精品解析：湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

七年级期中检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 实数的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质、倒数，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：实数的倒数是． 故选：D． 2. 下列命题中的真命题是（　　） A. 邻补角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 同位角相等 D. 同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了真命题的定义，正确的命题是真命题，根据邻补角互补，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、邻补角互补，是真命题，符合题意； B、两点之间，线段最短，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．熟知平行线的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，故不符合题意． 、，，故不符合题意； C、，，不能判定，故符合题意； D、，，故不符合题意； 故选：C． 4. 下面是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程中进行判断即可． 【详解】解：A、，故是二元一次方程的解，符合题意； B、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； C、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； D、，故不是二元一次方程的解，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和平角的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平角的定义得到，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∵， ∴， 故选：C 6. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义、算术平方根逐项判断即可得． 【详解】解：A、是有理数，则此项不符合题意； B、是无理数，则此项符合题意； C、，是有理数，则此项不符合题意； D、是有理数，则此项不符合题意； 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查象限内点符号特征，根据点在第三象限，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴的值可能为； 故选A． 8. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记录了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千．甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，二元一次方程组，此题得解． 【详解】解： 共买了一千个苦果和甜果， ； 共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ， 可列方程组为， 故选：B． 9. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点 到达点 的位置，点 表示的数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴，涉及圆的周长、数轴上点表示数等知识，先由圆的直径计算圆的周长，再由题意即可得到答案，熟记圆的周长公式、数轴上点表示数等知识是解决问题的关键． 【详解】解：圆的直径为1个单位长度， 圆的周长为， 该圆上点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点 到达点 的位置，点表示的数为， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．根据所给的点的坐标，发现的横纵坐标的排列规律，即可解决问题． 【详解】解：由题知，点，，，，，， ， 当时，， 根据点的安排规律知． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 4的算术平方根是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根是正的平方根成为解题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：4的算术平方根是． 故答案为：2． 12. 方程是关于、的二元一次方程，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义，可得，，求解即可． 【详解】解：方程是关于、二元一次方程， ，， ，， ， 故答案为：0． 13. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的性质，利用立方根的性质解方程是解题的关键．根据立方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 方程的解是． 故答案为：． 14. 如图，已知．，如果，，那么的大小是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质可得，进而利用平角定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点B的坐标为． 故答案为： 16. 如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则_____． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是长方形， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根、绝对值、立方根的性质化简，再相加减即可； （2）先计算括号和绝对值，再计算乘方，最后相加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 代入①到②，得， 解得：， 把代入①，得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得，， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． 19. 如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到． （1）请画出平移后的； （2）求的面积； （3）已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标点的平移、三角形的面积公式，利用平移的性质正确作图是解题的关键． （1）利用平移的性质分别画出顶点的对应点，再顺次连接即可得到； （2）利用割补法即可求出的面积； （3）设点的坐标为，利用平移的规则和点的坐标表示出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：的面积． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 根据平移规则可得，点向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到点， ， 解得：， 点的坐标为． 20. 已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解： （2）求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查同解方程组． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ∴这两个方程组的解为：； 【小问2详解】 把代入中可得：， 化简得：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴． 21. 已知：如图，平行直线，与相交，交点分别为，，平分，平分．求证：． 根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程． 证明：∵（________）， ∴________（________）． 又∵平分，平分， ∴，________（________）． ∴________（________）． ∴（________）． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，从而得到，最后根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵平分，平分， ∴，（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 22. 如图，已知，． （1）求证：． （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，结合得到，从而得到，再利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质和垂直的定义得到，利用角平分线的定义得到，结合（1）中的结论得到，最后利用即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 平分，， ， 由（1）得，， ， ， 的度数为． 23. 人教版（2024）七年级下册数学教材第103页有一个这样的探究题：如图，丝路纺织厂与，两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元．问：这家纺织厂购进的长绒棉和制成的纺织面料各多少？ 小郡同学在看到这个探究题后，设购进长绒棉，制成纺织面料． 根据题中数量关系列出了以下表格： 长绒棉 纺织面料 合计 公路运费/元 ________ ________ 铁路运费/元 ________ ________ （1）请完成表格的填写（4空都需填写含有或的表达式）． （2）请帮小郡同学完成接下来的解题过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用，理解题意正确列出代数式和方程组是解题的关键． （1）根据题意用含有或的表达式填写表格即可； （2）设购买长绒棉，制成纺织面料，结合（1）中的表格，根据题意列出方程组，解出的值即可解答． 【小问1详解】 解：填写表格如下： 长绒棉 纺织面料 合计 公路运费/元 铁路运费/元 【小问2详解】解：设购进长绒棉，制成纺织面料， 由题意得，， 解得：， 答：这家纺织厂购进的长绒棉，制成的纺织面料． 24. 对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； （2）若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； （3）若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据“开心”方程组的定义进行逐项分析，即可作答． （2）先整理原方程为，再结合“开心”方程组的定义，得出，再代入，进行计算，即可作答． （3）先结合结合“开心”方程组的定义，得出，然后解出，或，，再分别代入，结合题意列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； 【小问3详解】 解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 25. 如图，直线，直线与分别交于点．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． （1）若，则＿＿＿＿＿＿＿； （2）若，射线在内交直线于点，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求的度数； （3）小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作直线，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，即可； （2）延长交于点，根据，，则，再根据平行公理，得，根据平行线的性质，则，，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：①当，分别在点，的右侧；②当点，分别在点，的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 本题考查平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的性质，学会分类讨论的解题方法． 【小问1详解】 解：过点作直线，如图1， ， ， ，， ． ∵ ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图2， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①当，分别在点，的右侧，如图3， ， ， ， ， ， ， 射线平分， ； ②当点，分别在点，的左侧，如图4， ， ， ， ， ， ，， 射线平分， ， ， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级期中检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 实数的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列命题中真命题是（　　） A. 邻补角互补 B. 两点之间，直线最短 C. 同位角相等 D. 同旁内角互补 3. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面是二元一次方程的解的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 6. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 8. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记录了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千．甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么苦果、甜果各买了多少个？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点 与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点 到达点 的位置，点 表示的数为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，．按照此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 4的算术平方根是_______． 12. 方程是关于、的二元一次方程，则的值为______． 13. 方程的解是________． 14. 如图，已知．，如果，，那么的大小是_______． 15. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 16. 如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则_____． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位，再向上平移4个单位得到． （1）请画出平移后的； （2）求的面积； （3）已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标． 20. 已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解： （2）求的值． 21. 已知：如图，平行直线，与相交，交点分别为，，平分，平分．求证：． 根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程． 证明：∵（________）， ∴________（________）． 又∵平分，平分， ∴，________（________）． ∴________（________）． ∴（________）． 22 如图，已知，． （1）求证：． （2）若平分，于点，，求的度数． 23. 人教版（2024）七年级下册数学教材第103页有一个这样的探究题：如图，丝路纺织厂与，两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元．问：这家纺织厂购进的长绒棉和制成的纺织面料各多少？ 小郡同学在看到这个探究题后，设购进长绒棉，制成纺织面料． 根据题中数量关系列出了以下表格： 长绒棉 纺织面料 合计 公路运费/元 ________ ________ 铁路运费/元 ________ ________ （1）请完成表格的填写（4空都需填写含有或的表达式）． （2）请帮小郡同学完成接下来的解题过程． 24. 对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； （2）若关于，方程组是“开心”方程组，求的值； （3）若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 25. 如图，直线，直线与分别交于点．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． （1）若，则＿＿＿＿＿＿＿； （2）若，射线在内交直线于点，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求的度数； （3）小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$