本选项错误； C、，本选项错误； D、．本选项正确． 故选：D． 3. 中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达3119万册，其中古籍善本约有2000000册．2000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：把一个数写成a×10n的形式,叫做科学记数法,其中1≤|a|<10,因此2000000用科学记数法应表示为2×106． 考点：科学记数法——表示较大的数． 4. 在下列四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆；圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是圆环；圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点；球的主视图、左视图、俯视图都是圆．故选D 考点：三视图． 5. 2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 32，31 B. 31，32 C. 31，31 D. 32，35 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数的概念， 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据此求解即可． 【详解】解：从小到大排列此数据为：30、31、31、31、32、34、35， 数据31出现了三次，出现次数最多，处在中间的数是31． 所以本题这组数据的众数是31，中位数是31． 故选：C． 6. 下列各数：（两个3之间0的个数依次增加1个），其中无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，特殊角的三角函数值，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是无理数，是有理数，是有理数，是有理数，（两个3之间0的个数依次增加1个）是无理数， ∴无理数有2个， 故选：B． 7. 如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是( ) A. 2π B. π C. D. 6π 【答案】A 【解析】 【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴阴影部分的面积==2π． 故选A． 8. 已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于（ ） A. 9 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，把变形为，代入所求式子，根据配方法进行变形，利用偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 则代数式的最小值等于． 故选：A． 二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 在实数范围内分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 12. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________． 【答案】m＞1且m≠2． 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】原方程整理得：2x-m=x-1 解得：x=m-1 因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．① 又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．② 由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2． 故答案为：m＞1且m≠2． 【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点. 13. 数据102，99，101，98，100的方差是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是熟练掌握方差的公式． 先求出平均数，再利用方差的公式进行求解即可． 【详解】解：该组数的平均数为， ∴该组数的方差为 故答案为：2． 14. 如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC=12，那么线段GE的长为__． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据三角形重心性质得到AG=2GD，AD=CD=BC=6，再证明△AGE∽△ADC，然后利用相似比可计算GE的长． 【详解】∵点G是△ABC的重心， ∴AD为中线，AG=2GD， ∴AD=CD=BC=6， ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ADC， ∴，即， ∴GE=4． 故答案为4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是理解三角形重心的性质． 15. 已知函数的图象与坐标轴共有两个公共点，则 ． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征． 分别利用一次函数图象的性质以及二次函数与x轴交点的性质得出m的值． 【详解】解：当是一次函数，此图象与坐标轴有两个交点， 当，若函数的图象与坐标轴共有两个公共点，则与x轴必然一个交点， 故， 解得：， 故m的值为：0或1． 故答案为0或1． 16. 在中，，，那么的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的判别式和最值的知识点，需熟记勾股定理的运用和最值问题．过点作于点，令，，勾股定理表示出，然后得到，设，得到，代入，得到，然后利用判别式求解即可．利用勾股定理和取最值即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 令，， 在中， ∵， ∴， ，， 在中，由勾股可得：， ， ∴设， ， 代入 可得：， 整理得， ∴，， 解得：， 即的最大值为． 故答案为：． 三．解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了去绝对值，零指数幂的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，熟练的进行相关运算是解题关键． （1）运用去绝对值，零指数幂的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则进行计算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2） ∴． 18. 先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣1． 【答案】，﹣ 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 19. 解不等式组 ，并求出的最小整数解. 【答案】；最小整数解是． 【解析】 【分析】先利用不等式的解法求解每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集；接下来根据不等式组的解集确定其最小整数解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集是， ∴符合条件的最小整数解是． 【点睛】此题考查了解不等式组，解此类题是要求出每一个不等式的解集，然后取公共部分即可得到不等式组的解集． 20. 如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF． (1)求证：△ADE≌△BCF； (2)若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形． 【答案】 （1）∵平行四边形ABCD， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCF． ∵DE∥AC， ∴∠DAC＝∠EDA， ∴∠FCB＝∠EDA． 在△ADE与△BCF中， ∵， ∴△ADE≌△BCF（SAS）； （2）∵DE∥AC，且DE＝AC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴DC＝EF，且DC∥EF． 又∵AB＝CD，AB∥CD， ∴AB＝EF，AB∥EF， ∴四边形ABFE是平行四边形． ∵△ADE≌△BCF， ∴∠AED＝∠BFC． ∵∠BAF+∠AED＝180°， ∴∠BAF+∠BFC＝180°． 又∵∠BFA+∠BFC＝180°， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BA＝BF， ∴四边形ABFE为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定和全等三角形的判定解答． 21. 如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内． （1）求居民楼AB的高度； （2）求C、A之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）m；（2）m． 【解析】 【分析】（1）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△PCE中，根据，即可得到结论； （2）在Rt△ABP中求出BP，则BE=BP+PE， 【详解】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E， 在Rt△PCE中， ∵PC=30m，∠CPE=45°， ∴m，m ∵点C与点A恰好在同一水平线上，民楼底部B与山脚P位于同一水平线上， ∴m, （2）在Rt△ABP中, ∵∠APB=60°， ∴，即， ∴m 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 22. 为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）： （1）报名参加课外活动小组的学生共有 人，将条形图补充完整； （2）扇形图中m= ，n= ； （3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明． 【答案】（1）参加民族乐器的有30人，作图略；（2）25，108；（3），作图略． 【解析】 【详解】（1）用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图； （2）根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可； （3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 解：（1）∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人，占13%， ∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人， 参加民族乐器的有100﹣32﹣25﹣13=30人， 统计图为： （2）∵m%=×100%=25%，∴m=25， n=×360=108， 故答案为25，108； （3）树状图分析如下： ∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种， ∴P（选中甲、乙）==． “点睛”本题考查了扇形统计图、条形统计图及列表与树状图法求概率的知识，解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 23. 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图像交于点M，过M作轴于点H，且． （1）请直接写出k的值； （2）设点是反比例函数图像上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）)对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y=x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可； （2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P，此时PM+PN最小，由N与N1关于y轴的对称，根据N坐标求出N1坐标，设直线MN1的解析式为y=kx+b，把M，N1的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN1的解析式，令x=0求出y的值，即可确定出P坐标． 【小问1详解】 由可得，即， ， ， 轴， 点M的横坐标为2， 点M在直线上， 点M的纵坐标为3，即， 点M在反比例函数的图像上， ； 【小问2详解】 ∵点在函数的图像上， ∴，即点N的坐标为， 作N关于y轴的对称点，连接，交y轴于P（如图），此时最小， ∵N与关于y轴的对称，N点坐标为， ∴的坐标为， 设直线的解析式为，把M，的坐标得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴P点坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 24. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围； （2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1）w＝-10x2+700x-10000(20≤x≤32)；（2）当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． 【解析】 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； 【详解】（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）． （2）∵w＝-10x2+700x-10000＝-10(x-35)2+2250． ∴对称轴为：x=35， ∵a＝-10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大， ∴当x＝32时，w最大＝2160． 答：当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． 【点睛】本题考查二次函数的应用．重点在于根据题意列出函数关系式． 25. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，的延长线于的切线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的直径， ， ． 是的切线， ， 即． ． ，， ； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键． （1）首先连接，由为直径，可得，又由是的切线，易证得．然后由，证得：； （2）首先连接，设，由勾股定理可得方程：求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ， 设， ：：， ，， ， 在中，， 即， ． 26. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） （1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　； （2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；（3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出CE⊥BG，得出四边形CGEB是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）如图1，∵AC⊥BD， ∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2， （3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴， ∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4，BE＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点的坐标； （2）若四边形为矩形，，点以每秒1个单位长度的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值； （3）抛物线的对称轴与轴交于点，是点关于点的对称点，是轴下方抛物线上的动点．若过点的直线：与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 【答案】（1）， （2）的值为或 （3） 解：由题意得 ，， ， ， 由抛物线的对称性易得 ， ，  直线  与抛物线只有一个公共点，  关于 的方程 ，即  有两个相等的实数根， ， 解得 ， 设直线对应的函数表达式为 ，  点 ， 在直线  上，   解得    直线  对应的函数表达式为 ， 为定值． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数和一次函数的表达式，顶点坐标，三角函数比，相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用待定系数法求二次函数的表达式，利用顶点表达式即可求出顶点坐标； （2）采用分类讨论，分别当和时，利用相似比列出方程求解即可； （3）利用勾股定理求得的长，再利用三角函数比求出，根据直线和坐标轴的交点个数得出，利用待定系数法求出直线  对应的函数表达式，最后求的结果即可． 【小问1详解】 解： 点 ， 在抛物线  上， 解得    抛物线对应的函数表达式为 又 ，  顶点 D 的坐标为 ； 【小问2详解】 解：由题意得 ，，，，， ①当  时，，即 ，解得 ； ②当  时，，即 ，解得 ； 综上所述，当以 ，，为顶点的三角形与  相似时，的值为  或 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $