精品解析：浙江省宁波市宁海县北片2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023学年宁海县北片八年级（下） 期中测试数学卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列给出下列判断，正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形一定是轴对称图形 C. 对角线相互平分的四边形是平行四边形 D. 夹在两条平行线间的线段相等 5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.8 9.8 9.8 9.8 方差 0.85 0.72 0.88 0.76 根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 9. 有两个一元二次方程：；，其中，以下四个结论中，错误的是（ ） A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 10. 如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则为 （ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 的取值范围是_________． 12. 已知一组数据1，2，4，6，8，8中，众数是__________． 13. 若，则________． 14. 已知方程的一个根为2，则另一个根为________． 15. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是_____． 16. 如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是______ 三、解答题（共8题；第17-19题各6分，第20-22各8分，第23-24题各12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影．     （1）使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20. 某校为迎接五一文化节活动，需要从甲乙两位候选人中选择一人担任策划人，于是对他们进行了文化水平，艺术水平，组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩如下表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 87分 82分 乙 80分 96分 76分 （1）如果将两位候选人的各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取哪一位？说明你的理由． （2）如果想录取一位艺术水平比较高的候选人，把文化水平，艺术水平，组织能力三项成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，应该录取谁？说说你的理由． 21. 如图，已知点分别在平行四边形的边上，且，求证：． 22. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根为，且，求的值． 23. 某工厂引进了1条生产线，开工第一天生产300个，第三天生产432个，若每天生产产品的个数增长的百分率相同．请解答下列问题： （1）每天增长的百分率是多少？ （2）经调查发现，一条生产线最大产能是900个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天． ①现该厂要保证每天生产产品3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产量9000个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 24. 【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年宁海县北片八年级（下） 期中测试数学卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法、二次根式的除法，根据二次根式的加减、二次根式的乘法、二次根式的除法的运算法则逐项分析即可得解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，故不能合并，故原选项计算错误，符合题意； B、，故原选项计算正确，不符合题意； C、，故原选项计算正确，不符合题意； D、，故原选项计算正确，不符合题意； 故选：A． 3. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断即可． 【详解】解：A. 是一元二次方程，故此选项符合题意； B. ，不是整式方程，故此选项不符合题意； C. ，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D. ，是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选A． 4. 下列给出下列判断，正确的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形一定是轴对称图形 C. 对角线相互平分的四边形是平行四边形 D. 夹在两条平行线间的线段相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故原说法错误，不符合题意； B、平行四边形一定是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原说法正确，符合题意； D、夹在两条平行线间的线段不一定相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用该药品经过两次降价后的价格=原价×（1一降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得： 100（1﹣x）2=81． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是， 所以多边形的边数是12． 故选：D． 7. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.8 9.8 9.8 9.8 方差 0.85 0.72 0.88 0.76 根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的意义，即表示一组数据的离散程度，方差越小越稳定即可解决． 【详解】解：0.72<0.76<0.85<0.88，乙的方差最小 故选B． 【点睛】本题考查方差的意义，熟练掌握方差越小越稳定是解决本题的关键． 8. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选C． 9. 有两个一元二次方程：；，其中，以下四个结论中，错误的是（ ） A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是 【答案】D 【解析】 【分析】求出方程的判别式，方程的判别式，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可． 【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根， ∴即， ∴此时N的判别式， ∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意； B、∵M的两根符号相同：即， ∴N的两根之积也大于0， ∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意； C、如果5是M的一个根，则：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，不符合题意； D、比较方程M与N可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴它们如果有根相同的根可能是1或，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，． 10. 如图，P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若，则为 （ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：显然EPGD、GPFC、EPHA、PHBF均为平行四边形， ∴S△DEP=S△DGP=S平行四边形DEPG， ∴S△PHB=S△PBF=S平行四边形PHBF， 又S△ADB=S△EPD+S平行四边形AHPE+S△PHB+S△PDB① S△BCD=S△PDG+S平行四边形PFCG+S△PFB−S△PDB② ①−②得0=S平行四边形AHPE−S平行四边形PFCG+2S△PDB， 即2S△PBD=5−3=2 ∴S△PBD=1. 故答案为1. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．熟练掌握二次根式的意义是解题的关键； 根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为． 12. 已知一组数据1，2，4，6，8，8中，众数是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义即可得解，熟练掌握众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，出现的次数最多，故众数是， 故答案为：． 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，算术平方根和绝对值的非负性，理解实数的相关性质是解本题的关键． 根据算术平方根和绝对值的非负性质列方程即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 已知方程的一个根为2，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，即可得解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意可得：， 解得：， ∴另一个根为， 故答案为：． 15. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是_____． 【答案】②③ 【解析】 【分析】每个玻璃都含有两个边，想让两块玻璃配成平行四边形，需要满足两个条件； 　　 （1）需要其中一块玻璃包含的边与另外一个玻璃两个边形成对边且相互平行． （2）这两块玻璃是连在一起的． 运用到的是平行线的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故答案为：②③． 【点睛】本题是道所学知识与生活相联系的题，涉及到平行四边形的判定定理，要求对平行四边形判定定理透彻理解并且灵活运用． 16. 如图，平行四边形中，，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，取的中点，连接，可得为的中位线，即得，得到点在射线上运动，当时，的值最小，设与相交于点，先证为等边三角形，得到，，即得，再利用平行四边形的性质可得，四边形是矩形，即得，，进而即可求解，正确作出辅助线并判断出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点在射线上运动， 当时，的值最小，如图， 设与相交于点， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共8题；第17-19题各6分，第20-22各8分，第23-24题各12分，共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、利用二次根式的性质进行化简、二次根式的乘除，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）将式子变形为，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19. 下列三个网格图均由相同的小菱形组成，每图中都有3个小菱形已经涂上阴影，请在剩下的空白格子中，按照要求选取一个涂上阴影．     （1）使阴影部分构成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使阴影部分构成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）使阴影部分构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可； （3）根据轴对称图形和中心对称图形的概念并结合图形画出阴影部分即可． 【小问1详解】 解：根据题意画出图形如图：    ； 【小问2详解】 解：根据题意画出图形如图：    ； 【小问3详解】 解：根据题意画出图形如图：    ． 20. 某校为迎接五一文化节活动，需要从甲乙两位候选人中选择一人担任策划人，于是对他们进行了文化水平，艺术水平，组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩如下表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 87分 82分 乙 80分 96分 76分 （1）如果将两位候选人的各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取哪一位？说明你的理由． （2）如果想录取一位艺术水平比较高的候选人，把文化水平，艺术水平，组织能力三项成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，应该录取谁？说说你的理由． 【答案】（1）选择乙，理由见解析 （2）选择乙，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式． （1）分别求出甲、乙的算术平均数，然后比较即可解答； （2）分别求出甲、乙的加权平均数，然后比较即可解答． 【小问1详解】 解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）． 因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙； 【小问2详解】 解：甲的综合成绩（分）， 乙的综合成绩（分）． 因为乙的综合成绩比甲的高， 所以应该录取乙． 21. 如图，已知点分别在平行四边形的边上，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知， ，然后根据图形中相关线段间的和差关系求得，易证四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 22. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键． （1）利用根的判别式，进行计算即可解答； （2）利用根与系数的关系和已知可得，求出，代入方程得：，再求解即可． 【小问1详解】 ， 方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ， ， 代入方程得：， 解得：． 23. 某工厂引进了1条生产线，开工第一天生产300个，第三天生产432个，若每天生产产品的个数增长的百分率相同．请解答下列问题： （1）每天增长的百分率是多少？ （2）经调查发现，一条生产线最大产能是900个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天． ①现该厂要保证每天生产产品3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产量9000个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）增加4条生产线 不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天，根据每天生产9000个，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每天增长的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为； 【小问2详解】 ①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天， 依题意，得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴． 答：应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为个/天， 依题意，得：， 化简得：， ∵，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产9000个． 24. 【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】活动一：见解析 活动二：详见解析 活动三： 【解析】 【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解； 活动二：由中位线定理可得，，，， 结合，得出，即可得证； 活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解． 【详解】活动一 ：解：∵是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； 活动二：解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ， ， 活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接， ∵是的中点，， ∴，，， ∴， ∴，， ， ∴是中垂线， ， ， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $