精品解析：2025年江苏省扬州市邗江区中考一模数学试卷

2025年邗江区数学学科九年级一模试卷 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 4 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解九年级某班学生中考英语口语人机对话水平，对该班学生进行模拟测试，从该班学生中随机抽取名学生进行调查，得到如下数据（单位：分）：，，，，，，，．对这组数据判断不正确是（　　） A. 极差为 B. 众数为 C. 平均数为 D. 中位数为 5. 若 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数 的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（ ） A. 该函数图象关于y轴对称 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时， D. 该函数图像与x轴有3个交点 7. 如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 6 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 截至2024年底，我国国内高价值发明专利拥有量达到1 978 000件，同比增长，数据1 978 000用科学记数法表示为 _____． 10. 分解因式：_______． 11. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______． 12. 关于的一元二次方程的一个根，则_______． 13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 14. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 15. 如图，在四边形中，，，，，是上一点．若沿折叠，恰好B，D两点重合，则______ 16. 若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_____． 17. 已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则_____0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 18. 如图，在中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2） ． 20. 解不等式组，并把此不等式组解集在数轴上表示出来． 21. 为了提高学生对人工智能的兴趣和应用能力，某校社团活动拟开设五种人工智能项目：、智能机器人设计与编程，、绘画与图像识别，、机器学习与数据分析，、伦理辩论与情景剧，、小程序与智能硬件结合开发．为了解学生最喜欢以上哪种人工智能项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），根据调查数据绘制成下面的两幅统计图，请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，扇形统计图中对应圆心角的度数为 _____°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“、绘画与图像识别”学生人数． 22. 扬州一直以来是游客竞相前往游览胜地．小丽和小红她们每人都计划上午在瘦西湖、个园中选择一个景点游览，下午在东关街和大运河博物馆中选择一个景点游览． （1）小丽和小红每人有_____种选择方案； （2）用画树状图或列表的方法求小丽和小红选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、、…或①、②、③…等符号来代表可简化解答过程） 23. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用，两种不同型号的分拣机器人，已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的倍，且型机器人分拣 件快递所用时间比型机器人分拣 件所用时间少分钟．问型机器人每分钟分拣快递多少件？ 24. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 25. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 26. （1）如图1，边中点为P，在边上求作一点D，使得的面积与的面积比为； （2）如图2，边上有一点Q，在延长线上求作一点E，使得的面积与的面积相等； （3）如图3，边上有一点R(异于中点），在边上求作一点F，使得的面积与的面积比为． 要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 27. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 28. 如图，已知，的两个顶点A、B分别在边、 上运动（点C在的左侧），其中，，，边交射线于点D，运动过程中： （1）_____，的最小值为____ ； （2）若被分成的两个三角形中有一个是以为底的等腰三角形，求的长； （3）连接，请直接写出运动过程中的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年邗江区数学学科九年级一模试卷 （总分150分 时间120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算分别计算得出答案． 【详解】解：A、和不能合并，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，正确； 故选：D． 4. 为了解九年级某班学生中考英语口语人机对话水平，对该班学生进行模拟测试，从该班学生中随机抽取名学生进行调查，得到如下数据（单位：分）：，，，，，，，．对这组数据判断不正确的是（　　） A. 极差为 B. 众数为 C. 平均数为 D. 中位数为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是极差、众数、平均数及中位数的定义，解题关键是熟练掌握极差、众数、平均数及中位数的定义． 根据极差、众数、平均数及中位数的定义，结合数据进行分析即可． 【详解】解：选项，极差为，判断正确，不符合题意，选项错误； 选项，该组数据中出现最多的数是，即众数为，判断正确，不符合题意，选项错误； 选项，平均数为，判断正确，不符合题意，选项错误； 选项，将数据按照从小到大排列可得：，，，，，，，，则中位数为，判断错误，符合题意，选项正确． 故选：． 5. 若 ，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可． 【详解】解：； ∵， ∴， 即； 故选：A． 6. 函数 的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（ ） A. 该函数图象关于y轴对称 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时， D. 该函数图像与x轴有3个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象识别，根据图象逐一判断即可，熟练运用图象得到信息是解题的关键． 【详解】解：A、该函数图象不是关于y轴对称，故A错误，不符合题意； B、当时，y随x先增大再减小，故B错误，不符合题意； C、当时，，故C错误，不符合题意； D、该函数图像与x轴有3个交点，故D正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在中，延长斜边到点D，连接．若，，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识．先求出，，过点D作交延长线于点E，证明，得到，设,则，，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：∵在中，，， ，； 过点D作交延长线于点E， ，， ， ， ， 设, 则，， ∵， 即， 解得， 即的长为， 故选B． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题． 【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点， ， 整理得， 当时，不等式恒成立， 整理得， 当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾， 当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ， ，即，有， 即，解得， 综上， ，， 即，解得， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 截至2024年底，我国国内高价值发明专利拥有量达到1 978 000件，同比增长，数据1 978 000用科学记数法表示为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键．根据科学记数法的表示即可得出答案． 【详解】解：根据科学记数法的知识可得：， 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 11. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟悉掌握内角和公式是解题的关键． 根据多边形内角和公式运算即可． 【详解】解：正九边形内角和， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程的一个根，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程 得 解得： 故答案为：． 13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据点落入黑色部分的频率稳定在 左右，得到点落入黑色部分的概率为，，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，点落入黑色部分的频率稳定在左右，即点落入黑色部分的概率为， 则估计黑色部分的总面积为， 故答案为：10 14. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的有关计算．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 设圆心角的度数是，则， 解得：． 故侧面展开图的圆心角的度数是． 故答案是：． 15. 如图，在四边形中，，，，，是上一点．若沿折叠，恰好B，D两点重合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程求解．由折叠性质可得，表示出，在直角三角形中，用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵沿折叠后， B，D两点恰好重合， 利用折叠性质可设 则 在中，由勾股定理可得 即 解得， ∴． 故答案为：． 16. 若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可． 【详解】解：分式方程的两边都乘以得：， 解得， ， ， ， 方程的解为正数， ， 且； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ． 且 整数的和为； 故答案为：5． 17. 已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则_____0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键． 【详解】解： ∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数，且， ∴点在同一象限， ， 当在第一象限时， 若，则， ； 若，则， ； 当在第三象限时， 若，则， ； 若，则， ； 综上，， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，取中点F，首先由得到，设，则，勾股定理表示出，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，取中点F ∵在中，，点D是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F是中点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2） ． 【答案】（1）1； （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值、特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再运算加减，即可求解； （2）先通分括号内，再运算除法，化简即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组，并把此不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】原不等式组的解集是，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集是； 把不等式组的解集在数轴上表示出来，如下： ． 21. 为了提高学生对人工智能的兴趣和应用能力，某校社团活动拟开设五种人工智能项目：、智能机器人设计与编程，、绘画与图像识别，、机器学习与数据分析，、伦理辩论与情景剧，、小程序与智能硬件结合开发．为了解学生最喜欢以上哪种人工智能项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），根据调查数据绘制成下面的两幅统计图，请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，扇形统计图中对应圆心角的度数为 _____°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“、绘画与图像识别”的学生人数． 【答案】（1）；； （2）图见解析； （3）人． 【解析】 【分析】（1）利用的组的人数除以其所占总人数的百分比即可求出样本容量，再用图中组对应的人数除以样本容量再乘以，即得其对应圆心角的度数． （2）用总人数减去其他组的人数即可求出组对应的人数，补全条形统计图即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由图可得组的人数为人，所占总人数的百分比为， ∴本次调查的样本容量是：（人）， ∵图中组对应的人数为人， ∴图中组对应的圆心角的度数为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由（1）可得样本容量是人， ∴图中组对应的人数是：（人）， 补全条形统计图如下： 小问3详解】 解：最喜欢“、绘画与图像识别”学生所占百分比为， ∴当该校共名学生时，估计该校最喜欢“、绘画与图像识别”的学生人数为（人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 扬州一直以来是游客竞相前往的游览胜地．小丽和小红她们每人都计划上午在瘦西湖、个园中选择一个景点游览，下午在东关街和大运河博物馆中选择一个景点游览． （1）小丽和小红每人有_____种选择方案； （2）用画树状图或列表的方法求小丽和小红选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、、…或①、②、③…等符号来代表可简化解答过程） 【答案】（1）； （2）树状图见解析，小明和小红选择同种方案的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是利用树状图找出所有等可能结果． （1）列举出所有游览方案即可得解； （2）利用树状图展示所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小丽和小红可选择：瘦西湖+东关街（用表示）；瘦西湖+大运河博物馆（用表示）；个园+东关街（用表示）；个园+大运河博物馆（用表示）共种方案． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小丽和小红选择同种方案的结果有种， 小丽和小红选择同种方案的概率为． 23. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用，两种不同型号的分拣机器人，已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的倍，且型机器人分拣 件快递所用时间比型机器人分拣 件所用时间少分钟．问型机器人每分钟分拣快递多少件？ 【答案】型机器人每分钟分拣快递件． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是正确列出分式方程并求解． 根据题意列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设型机器人每分钟分拣快递件，型机器人每分钟分拣快递件， 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：型机器人每分钟分拣快递件． 24. 如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形， 再由即可证四边形矩形． 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形， 连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 25. 如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证：是切线； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）先利用，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接，交于点， ， 又为的内心 ∴ 又为的直径 又∵ ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， =． 26. （1）如图1，边中点为P，在边上求作一点D，使得的面积与的面积比为； （2）如图2，边上有一点Q，在延长线上求作一点E，使得的面积与的面积相等； （3）如图3，边上有一点R(异于中点），在边上求作一点F，使得的面积与的面积比为． 要求：①用无刻度的直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】题目主要考查作图，相似三角形的判定和性质，理解题意，根据题意分别作出相应图形是解题关键． （1）根据题意，作线段的垂直平分线交于点D，连接，利用相似三角形的判定和性质即可得出面积比； （2）作，连接并延长交于点E，根据全等三角形的判定得出，即可确定满足条件； （3）先作线段的垂直平分线交于点D，连接，作线段的垂直平分线交于点E，作交于点F即为所求，利用平行线间距离相等及相似三角形的判定和性质即可得出面积比． 【详解】解：（1）根据题意，作线段的垂直平分线交于点D，连接即可； （2）作，连接并延长交于点E，根据全等三角形的判定得出，即可确定满足条件； （3）先作线段的垂直平分线交于点D，连接，作线段的垂直平分线交于点E，作交于点F即为所求． 27. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是抛物线 在第四象限上的任意一点， ①连接，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． ②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值． 【答案】（1）抛物线 的解析式为； （2）①存在，点P的坐标为；②点Q到x轴的距离的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数与几何综合，二次函数的性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①画出图形，利用平行四边形的性质即可解答； ②求得点的纵坐标的表达式，利用配方法即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， 可得， 解得， 抛物线 的解析式为； 小问2详解】 解：①存在，如图，过点作轴，交于点， ， 当四边形为平行四边形时，，， ， ， ， ，即点的横坐标为， 当时，， 则， 故存在点，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形； ②∵点是抛物线在第四象限上的任意一点 ∴，， ∵点按竖直方向向下平移个单位到点， ∴， ∴点到x轴的距离为， 此时满足， ∴点到x轴的距离的最大值为． 28. 如图，已知，的两个顶点A、B分别在边、 上运动（点C在的左侧），其中，，，边交射线于点D，运动过程中： （1）_____，的最小值为____ ； （2）若被分成的两个三角形中有一个是以为底的等腰三角形，求的长； （3）连接，请直接写出运动过程中的最大值． 【答案】（1）， ； （2）或 ； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据，得到，求出的值，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，进行求解即可； （2）分是以为底的等腰三角形和是以为底的等腰三角形，两种情况进行讨论求解即可； （3）定弦定角得到点在以为圆心，的圆上，过点作，连接，垂径定理，结合三角函数求出的长，进而得到的长，过点作，勾股定理求出的长，根据，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵交于点， ∴当时，最小， 此时：，即：， ∴， 即：的最小值为； 【小问2详解】 ①当是以为底的等腰三角形，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作，则：， 设，，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，即： 解得：（负值舍去）； ∴； ②当是以为底的等腰三角形，则：， 由（1）知：， ∴， 作，则同（1）法可得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即： ∴． 综上：或； 【小问3详解】 ∵为定值，也为定值， ∴点在以为圆心，的圆上， 过点作，连接，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最大为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，根据定弦定角得到隐形圆，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$