精品解析：重庆市第十一中教育集团2024-2025学年七年级下学期半期考试数学试题

重庆十一中教育集团初2027级七年级（下）半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 出题人： 注意事项： 1.试题卷上各题的答案用黑色签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 下列算式能用平方差公式计算是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题关键：． 【详解】解：A、不符合平方差公式的特点，不符合题意； B、不符合平方差公式的特点，不符合题意； C、不符合平方差公式的特点，不符合题意； D、符合平方差公式的特点，符合题意； 故选：D． 3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 4. 如图，在中，已知，，是的高，是的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和性质，根据，，得出，再结合是的平分线，得，再结合三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，则， 故选：C 5. 如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，则 【详解】解：∵，， ∴， 在与中： ， ． ∴A，B两点的距离是． 故选：B． 6. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③对顶角相等 ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，对顶角的性质，点到直线的距离，熟悉这些性质与概念是关键．根据前述性质与概念逐个判断即可． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误； ②在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误， ③对顶角相等，故原说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误； ∴正确说法只有1个； 故选：A． 7. 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 18或20 【答案】B 【解析】 【分析】因为已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论；本题考查了等腰三角形的定义，属于基础题型，明确题意、正确分类求解是关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 此时4、8、8可以构成三角形， 则 ∴这个等腰三角形的周长为为20； ②当4为腰时，其它两边为4和8， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去． 故选B． 8. 如图，已知，的平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过点E作，过点F作，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可设，则，再证明得到，，再由角平分线的定义得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∴， ∵平分， ∴， 设，则 ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，角平分线、交于点I，交于点F，于点H，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定等待，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，由垂直的定义和三角形内角和定理可得，则由三角形外角的性质可得，据此可判断①；求出，则可得到，再由垂线的定义即可判断②；延长交于，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得到，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵角平分线、交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 延长交于， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：D． 10. 已知两个整式，用整式A与整式B求和后得到整式，称为第一次操作；将第一次操作的结果加上结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推．以下三个说法符合题意的个数是（ ） ①；②当时，则有；③． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减及数字类变化规律．根据题意找到规律是解题的关键．依次求出，，，，……，找到规律，再结合每个选项的具体问题进行列式化简，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意可知：， ， ， ， …… 由此可见，第次操作结果为， ∴， 故①符合题意； 由①得， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②符合题意； 由题可知， ，故③符合题意； 综上，①②③符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 2025年某芯片工厂生产的芯片纳米精度达到0.000000012米，用科学记数法表示这个精度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：， 即用科学记数法表示这个精度为， 故答案为：． 12. 若，，则___ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算， 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 已知是一个关于x的完全平方式，则常数______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点结合完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 解得：或； 故答案为：5或． 14. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线段最短，得出当时，最小，理由等积法求出最小值即可．本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵此时， ∴． 故答案为： 15. 如图，已知点D、E分别是边、上的点，将的沿着折叠，使点C落在点P的位置，连接，若，，，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和性质，折叠性质，先由平行线的性质得，，再结合折叠性质得，，故，再根据三角形内角和性质列式计算得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵将的沿着折叠，使点C落在点P的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，列代数式，整式的加减，不等式的性质，熟练根据题意进行列式，并根据题意得出等式是解题的关键．根据题中定义即可得出最小的“同差数”；设，则，根据题意，得出，且，，，，，，列式求出，利用与的差为一个两位数且为完全平方数，结合，的取值范围得出，则可得，，则可表示为，利用除以余数为，结合分离整数法得出是的整数倍，结合，的取值范围得出或或，分别求解判断是否合理即可， 【详解】解：的千位数字最小为，百位最小为， 由千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数， 则的十位数字最小为，个位最小为， 则最小的“同差数”为， 故答案为：； 设，则， 根据题意，得，且，，，，，， 则， 则，， 则， ∵与的差为一个两位数且为完全平方数， ∴，且是完全平方数， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵除以余数为， ∴是整数， ∴是的整数倍， 由题意可得，， ∴， ∴或或， 结合，的取值范围， 当时，即， 解得：， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）或， 此时； 当时，即， 解得：（，舍）； 综上所述，或，最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，负整数指数幂，零指数等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用简便方法计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． （2）运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，已知． （1）尺规作图：以点D为顶点，在的下方作使得，交AB于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：∵（已知） ∴①________（②________） ∵（已知） ∴③________（④________） ∴（⑤________） 【答案】（1）作图见详解 （2）①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数学结合分析思想是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法即可； （2）根据平行线的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求点的位置， 【小问2详解】 证明：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 20. 如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去中括号内的小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，接着根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． （1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式_______，图3对应公式_______，图4对应公式_______，（填序号）； （2）如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： （3）如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 【答案】（1） ①. ③ ②. ④ ③. ② （2）10 （3）165 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键． （1）由题意知，图1对应公式，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式，然后作答即可； （2）由，可得，，由题意知，，由公式①，可得，可得的结果，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，，，可得，，整理得，则，即，根据，代值求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，图2对应公式，图3对应公式，图4对应公式， 故答案为：③，④，②． 【小问2详解】 解：设， ∴，， 由题意知，， ∴， 由公式②，可得，即， ∴， ∴或， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴大正方形的边长的值为． 【小问3详解】 解：由题意知，，， ∴或（舍去） ∴，整理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴正方形与正方形的面积之差为． 23. 在中，，，过点A作，连接，，M为平面内一动点． （1）如图1，点M在上，连接，，过点A作于点F，D为中点，连接并延长，交于点H．求证：． （2）如图2，连接，，过点B作于点B，且满足，连接，，过点B作于点G，若，，，请求出线段的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据证得，得出，，再利用证得，得出，即可得出结论； （2）连接，先利用得出，得出，再根据等底同高的三角形的面积相等得出，再利用三角形的面积公式得出的长，从而利用三角形的三边关系得出的取值范围； 本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，灵活运用全等三角形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 24. 如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①直接写出与之间的数量关系为________； ②若，，将直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； ②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点，注意进行分类讨论． 【小问1详解】 解：如图，过点E作， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，延长交于点G，设、交于点H， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵， ∴ ∵平分 ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线绕点N以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转， ∴（秒），，， ∴，， ∵， 即， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆十一中教育集团初2027级七年级（下）半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 出题人： 注意事项： 1.试题卷上各题的答案用黑色签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，已知，，是的高，是的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③对顶角相等 ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 等腰三角形一边长为8，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长为（ ） A 16 B. 20 C. 16或20 D. 18或20 8. 如图，已知，平分线的反向延长线交的平分线于点F，若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，角平分线、交于点I，交于点F，于点H，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 已知两个整式，用整式A与整式B求和后得到整式，称为第一次操作；将第一次操作的结果加上结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推．以下三个说法符合题意的个数是（ ） ①；②当时，则有；③． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 2025年某芯片工厂生产的芯片纳米精度达到0.000000012米，用科学记数法表示这个精度为______． 12. 若，，则___ 13. 已知是一个关于x的完全平方式，则常数______． 14. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 15. 如图，已知点D、E分别是边、上的点，将的沿着折叠，使点C落在点P的位置，连接，若，，，则________°． 16. 若一个四位正整数满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，且差为正数，则称其为“同差数”，最小的“同差数”为_______．交换的千位和十位数字得到的新数记为，去掉的十位和个位数字剩下的两位数记为，去掉的千位和百位数字剩下的两位数记为，若与的差为一个两位数且为完全平方数，除以余数为，则满足条件的的最大值为_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 用简便方法计算： （1） （2） 19. 如图，已知． （1）尺规作图：以点D为顶点，在的下方作使得，交AB于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：∵（已知） ∴①________（②________） ∵（已知） ∴③________（④________） ∴（⑤________） 20. 如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：． （1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②： 公式③： 公式④： 图2对应公式_______，图3对应公式_______，图4对应公式_______，（填序号）； （2）如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式①，则可计算出的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： （3）如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之和为173，求正方形与正方形的面积之差． 23. 在中，，，过点A作，连接，，M为平面内一动点． （1）如图1，点M在上，连接，，过点A作于点F，D为中点，连接并延长，交于点H．求证：． （2）如图2，连接，，过点B作于点B，且满足，连接，，过点B作于点G，若，，，请求出线段的取值范围． 24. 如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F． ①直接写出与之间的数量关系为________； ②若，，将直线绕点N以每秒速度顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过t秒后直线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$