总复习 统计与概率-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版 广东专用）

三　统计与概率 1. 统　计 第1课时 统 计(1) 1. (揭阳揭东区)下图是揭阳市某年1月至6月 的平均气温统计图。 (1) ( )月的平均气温最高,( )月的 平均气温最低。 (2) 从4月到5月,平均气温上升了( )℃。 (3) 第一季度的月平均气温是( )℃。 2. (地域特色)下面是某一天来广州塔游玩的游 客人群分类的扇形统计图。 (1) 这一天来广州塔游玩的游客中,未成年 人占( )%。 (2) 这一天来广州塔游玩的游客中,老年人 有870人,则这一天来广州塔游玩的游客共 有多少人? (3) 在(2)的情况下,这一天来广州塔游玩的 游客中,中年人和青年人各有多少人? 3. (社会生活)我国是人口大国,人口自然增长 数=出生人数-死亡人数。人口增长过快 时,国家会出政策限制人口;人口增长过缓甚 至出生人数少于死亡人数时,总人口数也会逐 渐下降,影响国家发展。下图是2018年~ 2023年全国出生人数和死亡人数的统计情况。 (1) ( )年出生人数最少,( )年死亡 人数最多。 (2) ( )年出生人数和死亡人数相差最 大,( )年出生人数和死亡人数相差最小。 (3) 根据统计图中数据,预测2025年的出生 人数( )死亡人数。(填“>”“<”或“=”) (4) 2021年,国家实施三孩政策,鼓励生育, 请结合数据简要分析原因。 4. (思维过程)某次知识竞赛,参赛的女生人数 与男生人数的比是1∶3,这次竞赛的平均成 绩是82分,其中男生的平均成绩是80分。 女生的平均成绩是多少分? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 57 总 复 习 第2课时 统 计(2) 1. 选一选。 (1) 亮亮所在班级学生的平均身高为149cm, 明明所在班级学生的平均身高为152cm,那 么亮亮和明明相比,( )。 A. 亮亮更高 B. 明明更高 C. 一样高 D. 无法确定谁更高 (2) 一次数学考试,4名同学的成绩从小到大 排列是80分、84分、a分、90分,他们的平均 成绩可能是( )。 A. 80分 B. 85分 C. 88分 D. 89分 2. (生活应用)某服装公司通过大数据获得A,B 两种品牌服装2019年至2023年“五一”期间 的销售情况如下表: 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 A 40万元 50万元 45万元 40万元 30万元 B 20万元 30万元 45万元 55万元 70万元 (1) 根据表中数据,完成下面的统计图。 (2) 根据统计图回答问题。 ① A,B两种品牌服装( )年“五一”期间 销售额相同。( )年销售额相差最大。 ② 按照图中趋势,2024年B品牌服装的销售 额大约会是多少? 你是怎样想的? 3. (探究创新)下面两幅统计图反映的是甲、乙 两名同学在复习阶段的自测成绩和在家学习 的时间分配情况。请看图回答问题。 (1) 从折线统计图中可以看出,( )的成 绩提高得快。 (2) 从条形统计图中可以看出,( )思考 的时间多一些,多( )分。 (3) 根据调查情况,说说你的想法。 4. 丽丽在一次期末测试中,语文和数学的平均 成绩是91分。要想语文、数学、英语三门科 目的平均成绩不低于93分,她的英语至少要 得多少分? 5. (思维过程)五位裁判员给一名体操运动员打 分,去掉一个最高分和一个最低分,平均分为 9.58分;去掉一个最高分,平均分为9.46分; 去掉一个最低分,平均分为9.66分。这名体 操运动员的最高分和最低分相差多少分? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 67 数学(北师版·广东专用)六年级下 2. 可 能 性 1. 选一选。 (1) (生活体验)今天是2月28日星期一,明 天( )是3月1日,( )是星期二。 A. 可能 B. 不可能 C. 一定 D. 一定不 (2) (深圳南山区)淘气抛一枚硬币10次, ( )。 A. 一定是5次正面朝上,5次反面朝上 B. 前三次正面朝上,第四次一定会是正面 朝上 C. 每次抛硬币,正面朝上和反面朝上的可能 性相等 2. 实验小学举办“庆元旦”联欢活动,六(1)班正 在进行趣味抽奖,李老师在盒子里放了13张 大小、质地完全相同的奖券。 (1) 从盒子里任意抽出一张奖券,抽出的 ( )(填“可能”或“不可能”)是才艺奖券; 抽出( )奖券的可能性大,抽出( )奖 券的可能性小。 (2) 再放入( )张智慧奖券,抽出两种奖 券的可能性相等;至少拿出( )张勤劳奖 券,抽出智慧奖券的可能性比抽出勤劳奖券 的可能性大。 3. 丁丁和宁宁进行摸球游戏,每次从盒子里摸 出一个球,然后放回并摇匀,每人摸20次,记 录如下: 丁丁的摸球结果: 宁宁的摸球结果: 颜 色 绿色 黑色 次 数 16 4 颜 色 绿色 黑色 次 数 15 5 盒子里哪种颜色的球可能多一些? 你是怎么 想的? 4. (创新意识)在盒子里放红、黄、蓝三种颜色的 球共7个(球除颜色外其他完全相同),请按 要求设计放球方案。 (1) 任意摸出一个球,要使摸到三种颜色球 的可能性不一样大,应该怎样放球? (写出一 种方案) (2) 任意摸出一个球,要使摸到红色球的可 能性最大,摸到黄色球和蓝色球的可能性相 等,应该怎样放球? (写出所有方案) 5. (说理表达)聪聪和明明做数学游戏,他们两 人同时从四张分别写有6,7,8,9的卡片中各 抽出一张(6和9不混用),把两人抽到的卡 片上的数相乘,如果积是奇数,那么算聪聪 赢;如果积是偶数,那么算明明赢。这个游戏 公平吗? 为什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 总 复 习 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (丽水龙泉)如左下图,以A,B,C,D四人 平均体重为基准,用条形统计图表示出A,B, D三人体重分别为4千克、-8千克、-2千 克,则C的体重应表示为( )千克;若平均 体重是40千克,则B的体重是( )千克。 (2) (湛江麻章区)如右上图所示为某店2023年 端午节期间粽子的销售情况,其中肉粽卖出 了320个,豆沙粽卖出了( )个;若要调查 近五年来该店端午节期间粽子销量的整体趋 势,则应选择( )统计图。 2. 选一选。 (1) (金华永康)一个不透明的口袋里有除颜 色外其他完全一样的4个黄球和4个红球, 从中任意摸出一个球,要使摸出黄球的可能 性大,可以( )。 A. 拿出2个黄球 B. 放入2个红球 C. 放入2个白球 D. 拿出2个红球 (2) (梅州)甲、乙、丙三个数的平均数是35, 甲、乙两个数的平均数是29,丙数是( )。 A. 50 B. 48 C. 47 D. 46 3. (深圳南山区)观察下面的统计图,并回答 问题。 (1) 从统计图中可以看出,男生在( )岁 身高增长最快;( )岁开始,男生身高增长 高度超过了女生。 (2) 14岁时男生身高增长高度比女生多百分 之几? 4. (深圳宝安区)珍惜粮食,远离浪费。某学校 有一天随机调查了同学们午餐饭菜的剩余情 况(A:没有剩余,B:剩余少量,C:剩余一半, D:剩余大量),并根据统计结果绘制了如下 两幅不完整的统计图。 (1) 请你利用统计图中已有的信息算一算, 并将两幅统计图分别补充完整。(写出必要 的计算过程) (2) 请你根据上面统计图中的信息,向学校 提出开展“光盘行动”的建议。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 87 数学(北师版·广东专用)六年级下 统计与概率整合提升 类型一 折线统计图的综合应用 折线统计图不仅能反映数量的多少,还能反映出数据 的变化情况。 1. (生活应用)张叔叔是一名出租车司机,下面 是他上个星期每天收车时汽车里程数的情 况。星期一发车时汽车的里程数是100km。 (1) 张叔叔星期三行驶了( )km,上个星 期前三天共行驶了12h,平均每时行驶 ( )km。 (2) 张叔叔星期四休息,星期五又驾车行驶 了240km。请标出星期四、星期五收车时汽 车的里程数,并完成这幅折线统计图。 类型二 平均数问题 平均数=总数÷份数,在解决平均数问题时,需要注 意灵活运用公式。 2. (地域景观)绿水青山就是金山银山。广东有 许多美丽的山水,其中罗浮山和白云山的平 均海拔是839米,白云山和鼎湖山的平均海 拔是691米,罗浮山和鼎湖山的平均海拔是 1148米。这三座山的海拔分别是多少? 类型三 根据可能性大小设计 根据可能性大小设计时要综合考虑,满足所有条件, 答案可能不唯一。 3. 如图,指针可能停在红色、黄色、蓝色区域,并 且停在红色区域的可能性最大,停在蓝色区 域的可能性最小(若指针指在边界线上,则重 转)。按照题目要求标注区域颜色。 素养点 简单的动点问题 4. (创新应用)如图①所示为一个长方形ABCD, 点P 从点A 出发,以5cm/s的速度沿长方 形的边按逆时针方向移动一周,把A,P,B 三点连接起来,得到的三角形APB 的面积 与点P 移动的时间之间的关系如图②所示。 长方形ABCD 的面积是多少平方厘米? 思路提示:根据折线图可以找到几个关键的时间 节点。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 97 总 复 习 5. 30-6=24(人) 24÷2=12(人) 12×12= 144(人) 解析:晓晓的编号是30,排在第6列第 3行,即是第3行从左往右数的第6个,那么前两行 就应是编号1~24的运动员,排成的是方阵,每行、每 列的人数相等,可推出共有12行、12列,用每行人数 乘每列人数即可得到本次运动会运动员的总人数。 提分真题集训 1. (1) 150 (2) 104 (3) 11 27 (4) 37.68 (5) 95.14 2. (1) D (2) C 3. 解:设圆锥形铁块的体积为xcm3,则圆柱形铁块 的体积为3xcm3。 x+3x=3.14×102×(9-5) x=314 4. (1) 3.14×62×10-3.14×32×10=847.8(cm3) (2) 847.8÷(13×10)≈6.5(cm) 图形与几何整合提升 1. 3.6÷4=0.9(m) 0.9× 44+3+2=0.4 (m) 0.9× 34+3+2=0.3 (m) 0.9× 24+3+2=0.2 (m) 2. 1 4×3.14×6 2-6×6÷2=10.26(cm2) 解析:将靠近点O 的涂色部分进行分割(如图①),再 把分割的两部分分别旋转90°(如图②),可以发现,涂 色部分的面积=14× 以OA 长为半径的圆的面积- 直角三角形AOB 的面积。 3. 1 2×12×12=72 (cm2) 4. 3.14×(5÷2)2÷2×2-5×5÷2=7.125(cm2) 5. 3.14×(16÷2)2÷2×4-16×16=145.92(m2) 解析:涂色部分的面积相当于四个半圆的面积之和减 去正方形的面积。 6. 30×20×30÷(40×30+30×20)=10(cm) 7. 15cm=1.5dm 水面的高度:4×1×1.5÷(2× 1)=3(dm) 水与容器接触的面积:2×1+(2×3+ 1×3)×2=20(dm2) 8. C 9. (12-4+12)×2÷2=20(cm2) 解析:因为涂色 部分的面积+空白小三角形的面积=空白小三角形 的面积+空白梯形的面积,所以涂色部分的面积和空 白梯形的面积是相等的。 10. 3.14×(4÷2)2×(15+9)÷2=150.72(cm3) 解析:这段木头的形状是一个不规则的立体图形,直 观感知它的形状是圆柱的一部分。如果将同样的两 段接到一起,就会拼成一个圆柱,底面直径是4cm, 高是15+9=24(cm),那么计算这段木头的体积可转 化为计算圆柱体积的一半。 11. 5×6×(4+8)÷2=180(cm3) 解析:把两个这样的水晶纪念品拼在一起可以拼成一 个长方体,求出长方体的体积再除以2,即可得到这 个水晶纪念品的体积。 三　统计与概率 1. 统　计 第1课时 统 计(1) 1. (1) 6 1 (2) 5 (3) 19 2. (1) 30 (2) 870÷15%=5800(人) (3) 中年人: 5800×35%=2030(人) 青年人:5800×20%=1160(人) 3. (1) 2023 2023 (2) 2018 2021 (3) < (4) 出生人数在逐年降低,当出生人数少于死亡人数 时,我国的总人口数就会下降,从而影响我国的发展 (合理即可) 4. 解:设女生的平均成绩是x分。 x×1+80×3=82×(1+3) x=88 解析:根据题意,可找出等量关系:女生的平均成绩× 1+男生的平均成绩×3=竞赛的平均成绩×(1+3)。 设女生的平均成绩是x分,列方程解答。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 第2课时 统 计(2) 1. (1) D (2) B 2. (1) (2) ① 2021 2023 ② 80万元 通过观察统计表, B品牌服装的销售额每年增加10万元左右,所以 2024年B品牌服装的销售额大约会是80万元(合理 即可) 3. (1) 甲 (2) 甲 10 (3) 多思考比多做题更有利 于成绩的提高(合理即可) 4. 93×3-91×2=97(分) 5. 最低分:9.46×4-9.58×3=9.1(分) 最高分: 9.66×4-9.58×3=9.9(分) 9.9-9.1=0.8(分) 解析:五位裁判员给一名体操运动员打分,去掉一个 最高分和一个最低分,平均分为9.58分,说明中间评分 的三位裁判员共打分9.58×3=28.74(分)。根据 “去掉一个最高分,平均分为9.46分”,可以求出其他 四位裁判员打的总分,减去中间评分的三位裁判员打 的总分,即得最低分,同理可得裁判员打的最高分,最 后用最高分减最低分即为所求。 　 2. 可 能 性 1. (1) A C (2) C 2. (1) 不可能 勤劳 智慧 (2) 7 8 3. 盒子里绿色的球可能多一些 因为两人摸到绿色 的球的次数多 4. (1) 答案不唯一,如红色球放4个,黄色球放2个, 蓝色球放1个 (2) 方案一:红色球放3个,黄色球 放2个,蓝色球放2个 方案二:红色球放5个,黄色 球放1个,蓝色球放1个 5. 不公平 因为从分别写有6,7,8,9的四张卡片中 任意抽出其中的两张,可以得到的积是6×7=42, 6×8=48,6×9=54,7×8=56,7×9=63,8×9=72, 共有6种,其中相乘后得到的积为偶数的有5种,得 到的积为奇数的有1种,明明赢的可能性大,聪聪赢 的可能性小,所以这个游戏不公平 提分真题集训 1. (1) 6 32 (2) 56 折线 2. (1) D (2) C 3. (1) 13 12 (2) (6.5-2)÷2=225% 4. (1) 400÷40%=1000(人) C:250÷1000=25% D:150÷1000=15% B:1-40%-25%-15%= 20% 1000×20%=200(人) 图略 (2) 对饭菜没有剩余的同学进行奖励(合理即可) 统计与概率整合提升 1. (1) 154 61 (2) 解析:张叔叔星期四休息,汽车的里程数仍然是 832km,星期五又驾车行驶了240km,则星期五收车 时汽车的里程数是832+240=1072(km),据此完成 折线统计图。 2. (839×2+691×2+1148×2)÷2=2678(米) 罗浮山:2678-691×2=1296(米) 白云山:2678-1148×2=382(米) 鼎湖山:2678-839×2=1000(米) 3. 4. (5×3)×(5×2)=150(cm2) 解析:当点P 在边 AD 上移动时,三角形APB 的面积逐渐增大,当点P 在边DC 上移动时,三角形APB 的面积始终是长方 形ABCD 面积的一半。从题图中可以看出,点P 在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 边AD 上移动的时间为3s,在边DC 上移动的时间 为2s,则边AD 的长是5×3=15(cm),边DC的长是 5×2=10(cm),所以长方形ABCD 的面积是15× 10=150(cm2)。 四　解决问题的策略 第1课时 解决问题的 策略(1) 1. (1) 9 (2) 3 (3) 21 2. 3. 篮球小组 美术小组 书法小组 小明 ✕ 􀳫 ✕ 小亮 􀳫 ✕ ✕ 小刚 ✕ ✕ 􀳫 4. 7个 边长分别为1cm、2cm、5cm、3cm、6cm、 7cm、8cm 5. 400÷10=40(米) 60×40=2400(平方米) 6. (1) 甲 乙 丙 红灯 红灯 红灯 红灯 红灯 绿灯 红灯 绿灯 红灯 红灯 绿灯 绿灯 绿灯 红灯 红灯 绿灯 红灯 绿灯 绿灯 绿灯 红灯 绿灯 绿灯 绿灯 (2) 1 2 解析:由(1)中表可知,三位评委给一名选手 亮灯的所有可能情况有8种,至少有2盏绿灯的情况 有4种,所以每名选手通过的可能性是12 。 第2课时 解决问题的 策略(2) 1. 五言绝句/首 七言绝句/首 字的个数 10 10 480 11 9 472 12 8 464 … … … 12 8 方法归纳 用列表法解决“鸡兔同笼”问题 方法一:逐一列表法,按一定顺序,从假设鸡 有1只或兔有1只开始,直到找出答案。 方法二:估计鸡和兔的数量可能的范围,在 列举时调整鸡和兔的数量,以减少列举的次数。 方法三:取中列表法,从鸡和兔的数量各取 一半(或相差1只)开始列举,根据实际情况调整 列举的方向,尽可能缩小列举的范围。 2. 6 3. (1) 上午9:30 (2) 3 4 (3) (3-2)÷4=14 (时) 6÷14=24 (千米/时) 4. 20÷6≈3.3(元) 15÷4=3.75(元) 3.3<3.75 应尽量租大船 50÷6=8(条)……2(人) 方案一: 租8条大船、1条小船 8×20+15=175(元) 方案 二:租7条大船、2条小船 7×20+2×15=170(元) 170<175 租7条大船、2条小船最省钱,最少要花 170元 5. (1) 6 11 16 21 26 31 解析:1个圆环的长度是6厘米,以后每增加1个圆 环,就增加6-0.5×2=5(厘米),得出n(n为非零自 然数)个圆环扣在一起拉紧后的长度是[6+5(n- 1)]厘米。根据这一规律填表。 (2) 6+5×(18-1)=91(厘米) (3) (151-6)÷5+1=30(个) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62