精品解析：江苏省宿迁市沭阳县乡镇联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024～2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查最适合于普查的是（ ） A. 新生入学，班主任需要统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸 B. 市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类 C. 华为公司要检测一款新手机的待机时长 D. 调查全市人民对政府服务的满意程度 3. 如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 6. 某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 B. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C. 在一次试验中已经发生，下次肯定不发生 D. 每次试验中事件发生的可能性是50％ 7. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 为了解我县某一天的气温变化情况，宜用___________统计图表示． 10. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个． 11. 如图，在中，是对角线，E，F分别是，的中点，连接．若，则的长是________． 12. 为了考察某种麦穗长度的分布情况，在一块试验田里随机抽取了100根麦穗，量得它们长度的最大值为，最小值为．在绘制频数直方图时若以为组距，则应分成_____________组 13. 如图矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E，F，，则图中阴影部分的面积为________． 14. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 15. 如图，E是正方形对角线上一点，且，则的度数是______． 16. 平行四边形一个内角平分线将对边分成3和5两个部分，则该平行四边形的周长是 ____． 17. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______． 18. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作辅助线用黑色签字笔加粗加黑） 19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 20. 在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动，活动中为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，学生会在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择并且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了___名学生． （2）求扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）若全校有名学生，请估计喜欢B类书籍的学生约有多少名？ 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． （2）在（1）的基础上，点旋转路径的长为______，线段扫过的区域面积为______． 22. 如图，在中，是上一点，且，、的延长线相交于点，，求的度数． 23. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24. 如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 25. 如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M． （1）求证：； （2）延长至点N，使得求证：四边形是正方形． 26. 小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． （1）下列分式中，属于真分式的是( ) A． B． C． D． （2）将假分式化成整式和真分式的和的形式． 27. 定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中；若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”． （1）下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是______（填序号）： ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线相交于点P，，，垂足分别为M、N： ①如图，点C在第二象限，且坐标为，求点P关于的“距离比”k的值； ②若点P为的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标． 28. 如图，将边长为1的正方形，绕点A旋转得到正方形． （1）如图①，与相交于点M： ①求证：； ②当M是中点时，的延长线与相交于点H，求的长． （2）如图②，在旋转的过程中，取的中点P，面积的最大值是______．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列调查最适合于普查的是（ ） A. 新生入学，班主任需要统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸 B. 市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类 C. 华为公司要检测一款新手机的待机时长 D. 调查全市人民对政府服务的满意程度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，熟练掌握调查的知识点是解题的关键． 根据普查的定义逐一判断即可． 【详解】解：A中总体容量较小，适合用普查，符合题意； B和D中总体容量较大，适合用抽查，不符合题意； C中检测具有损毁性，适合抽查，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，能得到四边形是平行四边形，故A不符合题意， ，不能得到四边形是平行四边形，故B符合题意， ，能得到四边形是平行四边形，故C不符合题意， ，能得到四边形是平行四边形，故A不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形判定方法． 4. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式变形的判断，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， 则，即分式的值扩大为原来的3倍， 故选：C． 5. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 6. 某个事件发生的概率是，这意味着（　　） A. 在两次重复试验中该事件必有一次发生 B. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C. 在一次试验中已经发生，下次肯定不发生 D. 每次试验中事件发生的可能性是50％ 【答案】D 【解析】 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此根据题意得出答案即可. 【详解】∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义可知：该事件在一次试验中可能发生也可能不发生，且每次试验中事件发生的可能性是50%， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了概率的意义，熟练掌握相关概念是解题关键. 7. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 利用旋转变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：由旋转变换的性质可知：，， ． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】当点E与点B重合时，点F与点C重合，可得E，F不一定为边的中点，故①错误；将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，．求出，，可得，故②正确；根据，求出的周长为为定值，故③正确；将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，推出，由勾股定理得，即，故④正确； 【详解】解：∵， 当点E与点B重合时，点F与点C重合， ∴E，F不一定为边的中点，故①错误； 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得，， ，，， ， 因此，点，，在同一条直线上． ， ． ， ． 即． 在与中， ． ， 当时， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴的周长为为定值，故③正确； 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在正方形中， ， ， ，即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转作图来解答． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 为了解我县某一天的气温变化情况，宜用___________统计图表示． 【答案】折线 【解析】 【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数据. 【详解】解：根据题意，得 要求直观反应某县某一天的气温变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图. 故答案为：折线 【点睛】本题考查了扇形统计图、折线统计图，条形统计图各自的特点. 10. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，以及用概率求数量．掌握用多次试验发生的频率稳定值来估计概率是解题关键．根据多次重复试验的结果估计摸到红球的概率约是，再用总数乘以概率，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵共摸了次球，发现次摸到红球， ∴摸到红球的概率约是， ∴这个口袋中红球的个数约为（个）， 故答案为：． 11. 如图，在中，是对角线，E，F分别是，的中点，连接．若，则的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边相等、三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，而， ∴； 故答案为：6． 12. 为了考察某种麦穗长度的分布情况，在一块试验田里随机抽取了100根麦穗，量得它们长度的最大值为，最小值为．在绘制频数直方图时若以为组距，则应分成_____________组 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图中的组数与组距，理解掌握组数的计算方式是解题的关键．根据组数的计算方式，先求出最大值与最小值的差值，然后差值除以组距，将得到的结果取整后加1即可． 【详解】解：最大值为7.4，最小值为4.0，取组距为0.3， ， 取整后是11， 合适的组数应为12． 故答案为：12． 13. 如图矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E，F，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，先证明，推出，由此得到，熟练掌握矩形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， 故． 故答案为：20． 14. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 15. 如图，E是正方形对角线上一点，且，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形和等腰三角形的性质，先证明，得到，根据求出，再根据求得，即可求得答案. 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， 故答案为：． 16. 平行四边形一个内角平分线将对边分成3和5两个部分，则该平行四边形的周长是 ____． 【答案】22或26 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义得，然后求出，根据等角对等边的性质可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：如图所示： ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ①时，， ，， ∴平行四边形的周长； ②时，， ，， ∴平行四边形的周长， ∴综上所述，平行四边形的周长为或， 故答案为：22或26． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 17. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，连接交于H，利用证明，得出的长度，再根据菱形的性质得出的长度． 【详解】解：如图，连接交于H， ∵四边形为菱形，， ∴，，，．， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶． 18. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，画图或作辅助线用黑色签字笔加粗加黑） 19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 20. 在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动，活动中为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，学生会在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择并且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了___名学生． （2）求扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数，并补全条形统计图； （3）若全校有名学生，请估计喜欢B类书籍的学生约有多少名？ 【答案】（1） （2） 解：， ∴D所在的扇形圆心角的度数为， 人， ∴C类的学生人数为人， 补全统计图如下所示： （3）估计喜欢B类书籍的学生约有人 【解析】 【分析】（1）利用A类的学生人数和人数占比即可求出总人数； （2）用乘以D类的人数占比即可求出对应的圆心角度数；先求出C类的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用乘以样本中B类的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴这次调查中，一共调查了名学生， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， ∴估计喜欢B类书籍的学生约有人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． （2）在（1）的基础上，点旋转路径的长为______，线段扫过的区域面积为______． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，扇形面积，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用弧长公式，扇形面积公式，代入数值，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 点旋转路径的长度为， 扫过的区域面积． 22. 如图，在中，是上一点，且，、的延长线相交于点，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．理解平行四边形性质和等腰三角形性质是关键． 根据平行四边形性质得，，推出，根据等腰三角形性质得，根据三角形内角和定理可得． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据，判定四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，从而证得四边形是矩形； （2）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，再由矩形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用． 24. 如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】 （1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）菱形，理由： 若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 25. 如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M． （1）求证：； （2）延长至点N，使得求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴,, ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴,即． （2） 证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴, ∵, ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先根据正方形的性质以及已知条件证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）先证明可得，再证明可得四边形是平行四边形，再结合、即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． （1）下列分式中，属于真分式的是( ) A． B． C． D． （2）将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可； （2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意， 故选：C； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键． 27. 定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中；若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”． （1）下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是______（填序号）： ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线相交于点P，，，垂足分别为M、N： ①如图，点C在第二象限，且坐标为，求点P关于的“距离比”k的值； ②若点P为的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标． 【答案】（1）③④ （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形，矩形，菱形，正方形以及角平分线的判定求解即可； （2）①利用平行四边形的性质得出，利用三角形中线的性质得出，然后利用三角形面积公式可求，即可求点P关于的“距离比”k的值； ②利用“平衡点”的定义可知，进而得出，结合平行线的性质可得，利用等角对等边可得，从而得出平行四边形是菱形，得出C的纵坐标是7，设，利用两点间距离公式列出x的方程，然后求解即可． 【小问1详解】 解：根据“平衡点”的定义知：，即， ∴点P在这个角的平分线上， 而平行四边形、矩形的对角线不一定平分一组对角，只有菱形和正方形的对角线平分每一组对角， ∴菱形和正方形对角线的交点一定是菱形内角的“平衡点” 故选：③④； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于点P， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点P关于的“距离比”k的值； ②∵点P为的“平衡点”， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，B的纵坐标是7， ∴C的纵坐标是7， 设C的横坐标为x， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 28. 如图，将边长为1的正方形，绕点A旋转得到正方形． （1）如图①，与相交于点M： ①求证：； ②当M是中点时，的延长线与相交于点H，求的长． （2）如图②，在旋转的过程中，取的中点P，面积的最大值是______．（直接写出结果） 【答案】（1）①证明：连接，如图， ∵边长为1的正方形，绕点A旋转得到正方形． ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，证明即可证得结论； ②连接，证明得到，在中，由勾股定理列方程，进而求解即可． （2）连接，先利用勾股定理求得；过A作于K，利用勾股定理求得；过B作于H，则，当B、A、K共线时取等号，进而利用三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 ①略 ②连接， 由题意，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得； 【小问2详解】 解：连接， 由旋转性质得，， ∵点P是的中点， ∴， ∴， 过A作于K， 在中，， 在中，， ∴， 解得，则， ∴， 过B作于H，则，当B、A、K、H共线时取等号，此时K、H重合， ∴， 即面积的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积最值问题等知识点，综合性强，有点难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到，当B、A、K共线时取等号是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $