精品解析：云南省昭通市巧家县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年云南省昭通市巧家县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分，请把正确答案的代号填在下列括号中） 1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在中，斜边，则　　 A. 10 B. 20 C. 50 D. 100 4. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 与的乘积仍为无理数的是（　　） A. B. C. D. 6. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于命题“若，则“与其逆命题的真假性，下列判断正确的是（　　） A. 原命题与其逆命题都是真命题 B. 原命题与其逆命题都是假命题 C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题 9. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，木门的对角线长度（ ） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 11. 如图，在中，．利用尺规作图作菱形．第1步：作的中垂线l交于点O．完成下述第2步作法后，不一定能作出菱形的是（ ） A. 以D为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连接， B. 在直线l上截取（A，C不重合），连接， C. 以B为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连接， D. 过点D作的平行线，交直线l于点C，连接， 12. 课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是（ ） A. 甲行、乙不行 B. 甲不行、乙行 C. 甲、乙都行 D. 甲、乙都不行 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点，点在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 14. 如图，，，，点A，C，E在同一条直线上，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 15. 如图，在中，，，垂足为E．点F在上，，连接，点M，N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 计算的结果是______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______． 18. 小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________． 19. 如图，中山路一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得，，小明从点C处出发，沿中山路向东一直行走，则小明与B送奶站的最短距离为 ________________ km．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 如图，E为外一点，且，若，求的度数． 21. 计算：－ 22. 已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”． （1）与_________是关于1的“平衡数”； （2）与_________是关于3的“平衡数”； （3）若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，说明理由． 23. 2023年杭州亚运会精彩纷呈．某社区为进一步宣传亚运精神，开辟了一块四边形空地，如图，社区计划将其布置成展区，陈列有关亚运会图片．现测得，，，且． （1）试说明； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 24. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． （1）写出它们的共同点．（写出两条即可） （2）当时，求的值． 25. 如图，正方形的边长是5，． （1）求证：． （2）求的长． 26. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度． 27. 操作实践 第一步：如图1，四边形是一个矩形纸片，，沿对角线将矩形剪开． 第二步：如图2，将沿对角线方向平移得到，分别连接，得到四边形； 第三步：如图3，将沿对角线方向继续平移，得到分别连接，得到四边形． 解决问题 （1）猜想第二步的图2中得到的四边形的形状，并说明理由． （2）设第三步的图3中的平移距离为m，则当四边形是菱形时，求m的值． （3）计算（2）中菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年云南省昭通市巧家县八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分，请把正确答案的代号填在下列括号中） 1. 下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由第四个图形中的两组内错角分别相等，得到的只有一组对边平行，故不能判断该四边形是平行四边形，其他三个图形均可判断为平行四边形． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴第1个图是平行四边形， ∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴第2个图是平行四边形， ∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴第3个图是平行四边形； 第4个图只能得到一组对边平行， ∴第4个图不一定是平行四边形； ∴一定为平行四边形的有3个； 故选C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 3. 在中，斜边，则　　 A. 10 B. 20 C. 50 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可. 【详解】在中，， ， 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 4. 如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理分别求解，，，，从而可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得： ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理的解本题的关键． 5. 与的乘积仍为无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法、无理数、二次根式的性质与化简等知识点，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 运用二次根式的乘法、无理数、二次根式的性质与化简逐项判断即可． 【详解】解：A．，它不是无理数，则A不符合题意， B．，它是无理数，则B符合题意， C．，它不是无理数，则C不符合题意， D．，它不是无理数，则D不符合题意． 故选：B． 6. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题关键是明确最简二次根式的限制条件（被开方数不含能开方的因数、不含分母）是解题的关键． 根据最简二次根式“被开方数不含能开方的因数、不含分母”逐项判断即可． 【详解】解：A．由，故A选项不符合题意； B．由，故B选项不符合题意； C．由，故C选项不符合题意； D．由是最简二次根式，故D选项符合题意． 故选：D． 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可． 【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算． 8. 关于命题“若，则“与其逆命题的真假性，下列判断正确的是（　　） A. 原命题与其逆命题都是真命题 B. 原命题与其逆命题都是假命题 C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是命题与定理、逆命题等知识点，要熟悉相关性质定理是判断命题的真假关键． 根据绝对值的性质、逆命题的判断、真假命题的概念解答即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴命题“若，则“是假命题，其逆命题是若，则，是真命题， ∴原命题是假命题，其逆命题是真命题． 故选：C． 9. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形，连接交于点D，菱形的性质，得到，进而求出点B的坐标即可． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，点C的坐标是，点A的纵坐标是1， ∴， ∴点B的坐标是． 故选：B． 10. 如图，木门的对角线长度（ ） A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出木门的对角线长度是解题的关键． 由勾股定理求出木门的对角线长度，即可解决问题． 【详解】由题意可知，木门为矩形，高为，宽为， ∴木门的对角线长度． ∵， ∴． 故选：A． 11. 如图，在中，．利用尺规作图作菱形．第1步：作的中垂线l交于点O．完成下述第2步作法后，不一定能作出菱形的是（ ） A. 以D为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连接， B. 在直线l上截取（A，C不重合），连接， C. 以B为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连接， D. 过点D作的平行线，交直线l于点C，连接， 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项作图方法，得出相应的等量线段或平行的位置关系，通过全等三角形、中垂线性质求证线段相等，判定四边形是否为菱形． 【详解】解： ∵，的中垂线l交于点O， ∴点A在直线l上. 即垂直平分． A． 以D为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连接， ，如图， ∴． ∵， ∴， 即与互相垂直平分，故四边形是菱形． 故本选项不合题意； B．在直线l上截取（A，C不重合），连接， ，如图， 由作法知，与互相垂直平分，故四边形是菱形． 故本选项不合题意； C． 以B为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连接， ，如图， ∴，无法得证四边形是菱形． 故本选项符合题意； D．过点D作的平行线，交直线l于点C，连接， ，如图， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， 又， ∴ ∴四边形是菱形． 故本选项不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 12. 课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理的是（ ） A. 甲行、乙不行 B. 甲不行、乙行 C. 甲、乙都行 D. 甲、乙都不行 【答案】C 【解析】 【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积，根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可以直接表示出面积，从而验证勾股定理． 【详解】解：图甲中大正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积和为：， 则中间小正方形的面积为：， ∵中间小正方形边长为c， ∴面积为， ∴， ∴图甲能利用面积验证勾股定理； 图乙中直角梯形的面积为：， 两个直角三角形的面积和为：， 中间等腰直角三角形的面积为：， ∵中间等腰直角三角形的两条直角边为c， ∴中间等腰直角三角形的面积为， ∴， 即， ∴图乙能利用面积验证勾股定理； 综上分析可知，甲、乙都行，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形面积公式和梯形面积公式，以及三角形面积公式． 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点，点在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角相等得出，根据矩形的性质得出，进而得出，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵矩形的两条对角线相交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 14. 如图，，，，点A，C，E在同一条直线上，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】如图：过B作，垂足分别为G、H，可得,；根据等腰三角形三线合一的性质可得，再运用勾股定理求得；然后证明可得，最后再根据等腰三角形三线合一的性质求得即可． 【详解】解：如图：过B作，垂足分别为G，H， ∴, ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键． 15. 如图，在中，，，垂足为E．点F在上，，连接，点M，N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，取的中点H，连接交于点I，连接，由平行线的性质得，由点M，N分别是的中点，根据三角形中位线得，则，所以，得到问题的答案． 【详解】解：连接，取的中点H，连接交于点I，连接，如下图所示， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵点M，N分别是的中点， ∴， ∵，垂足为E， ∴， ∴在中，， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法运算法则是解答此题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______． 【答案】（﹣1，0） 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标． 【详解】解：∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3， ∴AB==5 ∴AC=5， ∴点C的横坐标为：4-5=-1，纵坐标为：0， ∴点C的坐标为(-1，0). 故答案为(-1，0). 【点睛】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出的长， 注意： 在直角三角形中， 两直角边的平方和等于斜边的平方 ． 18. 小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和，求出的长度，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】由题意可知是菱形， ， 是等边三角形， , 是正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形、正方形的、等边三角形的性质以及勾股定理；灵活运用性质正确计算是解题的关键． 19. 如图，中山路一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得，，小明从点C处出发，沿中山路向东一直行走，则小明与B送奶站的最短距离为 ________________ km．（结果保留根号） 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和逆定理、含30度角的直角三角形、垂线段最短等知识点．熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 由勾股定理逆定理可得；如图∶过点B作于点D，则的长即为小明与B送奶站的最近距离，利用含30度角的直角三角形的性质，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 如图∶过点B作于点D，则的长即为小明与B送奶站的最近距离， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 如图，E为外一点，且，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由垂直的定义可得，再根据四边形的内角和定理可得，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 21. 计算：－ 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式＝． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 22. 已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”． （1）与_________是关于1的“平衡数”； （2）与_________是关于3的“平衡数”； （3）若，，判断与是否为关于某数的一组“平衡数”，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是，见解析 【解析】 【分析】（1）根据“平衡数”的定义列方程求解； （2）根据“平衡数”的定义列方程求解； （3）根据二次根式的运算法则计算出，再根据“平衡数”的定义判断． 【小问1详解】 解：设与x是关于1的“平衡数”， 则， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设与y是关于3的“平衡数”， 则， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：与是关于19的一组“平衡数”，理由如下： ，， ， ， 与是关于19的一组“平衡数”． 【点睛】本题考查新定义的实数运算、二次根式的运算等，解题的关键是理解“平衡数”的定义． 23. 2023年杭州亚运会精彩纷呈．某社区为进一步宣传亚运精神，开辟了一块四边形空地，如图，社区计划将其布置成展区，陈列有关亚运会图片．现测得，，，且． （1）试说明； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用， （1）由勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 【小问1详解】 解：中，，，， ，， ， 是直角三角形，； 【小问2详解】 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 24. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． （1）写出它们的共同点．（写出两条即可） （2）当时，求的值． 【答案】（1） 解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和数字规律的探寻，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则． 有，解得， ，． 25. 如图，正方形的边长是5，． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及已知条件可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图2，延长交于点G，先证明是直角三角形，再证明可得，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 同理可得：是直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 26. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形ADFE是矩形； （2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由在平行四边形性质得到且AB＝DC，由平行线的性质得到∠ABE＝∠DCF，根据三角形的判定可证得△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝，可得，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到EF＝AD＝6，进而求得BE＝CF＝2，BF＝8，由可求得AB＝2BE＝4，由勾股定理可求得DF＝AE＝，BD＝，由平行四边形性质得OB＝OD，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中， ∴且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC ∴， ∴四边形ADFE是平行四边形 ∵AE⊥BC ∴四边形ADFE是矩形； （2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝6， ∵EC＝4， ∴BE＝CF＝2， ∴BF＝8， 在Rt△ABE中，∠ABF＝， ∴AB＝2BE＝4， ∴DF＝AE＝， ∴BD＝， ∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O， ∴O是BD中点， ∴． 又∵四边形ADFE是矩形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键． 27. 操作实践 第一步：如图1，四边形是一个矩形纸片，，沿对角线将矩形剪开． 第二步：如图2，将沿对角线方向平移得到，分别连接，得到四边形； 第三步：如图3，将沿对角线方向继续平移，得到分别连接，得到四边形． 解决问题 （1）猜想第二步的图2中得到的四边形的形状，并说明理由． （2）设第三步的图3中的平移距离为m，则当四边形是菱形时，求m的值． （3）计算（2）中菱形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形．理由如下： 由矩形可得， 由平移可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 解：同（1）可证∶四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形． 在矩形中，， ∴， ∴， 由平移可得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是菱形时，m的值为1； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、平移的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质、勾股定理是解题的关键． （1）由平移可得，证出，由平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）由矩形的性质得出，证出，进而得到即可解答； （3）如图，延长交于点E．求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点E． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴菱形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $