五 认识方程-【拔尖特训】2024-2025学年四年级下册数学（北师大版）

五 认识方程 第1课时 字母表示数(1) 1. 填一填。 (1) 1只小白兔,有( )只耳朵, ( )条腿;n 只小白兔,有( )只 耳朵,( )条腿。 (2) 如图,摆1个蝴蝶结用了( )根 小棒,摆x 个蝴蝶结用了( )根小 棒,y根小棒可以摆( )个蝴蝶结。 (3) (知识科普)国际足联世界杯一般 每4年举办一次,是世界上具有较大知 名度和影响力的足球赛事。在x 年举 办一次后,下一次举办是在( )年。 2. (生活应用)下面的式子分别表示什么? 商 品 单 价 a元/件 13元/袋 b元/千克 (1) 2×a+b表示 。 (2) 4×13-b表示 。 (3) 200-(a+b)表示 。 (4) 5×(13+b)表示 。 3. 选一选。 (1) 今年爸爸a 岁,小红(a-b)岁, x年后,爸爸比小红大( )岁。 A. b B. x C. b+x (2) (模型意识)三个连续的单数,中间 一个数是n,最大的一个数是( )。 A. n-2 B. n+2 C. n+4 4. (推理意识)先找出下表中每行数的规 律,再用含有字母的式子填一填。 1 2 3 4 5 … n 2 4 6 8 10 … 0 3 8 15 24 … 5. (数形结合)观察下图,回答问题。 (1) 第4个图形中有多少个实心圆点? (2) 按此规律摆下去,第n 个图形中 有多少个实心圆点? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 第2课时 字母表示数(2) 1. ★简写下面各式。 b×5= a×c= x×5.6= 1×x= x×x= y+y= 2. (算理理解)根据运算律在 里填上 适当的数或字母。 6.3+(m+3.7)=( + )+m 58-a-b=58-( + ) a×b×c=a×( × ) 8×(125+m)= × + × 7.8x-x=( - )× 3. (人文历史)古代的人们经常用骑马的 方式传递信息。如果需要传递的公文 非常紧急,那么要按每天300里的速度 传递。某驿卒要将一封非常紧急的公 文送到500里外的县衙,他已经骑行了 t天。(里是表示距离的长度单位) (1) 用含有t的式子表示公文距离县 衙还有多少里。 (2) 当t=1.2时,公文距离县衙还有 多少里? 4. 看图填一填,算一算。(单位:cm) (1) 上图中,空白部分是一个正方形, 整个图形的面积是( )cm2,涂色部 分的面积是( )cm2。 (2) 当x=3.5,y=2时,整个图形的 周长和空白部分的面积分别是多少? 5. (推理意识)下面每个大正方形的边长 是a 厘米,用含有字母的式子表示每 个图形的周长。 ( )厘米 ( )厘米 ( )厘米 观察图形的规律,按照这样的规律,第 100个图形的周长是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 五　认识方程 第3课时 等量关系 1. 看图写出等量关系。 (1) (2) 2. 根据图意,下面等量关系正确的有 ( )个。 ① 梨的个数×3=枣的个数; ② 桃的个数+6=梨的个数; ③ 梨的个数+6=桃的个数; ④ 桃的个数-6=枣的个数÷3; ⑤ 枣的个数÷3=梨的个数。 A. 2 B. 3 C. 4 3. 用字母表示等量关系。 (1) 如果用c表示工作总量,a表示工 作效率,t 表示工作时间,那么c= ( ),a=( ),t=( )。 (2) 如果用s表示路程,v 表示速度, t表示时间,那么s=( ),v= ( ),t=( )。 4. (人文历史)先画出线段图,再写出等 量关系。 颐和园是我国保存最完整的一座皇家 行宫御苑,颐和园的占地面积约为 2.9平方千米,比世界上面积最小的国 家———梵蒂冈的占地面积的6倍还多 0.26平方千米。 5. (推理意识) 、 、 分别表示三种不 同的物体。如图,前两架天平保持平 衡,如果要使第三架天平也保持平衡, 那么“?”处应放几个 ? 6. (创新应用)写出下面的等量关系。 李老师给优秀学生发奖品,如果每人 发2支钢笔,那么多出1支;如果每人 发3支钢笔,那么少了13支。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84 数学(北师版)四年级下 第4课时 方 程 1. 选一选。 (1) ★下面式子是方程的有( )个。 3a>19 6y=0 32-12=20 a÷2=6 x-0.75 x+1.5=9.1 A. 3 B. 4 C. 5 (2) 一个足球场的长为105米,比宽的 2倍少31米。宽为多少米? 设宽为x米, 下面所列方程中,正确的有( )个。 105-2x=31 2x-31=105 2(x+31)=105 2x=105+31 A. 1 B. 2 C. 3 2. 看图列方程。 (1) (2) (3) 3. 先找到等量关系,再列出方程。 一个两位数是89,十位上的数字是y, 个位上的数字是9。 等量关系: 方程: 4. (生活应用)甲袋有85个乒乓球,乙袋 有49个乒乓球,每次从甲袋中取x 个 放入乙袋中,取了6次后两袋乒乓球的 数量正好相等。根据题意列出方程。 5. (数表推理)下面是2025年9月的日 历,用方框任意框出9个数。 (1) 方框中正中间的数是x,左边的数 是( ),右边的数是( ),左上角 的数是( ),右下角的数是( )。 (2) 方框中的9个数的和与方框中正 中间的数有什么关系? (3) 若框出的9个数的和是153,则这 9个数分别是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 五　认识方程 第5课时 解 方 程(一) 1. 看图列方程,并解方程。 (1) (2) 2. 选一选。 (1) (算理理解)已知x=y-2,则下面 的式子中,不成立的是( )。 A. x-6=y-8 B. x-y=2 C. x+3=y+1 (2) 已知m+x=12,当x=5时,m 的 值是( )。 A. 5 B. 7 C. 12 (3) 已知x-13=25和 +x=91中 x的值相同,则 里的数应是( )。 A. 38 B. 53 C. 79 3. 在 里填上适当的数,使下面方程的 解都是x=9。 x+ =28.5 -x=6.1 4. 看图回答问题。 (1) (80-x)米表示( )。 (2) (80+y)米表示( )。 (3) 根据上图,列出一个方程并解答。 5. 小敏今年x 岁,小敏今年的年龄加上 15岁,再减去20岁,再加上35岁,结 果是42岁。小敏今年多少岁? 6. (思维过程)一副羽毛球拍x 元,小东 单独买还差29.5元,小南单独买还差 33.2元,如果两人合买一副,那么多 25.3元。这副羽毛球拍多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 数学(北师版)四年级下 第6课时 解 方 程(二) 1. 看图列方程,并解方程。 (1) (2) 2. (算理理解)森林医生。 (1) 改正: (2) 改正: 3. 解方程。 x÷200=8 9x=1035 4. (1) 已知方程5x=65和ax=195的 解相同,则a=( )。 (2) (思维过程)如果3x+y=90,y÷ x=3,那么x=( ),y=( )。 5. (几何直观)如图所示为由一个等边三 角形和一个正方形组成的图形,这个 图形的周长是40cm,求x的值。 6. (社会生活)为了便于残疾人轮椅通 行,某地通过了一项关于建筑物前斜 坡高度的规定:每1米高的斜坡,至少 需要12米的水平长度。如图,某建筑 物前的空地长36米,则此处斜坡最高 是多少米? (先填一填,再列方程解答) 斜坡的高度×( )=斜坡至少需要 的水平长度 解:设此处斜坡最高是x米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15 五　认识方程 第7课时 猜数游戏 1. ★看图列方程,并解方程。 (1) (2) 2. 猜数游戏。 宁宁心里想的数是多少? 等量关系: 列方程解答: 3. (社会生活)上海中心大厦高632米, 比法国巴黎的埃菲尔铁塔的高度的 2倍矮28米。埃菲尔铁塔高多少米? 4. (生活应用)某种玩具机器人3个为一 组。玩具厂要加工4600组玩具机器 人,已经加工了2000组,剩下的要 4天加工完,平均每天要加工多少组? 5. 小亮现在的身高是153厘米,体重是 49.5千克。他现在的身高比出生时的 3倍少3厘米,体重比出生时的12倍 多1.5千克。小亮出生时的身高和体 重各是多少? 6. (推理意识)如图,每行格子中的数与 字母的和都相等,则x=( ),y= ( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 数学(北师版)四年级下 第8课时 练 习 五 1. 填一填。 (1) 小明比小华大3岁,比小红小4岁, 如果小华x岁,那么小红( )岁。 (2) 要使x的值都等于10, 里应分 别填几? +x=26 x- =4.9 ×x=120 x÷ =5 2. 解方程。 2x+8=26 6x+7-8=35 2×9+16x=274 3. (生活应用)体育老师不小心把买体育 用品的小票弄脏了,你能求出1个篮 球的价钱是多少元吗? (先写出等量 关系,再列方程解答) 4. (知识科普)鞋的尺码是指鞋底的长 度,通常用“码”或“厘米”作单位,它们 之间的关系如下表: 长度/厘米 20 21 22 23 … 码 数 30 32 34 36 … (1) 当鞋底的长度是x 厘米时,对应 的码数是( )。 (2) 王老师穿的鞋是44码的,他穿的 鞋的鞋底的长度是多少厘米? 5. 甲、乙两辆汽车从相距588千米的两 地相对开出,乙车每时行58千米,经 过5时后两车还相距38千米(未相 遇),甲车每时行驶多少千米? 6. (推理意识)如图,观察长方形叠放的 规律,用含有字母的式子表示各个图 形的周长。 按照这样的方法叠放,第2025个图形 的周长是( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 五　认识方程 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (湛江廉江)一堆煤有a 吨,每车 运走 m 吨,运 了 5 车 后,运 走 了 ( )吨,还剩( )吨。 (2) (深圳罗湖区)根据下面的程序列 出方程。 列出的方程是( )。 (3) (泉州丰泽区)仔细观察下图,摆 1个三角形需要3根小棒,摆2个三角 形需5根小棒,摆3个三角形需要 7根小棒,摆5个三角形需要( )根 小棒,摆n 个三角形需要( )根小 棒,33根小棒可以摆( )个三角形。 2. 选一选。 (1) (朝阳北票)方程3x+5=8的解 与 ax-3=6的解相同,则a 的值为 ( )。 A. 9 B. 3 C. 1 D. 5 (2) (深圳罗湖区)一个篮球80元, ,求一个足球的价钱。设一个 足球x 元,若列出的方程是2x+15= 80,则横线上可以补充的条件是( )。 A. 比篮球价钱的2倍多15元 B. 比篮球价钱的2倍少15元 C. 比足球价钱的2倍多15元 D. 比足球价钱的2倍少15元 3. (朝阳北票)中国第一大淡水湖鄱阳湖 的面积约是3583平方千米,约比洞庭 湖面积的2倍少1897平方千米。洞 庭湖的面积约是多少平方千米? (列 方程解答) 4. (泉州台商投资区)如图,王叔叔用10米 长的篱笆靠墙围了一个近似长方形的 花圃。围成的花圃的宽是多少米? (先写出等量关系,再列方程解答) 5. (深圳龙华区)四(3)班为庆祝儿童节, 举行制作香囊活动,现需购买48套香囊 材料包和一捆手绳,一捆手绳25.8元, 一共用去793.8元。请根据等量关系 “一套香囊材料包的钱数×48套+ 一捆手绳的钱数=793.8元”,提出一 个数学问题,并列方程解答。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45 数学(北师版)四年级下 第五单元整合提升 类型一 借助等式的性质进行推理 根据等式的性质,灵活地在等式两边同时加、 减、乘同一个数或除以同一个不为0的数。 1. (推理意识) 类型二 运用整体思想解决求值问题 解决此类问题时,要先通过观察发现两个式 子中未知数的关系,然后把问题中的未知量 看作一个整体,求出这个整体的值,最后将这 个值代入待求式子中进行求值。 2. 如果10x-6y=20,那么5x-3y+ 18.5的值是多少? 3. 如果2a-8=3b,那么10a-15b-28 的值是多少? 类型三 定义新运算 对于定义新运算类型的题目,严格按照给定 的计算方式进行计算即可。 4. (符号意识)对于非0自然数a和b,规 定a※b=2a+b-3,如果(4※5)x= 120,那么x的值是( )。 5. 规 定 a b c d =a×d+b×c,求 3.8 4 4.2 4.4 的值。 类型四 多位数的表示问题 用含有字母的式子表示多位数时,要先用各 位上的数字乘它的计数单位,然后相加。 6. 有一个三位数,个位上的数字是a,十 位上的数字比个位上的大1,百位上的 数字比十位上的大2,用含有字母的式 子表示这个三位数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 五　认识方程 类型五 运用设中间量法解决问题 此类题目,如果直接设所求量为x,那么解题 比较麻烦,可以设中间量为x,先求出中间量, 再求出所求量。 7. 甜甜和乐乐各有一些课外书,甜甜给 乐乐5本课外书后,剩下的课外书的 数量比乐乐的2倍少3本。甜甜原来 有20本课外书。 8. 今年甜甜比贝贝大10岁,前年她的年 龄比贝贝的3倍多2岁。 素养点一 列方程解决相遇问题 9. (模型意识)A,B两车分别从甲、乙两 地同时出发,相向而行,经过2时,两 车在距离中点20千米处相遇。已知 A车的速度是100千米/时,那么甲、 乙两地相距多少千米? 思路提示:两个物体同时从两地出发,相 向而行,一段时间后会相遇,要利用路程 和寻找等量关系。注意本题中要考虑两 种情况。 素养点二 列方程解决追及问题 10. (思维过程)两艘船同时从甲码头出 发,开往乙码头。A船的速度是26千 米/时,B船的速度是24千米/时,几 时后两船相距16千米? (两艘船均 未到达乙码头) 思路提示:两个物体同时从同一地点出发, 一段时间后速度快的就会比速度慢的多行 一段路程,要利用路程差寻找等量关系。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 数学(北师版)四年级下 解析:因为从左面和上面看到的形状不变,所以 只能放在前面的第二层正方体的右边,如下图。 4. 解析:要符合从上面看到的形状的要求,下面 至少有4个正方体(如图),要符合从正面看 到的形状的要求,可以在①号或②号正方体 的上面放正方体,要符合从右面看到的形状 的要求,只能在①号正方体的上面放正方体。 5. 38 解析:如图,可以先数一数每一竖列 有多少个正方体木块,然后加一加,一共有 6+5+4+3×3+2×5+1×4=38(个)。 五　认识方程 第1课时 字母表示数(1) 1. (1) 2 4 2×n 4×n (2) 8 8×x y÷8 (3) x+4 2. (1) 买2件衬衫和1千克香蕉一共要付 的元数 (2) 4袋饼干比1千克香蕉多的元 数 (3) 用200元买1件衬衫和1千克香 蕉,还剩的元数 (4) 买5袋饼干和5千克 香蕉一共要付的元数 3. (1) A 解析:由今年爸爸a 岁,小红 (a-b)岁,可知今年爸爸比小红大a-(a- b)=b(岁)。无论经过多少年,爸爸与小红 的年龄差不变。 (2) B 解析:相邻的两个单数相差2,所以当 中间一个数是n时,最大的一个数是n+2。 4. 2×n n×n-1 解析:观察表中数据发现,第二行的数是与其 对应的第一行的数的2倍,第三行的数等于 与其对应的第一行的数乘第一行的数减1。 5. (1) 10个 (2) (2×n+2)个 解析:由题图可知,第 1个图形中有2×1+2=4(个)实心圆点,第 2个图形中有2×2+2=6(个)实心圆点,第 3个图形中有2×3+2=8(个)实心圆 点……每一个图形都在前一个图形的基础 上增加上、下2个实心圆点,因此第n 个图 形中有(2×n+2)个实心圆点。 第2课时 字母表示数(2) 1. 5b ac 5.6x x x2 2y 知识归纳 乘号的简写 数学里的“×”和字母“x”很像,所以 当用字母表示数时,为避免混淆,“×”可 以简写成“·”或省略不写。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 2. 6.3 3.7 a b b c 8 125 8 m 7.8 1 x 3. (1) (500-300t)里 (2) 当t=1.2时,500-300t=500-300× 1.2=140 公文距离县衙还有140里 4. (1) xy xy-y2 (2) 当x=3.5,y= 2时,(x+y)×2=(3.5+2)×2=5.5×2= 11,y2=2×2=4 整个图形的周长是 11cm,空白部分的面积是4cm2 5. 4a 6a 8a 202a 厘米 解析:观察 三个图形周长的变化规律,可以发现每个图 形的周长比前一个多2a厘米,则第n个图 形的周长是2an+2a=2a(n+1)厘米,所以 第100个图形的周长是202a厘米。 第3课时 等量关系 1. (1) 小树的高度+1.5米=大树的高度 (2) 1个苹果的质量+10克=100克 2. C 3. (1) at c÷t c÷a (2) vt s÷t s÷v 4. 梵蒂冈的占地面积×6+0.26平方千米= 颐和园的占地面积 5. 3个 解析:第一架天平的等量关系是 2个 的质量=1个 的质量+1个 的 质量,可以得出1个 的质量=1个 的质 量。第二架天平的等量关系是1个 的质 量+1个 的质量=1个 的质量。因为 1个 的质量=1个 的质量,所以2个 的质量=1个 的质量。第三架天平的左 边是1个 和1个 ,1个 的质量相当于 1个 的质量,1个 的质量相当于2个 的质量,所以“?”处应放3个 。 6. 优秀学生的人数×2+1=优秀学生的人 数×3-13 解析:根据钢笔的支数不变,将 其作为中间量写出等量关系即可。 第4课时 方 程 1. (1) A 易错分析 未能准确理解方程的定义 方程的判断依据有两点:(1) 是等 式,即有等号;(2) 含有未知数。方程一 定是等式,但等式不一定是方程。 (2) B 2. (1) 3a+103=208 (2) 50+2y=180 (3) (2x-3)×4=20 3. 十位上的数字×10+个位上的数字=89 10y+9=89 4. 85-6x=49+6x 解析:根据题意,每取一次,甲袋中就少x个 乒乓球,乙袋中就多x个乒乓球。取了6次 后,甲袋中少了6x个乒乓球,乙袋中多了 6x个乒乓球,然后根据此时两袋乒乓球的 数量相等列出方程。 5. (1) x-1 x+1 x-8 x+8 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 解析:通过观察框出的数可以发现,左边的数 比正中间的数小1,右边的数比正中间的数大 1,左上角的数比正中间的数小 8,右下角的 数比正中间的数大8。因为正中间的数是x, 所以左边的数是x-1,右边的数是x+1,左 上角的数是x-8,右下角的数是x+8。 (2) 方框中的9个数的和是方框中正中间的 数的9倍 解析:设方框中正中间的数是 x,则方框中的另外8个数分别是x-8,x- 7,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8,因 为(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+ x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)= 9x,所以方框中的9个数的和是方框中正中 间的数的9倍。 (3) 153÷9=17 这9个数分别是9,10, 11,16,17,18,23,24,25 解析:用9个数的和除以9得到方框中正中 间的数,从而求出这9个数分别是多少。 第5课时 解 方 程(一) 1. (1) x+0.5=4.5 x=4 (2) x-112=998 x=1110 2. (1) B (2) B (3) B 解析:先解方程x-13=25,求出x 的值,因为两个方程中x 的值相同,所以把 x的值代入 +x=91中,再解方程求出 里的数。 3. 19.5 15.1 解析:因为要使每个方程 的解都是x=9,所以可以把方程中的x 替 换为9,这时 里的数就是方程的未知数, 然后用等式的性质解方程即可。 4. (1) 第一天用去的长度 (2) 总长度 (3) 答案不唯一,如25+x=80 x=55 5. x+15-20+35=42 x=12 解析:题中的等量关系是小敏今年的年龄+ 15岁-20岁+35岁=42岁,根据这一等量 关系列方程解答。 6. x-25.3=29.5+33.2 x=88 解析:根据题意,可知小东和小南带的钱数 和比一副羽毛球拍的价格多25.3元,则小 东买一副羽毛球拍差的钱数加上小南买一 副羽毛球拍差的钱数比一副羽毛球拍的价 格少25.3元。 第6课时 解 方 程(二) 1. (1) 4x=160 x=40 (2) 23x=161 x=7 2. (1) 9x=36 解:9x÷9=36÷9 x=4 (2) x÷8=24 解:x÷8×8=24×8 x=192 3. x=1600 x=115 4. (1) 15 解析:先解方程5x=65,求出x 的值。因为两个方程的解相同,所以把x的 值代入ax=195中,再求出a的值。 (2) 15 45 解析:由y÷x=3可知,y= 3x。因为3x+y=90,所以3x+3x=90, 解得x=15,则y=3x=3×15=45。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 5. 5x=40 x=8 解析:这个图形的周长 相当于5条正方形边长的长度和。 6. 12 12x=36 x=3 解析:根据题意, 每1米高的斜坡,至少需要12米的水平长 度,则x 米高的斜坡,至少需要12x 米的水 平长度,列出方程12x=36并求解即可。 第7课时 猜数游戏 1. (1) 2x+40=50×2 x=30 (2) 3x-27=93 x=40 方法归纳 形如“ax±b=c(a不为0)”的 方程的解法 先根据等式两边都加上(或减去)同 一个数,等式仍然成立,在方程的两边同 时减去(或加上)b,得到ax 的值。再根 据等式两边都乘同一个数(或除以同一 个不为0的数),等式仍然成立,在方程 的两边同时除以a,使方程的左边只剩 下未知数x,即可求出x的值。 2. 宁宁心里想的数×5-15=90 解:设宁宁心里想的数是x。 5x-15=90 x=21 3. 解:设埃菲尔铁塔高x米。 2x-28=632 x=330 4. 解:设平均每天要加工x组。 2000+4x=4600 x=650 解析:由题意可得,已经加工的数量+剩下 的4天要加工的数量=要加工的总数量,设 平均每天要加工x组,列出方程解答即可。 5. 解:设小亮出生时的身高是x厘米。 3x-3=153 x=52 解:设小亮出生时的体重是y千克。 12y+1.5=49.5 y=4 解析:当题中有两个未知量时,注意要用不 同的字母表示不同的未知量。 6. 34 48 解析:根据题意可以先列出只 含y的方程3y=y+96,解得y=48。再列 出只含x 的方程4x+8=3×48,解得 x=34。 第8课时 练 习 五 1. (1) x+7 (2) 16 5.1 12 2 2. x=9 x=6 x=16 3. 1副羽毛球拍的价钱+3个篮球的价 钱=136元 解:设1个篮球的价钱是 x元。 3x+28=136 x=36 4. (1) 2x-10 (2) 解:设他穿的鞋的鞋底的长度是x厘米。 2x-10=44 x=27 5. 解:设甲车每时行驶x千米。 5x+58×5+38=588 x=52 解析:根据题意可知,甲车行的路程+乙车 行的路程+两车之间的38千米=两地的总 路程,据此列方程解答。 6. 4x+4y 6x+6y 8x+8y 4050x+ 4050y 解析:第1个图形的周长是2x+2y, 第2个图形的周长是2×(2x+2y)=4x+ 4y,第3个图形的周长是2×(3x+3y)= 6x+6y,第4个图形的周长是2×(4x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 4y)=8x+8y……因此,第2025个图形的周 长是2×(2025x+2025y)=4050x+4050y。 提分真题集训 1. (1) 5m a-5m (2) 5x+6=56 (3) 11 2n+1 16 2. (1) A (2) C 3. 解:设洞庭湖的面积约是x平方千米。 2x-1897=3583 x=2740 4. 宽×2+长=篱笆长度 解:设围成的花圃的宽是x米。 2x+4=10 x=3 5. 每套香囊材料包多少元? 解:设每套香囊材料包x元。 48x+25.8=793.8 x=16 第五单元整合提升 1. 2个 2. 10x-6y=20 2(5x-3y)=20 5x-3y=10 5x-3y+18.5=10+18.5= 28.5 解析:这道题目无法求出x 和y 的 值,但是观察两个式子的特点: 将5x-3y=10代入所求式子可得出结果。 3. 2a-8=3b 2a-3b=8 10a-15b- 28=5(2a-3b)-28=5×8-28=12 解析:先根据等式求出2a-3b的值,它的 5倍即为10a-15b的值。 4. 12 解析:根据题意,可知4※5=2×4+ 5-3=10,由此得到方程10x=120,再根据 等式的性质求出x的值即可。 5. 3.8 4 4.2 4.4 =3.8×4.4+4×4.2= 33.52 6. 100×(a+1+2)+10×(a+1)+a= 100a+300+10a+10+a=111a+310 解析:根据题意,分析如下: 7. 解:设乐乐现在有x本课外书。 2x-3=20-5 x=9 9-5=4(本) 解析:根据题意可知,本题的等量关系:乐乐 现在有的课外书数量×2-3本=甜甜原来 有的课外书数量-5本。可以设乐乐现在 有x本课外书,列方程2x-3=20-5,解得 x=9,则乐乐原来有9-5=4(本)课外书。 8. 解:设贝贝前年x岁。 3x+2-x=10 x=4 4+2=6(岁) 解析:两人的年龄差不变,可以设贝贝前年 x岁,则甜甜前年(3x+2)岁,根据两人的年 龄差不变列方程,求出贝贝前年的年龄,再 加2岁就得到贝贝今年的年龄。 9. 情况一:A车在超过中点20千米处与B车 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 相遇。 解:设B车的速度是x千米/时。 100×2-2x=20×2 x=80 100×2+80×2=360(千米) 情况二:B车在超过中点20千米处与A车 相遇。 解:设B车的速度是y千米/时。 2y-100×2=20×2 y=120 100×2+120×2=440(千米) 甲、乙两地相距360千米或440千米 解析:通过理解题意,我们可以发现本题有 两种情况。情况一(如图①),A车在超过中 点20千米处与B车相遇,此时A车比B车 多行驶了20×2=40(千米),即A车行驶的 路程-B车行驶的路程=40千米;情况二 (如图②),B车在超过中点20千米处与A车 相遇,此时B车比A车多行驶了20×2= 40(千米),即B车行驶的路程-A车行驶的 路程=40千米。设B车的速度是y 千米/ 时,根据等量关系列方程计算即可求出B车 的速度。根据“速度×时间=路程”,求出 A车和B车所行驶的路程,两者相加就是 甲、乙两地间的距离。 10. 解:设x时后两船相距16千米。 26x-24x=16 x=8 解析:根据题意画出如下示意图: A,B两艘船同时从同一地点出发,同向而 行,由于A船的速度快,B船的速度慢,所以 求几时后两船相距16千米,就是求几时后 B船会落后A船16千米。本题的等量关 系:A船行驶的路程-B船行驶的路程=两 船的路程差,根据这一等量关系列方程 解答。 数学好玩 第1课时 密 铺 1. (1) B (2) A (3) A 2. 答案不唯一,如 3. 正方 等边三角 360 解析:正方形的 四个内角都是90°,等边三角形的三个内角 都是60°,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 60°+90°+60°+90°+60°=360°,拼接处内 角和为360°,且它们的边长相等,所以用不 同种图形也可以密铺。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03