8.2圆锥及其侧面积展开图（第2课时 圆锥的表面积与体积）（教学课件）-2024-2025学年六年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）六年级数学下册 第8章 圆柱与圆锥 8.2 圆锥及其侧面展开图 （第2课时 圆锥的表面积与体积） 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.通过实验探究，推导出圆锥表面积与体积的计算公式，增强动手操作、观察、分析、总结归纳的能力； 2.理解等底等高圆柱、圆锥的体积关系，并能运用圆锥的体积公式解决简单实际问题； 3.经历实验探究过程，探索知识的内在联系，渗透转化思想，激发学习兴趣的同时，提高应用意识. 圆锥的认识 名称 特征 图示 底面 底面是一个圆 侧面 侧面是一个曲面 高 圆锥只有一条高，高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离 圆锥侧面积公式 圆锥的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积的一半，即 情景导入 新知探究 与长方体、正方体、圆柱的表面积、体积一样，圆锥所有面的面积之和叫作圆锥的表面积，圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积。 在日常生活和生产中，也经常需要计算一些圆锥的表面积和体积。 圆锥的表面积是什么？ 圆锥的表面积=侧面面积+底面面积 其中，S表、S侧和S底分别表示圆锥的表面积、侧面积和底面积，r、C和l分别表示它的底面半径、底面周长和母线长. 例 2 如图8-2-8，已知圆锥形石膏像的底面直径d=20cm，母线长l=30cm.求它的表面积和侧面展开图的圆心角(π取 3.14). 解 根据题意，圆锥的底面半径 ，母线长 ，所以圆锥形石膏像的表面积 圆锥的侧面积展开图的圆心角为 答:圆锥形石膏像的表面积约为1256cm2，它的侧面展开图的圆心角为120°. 例题讲解 如图，分别观察 (1) (2) 两组中的圆锥，它们之间有什么相同点或联系？每组中哪个圆锥的体积更大，哪个更小？请说明圆锥体积的大小与哪些因素有关. 观察 当__________不变时， ________越大， 越大， 越大； 高 直径 底面积 体积 当__________不变时， 不变， ________越大， 越大； 高 直径 底面积 体积 由此可知，圆锥体积的大小受到底面积与高的影响. 思考：怎样求圆锥的体积呢？ 请你回忆一下如何计算圆柱的体积？ V＝Sh或V＝πr2h或V＝π () 2h 以圆锥向圆柱里倒水为例： 1次 (2)用倒沙子或水的方法试一试。 2次 3次 3个圆锥的体积 ＝1个圆柱体积 正好倒满 探究：圆锥的体积 请同学们，观看下面实验操作，并回答下面问题： （1）实验中，用到的圆柱和圆锥有什么关系？ （2）实验中，用圆锥容器装满水倒入圆柱容器中，需要几次才能将圆柱容器装满. 等底等高 3次 通过上面的实验，我们发现一个圆锥的体积是与它等底等高的一个圆柱的体积的. 这就得到结论: 圆锥的体积等于它的底面积与高的乘积的 即 其中，V表示圆锥的体积，S底表示它的底面积，h表示它的高. 例 3 如图，某工地一个水泥仓可看作是一个上半部是圆柱形，下半部是圆锥形的立体图形.已知其底面半径r=1.5m，高h1=9m，上方圆柱的母线长 h2=6m.求该工地一个水泥仓的容积(π取 3.14，结果精确到 0.1 m3). 解 根据题意，该水泥仓的容积是上半部的圆柱与下半部的圆锥的容积之和. 答：该工地一个水泥仓的容积约为49.5m3. 例题讲解 1.已知一个圆锥形零件的底面积是20cm2，高是18 cm,求这个零件的体积. 答：求这个零件的体积是120cm3 课堂练习 2.如图，小海用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型(不含底面)，它的底面半径0B=3cm，高OC=4 cm，母线 AC=5 cm. (1)求该圆锥形漏斗的表面积(结果保留π); (2)求该圆锥形漏斗的容积(结果保留π) 3.如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形。已知圆柱的底面积为28.26m2，母线AD=2m，圆锥的高SO=lm，母线SD=3.16 m. (1)制作一顶这样的帐篷(接缝忽略不计)至少需要多少帆布(帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到 0.1 m2)? (2)帐篷的容积大约是多少(π取3.14，结果精确到 0.1 m3)? 解：（1） 所以OD=3 答：制作一顶这样的帐篷(接缝忽略不计)至少需要67.5m2的帆布. 用进1法求近似值 3.如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形。已知圆柱的底面积为28.26m2，母线AD=2m，圆锥的高SO=lm，母线SD=3.16 m. (1)制作一顶这样的帐篷(接缝忽略不计)至少需要多少帆布(帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到 0.1 m2)? (2)帐篷的容积大约是多少(π取3.14，结果精确到 0.1 m3)? 答：制作一顶这样的帐篷(接缝忽略不计)至少需要m3的帆布. 用进1法求近似值 （2） 25. 12÷3. 14×5÷2×2＝40(cm2) 答：这个圆锥的表面积增加了40 cm2。 求圆锥切面的面积 1. 如图，一个底面周长是25. 12 cm、高是5 cm的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后得到两个等腰三角形的切面。这个圆锥的表面积 增加了多少平方厘米? 点拨： 从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积比原来的圆锥的表面积增加了2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积。先求出圆锥的底面直径为25. 12÷3. 14＝8(cm)，再根据三角形面积公式计算即可。 分层练习 圆锥体积公式的简单应用 2. 填一填。 (1)一个圆锥的底面半径是6 cm，高是20 cm，它的体积是(　　　)cm3。 753. 6　 点拨：根据圆锥的体积公式V＝ πr2h解答即可。 (2)一个棱长为5 dm的正方体容器装满油后，把这些油倒入一个底面积是25 dm2的圆锥形容器里，正好装满。这个圆锥形容器的高是(　　)dm。 15 点拨：根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体容器内油的体积，即圆锥形容器的容积，再根据圆锥的体积公式V＝ Sh，那么h＝V×3÷S，即可求出圆锥的高。 (3)把一根体积是180 dm3的圆柱形木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是(　　　　)，削去的体积是(　　　　)。 60 dm3　 点拨：圆柱内最大的圆锥与原圆柱等底等高，所以削出的最大的圆锥的体积是圆柱的体积的，圆柱的体积减去圆锥的体积就是削去的体积，即是圆柱体积的。 120 dm3　 3. 华华家今年收获的小麦堆成了圆锥形，高是1. 2米，底面周长是12. 56米。 (1)这堆小麦的体积是多少立方米? 圆锥的底面半径：12. 56÷3. 14÷2＝2(米) ×3. 14×22×1. 2＝5. 024(立方米) 答：这堆小麦的体积是5. 024立方米。 点拨： 根据圆锥的底面周长先求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式V＝ πr2h求出这堆小麦的体积。 (2)如果每立方米的小麦重750千克，这堆小麦重多少千克? 750×5. 024＝3768(千克) 答：这堆小麦重3768千克。 点拨：用小麦的体积乘每立方米小麦的质量即可求出这堆小麦重多少千克。 (3)如果小麦的出粉率是70%，这堆小麦可以磨出面粉多少千克? 3768×70%＝2637. 6(千克) 答：这堆小麦可以磨出面粉2637. 6千克。 点拨：已知小麦的出粉率，用这堆小麦的质量乘出粉率可求出这堆小麦可以磨出面粉的质量。 4. 有一个圆锥形沙堆，底面周长是9. 42 m，高是1. 5 m。如果将这些沙子铺在一个长6 m，宽2 m的长方体沙坑里，大约能铺多少厘米厚? (得数保留整数) 9. 42÷3. 14÷2＝1. 5(m) 3. 14×1. 52×1. 5× ÷(6×2)＝0. 294375(m) 0. 294375 m＝29. 4375 cm≈29 cm 答：大约能铺29 cm厚。 利用“等积变形”思想解决问题 点拨： 已知圆锥形沙堆的底面周长和高，先求出圆锥的底面半径，再根据公式V＝ πr2h计算出体积，最后将长方体体积公式加以变形，得到高＝体积÷(长×宽)，求得能铺多少厘米厚。 5. 一个底面直径是16 cm的圆柱形容器中装有一些水，把一个底面半径是5 cm的圆锥形铁块完全浸没在水中，水未溢出，容器内的水上升了2. 5 cm，圆锥形铁块的高是多少厘米? 3. 14×(16÷2)2×2. 5×3÷(3. 14×52)＝19. 2(cm) 答：圆锥形铁块的高是19. 2 cm。 用“排水法”解决问题 点拨： 根据“圆锥的体积等于上升部分水的体积”，先求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3除以圆锥的底面积，即可求出圆锥形铁块的高。 6. 如图，四边形ABCD是直角梯形。以边CD所在直线为轴，将梯形绕这条轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是多少? (单位：厘米) 3. 14×32×6－×3. 14×32×(6－3)＝141. 3(立方厘米) 答：它的体积是141. 3立方厘米。 点拨： 先理解这个立体图形是由一个圆柱挖去一个圆锥形成的，再找出圆柱的底面半径是3厘米，高是6厘米，圆锥的高是6－3＝3(厘米)，底面半径是3厘米，然后根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式分别求出它们的体积，最后求差。 习题 1.已知圆锥的母线长为13cm,底面半径为4cm.求这个圆锥的侧面积和表面积 （π取3.14，结果精确到0.1c㎡). 圆锥的侧面积=2πx4x13÷2=52π≈163.3(cm²） 底面积为4²xπ=16π≈50.2(cm²); 圆锥的表面积=163.3+50.2=213.5(cm²） 2.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°。 求该圆锥的侧面积和表面积（结果保留π）。 解:设圆锥的母线长为R，则 = 20， 解得:R=30. 圆锥的侧面积=x20x30 =300 圆锥的底面半径为:202=10， 圆锥的底面积为100， 圆锥的表面积为300+100=400 3.已知一个圆锥的底面半径为6cm,它的侧面积展开图是圆心角为240°的扇形。求这个圆锥的表面积（结果保留π）。 设圆锥的母线长为lcm，则有2nx6= 解得l=9 圆锥的母线长为9cm: 4.如图，这是一个用铁皮制作的圆锥形容器盖（不含底面）。求这个容器盖所需铁皮的面积（结果保留π），并求制作容器盖的扇形的圆心角。 =80（cm） 底面周长为2π×80=160π（cm） 扇形面积为×160π×100=8000π（cm²） 设圆心角为n° = 160 n=288 5.如图，一个立体图形是从高为12cm，底面直径为10cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，圆锥的母线长为13cm。求该立体图形的表面积（结果保留π）。 圆柱的表面积为:2πx5²+2πx5x12=170π(cm²) 圆锥的侧面积为:πx5x13=65π(cm²) 圆锥的底面积为:πx5²=25π(cm²) 该立体图形的表面积为:170π+65π-25π=210π(cm²)。 圆锥的表面积=侧面面积+底面面积 课堂小结 圆锥的体积 $$