精品解析：甘肃省张掖市第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知，且为锐角，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（ ）． A. B. 2 C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ． B. ． C. ． D. ． 5. 在中，，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④③②① C. ④③①② D. ②③④① 7. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 在ABC中， ，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 9. ，，都在函数图象上，则，，的大小关系是（ ） ． A. B. C. D. 10. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 12. 当______时，是二次函数． 13. 某人沿坡度为的山路行了，则该人升高了__________米． 14. 李华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树高为__________米． 15. 如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为_____． 16. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是___________． 三、解答题（共96分） 17. 三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图所示，，且，，．求，，的长． 20. 如图，在中，的平分线交于点．求的长？ 21. 如图，在中，，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 22. 如图，已知点D在边上，点E在外，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 23. 已知二次函数的图象经过点、． （1）求与的值； （2）写出该图象上点的对称点的坐标； （3）当取何值时，随的增大而减小； （4）当取何值时，有最大值（或最小值）． 24. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的x的取值范围； （3）求的面积． 26. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 27. 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求证：． （2）如图，若正方形的边长为，点分别是、边上的点，且，．求的值； （3）在（）的条件下，延长交正方形外角平分线于点，如图，试判断与的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知，且为锐角，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， 故选：． 2. 已知，则的值是（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解决此题的关键． 将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 3. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 4. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ． B. ． C. ． D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段即可求解. 【详解】解：A.因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意； B.因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意； C.因为，所以该四条线段是成比例线段，故本选项符合题意； D.因为，所以该四条线段不是成比例线段，故本选项不符合题意. 故选：C. 5. 在中，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④③②① C. ④③①② D. ②③④① 【答案】C 【解析】 【分析】太阳光线下的影子是平行投影，就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，于是即可得到答案． 【详解】根据平行投影的规律以及电线杆从早到晚影子的指向规律，可知：俯视图的顺序为：④③①②， 故选C． 【点睛】本题主要考查平行投影的规律，掌握“就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东”，是解题的关键． 7. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，取格点，连接，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正切函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，取格点，连接， ∴根据格点可得， ， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，，， ， 故选：A． 8. 在ABC中， ，则ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 9. ，，都在函数图象上，则，，的大小关系是（ ） ． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且当时，当时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且当时，当时， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 10. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过作于，设，得，，可得，即得，，进而根据矩形的面积列出方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是矩形的对角线的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 当______时，是二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义可得且，解之即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 13. 某人沿坡度为的山路行了，则该人升高了__________米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，角直角三角形的性质，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 作，，根据得到，再由角直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，作，， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：100． 14. 李华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树高为__________米． 【答案】4.8 【解析】 【分析】本题考查平行投影及相似三角形的性质．关键是理解平行投影的特点：两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，利用相似的性质求解. 利用平行投影的特征以及相似三角形的性质可求出答案． 【详解】解：假设树高为， 由题意可知：， 解得：，即树高． 故答案为：4.8． 15. 如图，过轴正半轴上一点作轴的平行线，分别与反比例函数和图象相交于点和点，是轴上一点．若的面积为4，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数值得几何意义，由题意可知轴，，根据反比例函数值的几何意义，，所以，求解即可．掌握反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积是解题的关键，解题难点是构造同底等高的三角形面积相等． 【详解】解：连接，，如图所示， 轴， ， 反比例函数图象上的点与坐标轴及原点围成三角形面积， ， ，解得， ， ， 故答案为：6． 16. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的交点为，设，由题意可得，，则，则，求解即可． 【详解】解：设与的交点为，如下图： 设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即 解得，即 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 三、解答题（共96分） 17. 三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 ． 【解析】 【详解】解：分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【小问1详解】 解：（1） ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图所示，，且，，．求，，的长． 【答案】、、 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 而， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 20. 如图，在中，的平分线交于点．求的长？ 【答案】6 【解析】 【分析】由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长． 【详解】解：在中， 是的平分线， 又 ， 在中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键． 21. 如图，在中，，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，已知点D在边上，点E在外，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，以及相似三角形对应边成比例，是解题的关键． （1）根据得出，根据三角形的外角定理得出，则，即可求证； （2）根据相似三角形对应边成比例，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴ ∵，，， ∴ ∴． 23. 已知二次函数的图象经过点、． （1）求与的值； （2）写出该图象上点的对称点的坐标； （3）当取何值时，随的增大而减小； （4）当取何值时，有最大值（或最小值）． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）把点坐标代入二次函数解析式可得的值，进而把点坐标代入二次函数解析式可求出的值； （）由（）可得点坐标，再根据对称轴为轴可得点的坐标； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴二次函数， 把代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为轴，点的对称点为点， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴，当时，随的增大而减小； 【小问4详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点为，为最高点， ∴时，有最大值． 24. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） （2）为了安全起见，气体的体积应不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）的面积为8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； 【小问3详解】 解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 26. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 【答案】MN的长度约为1.5m． 【解析】 【分析】延长BC交AD于E，利用锐角三角函数求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长BC交AD于E， 结合题意得：四边形DEBN，四边形MCBN都为矩形， BE=DN，DE=NB=MC＝1.6，BC=MN, 由 由得： 米． 【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数的意义解直角三角形，掌握三角函数的含义是解题的关键． 27. 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）求证：． （2）如图，若正方形的边长为，点分别是、边上的点，且，．求的值； （3）在（）的条件下，延长交正方形外角平分线于点，如图，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， 又∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） ，理由： 在上取一点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵是外角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）取的中点，连接，可得，进而由正方形的性质得，，，可得，再利用余角性质得到，即可得，即可求证； （）证明即可求解； （）在上取一点，使，连接，同理（）可证，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）可知，， ∴， ∴， 即， ∵正方形的边长为，， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $