精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

乐安中学九年级数学 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．） 1. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出从左面看这个几何体所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提． 2. 下列语句中，正确的是（　　） ①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断． 【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误； ④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键． 3. 若是二次函数，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：是二次函数，则且 由可得 或 ， 由可得， ， 综上 故答案为：C 【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义． 4. 如图， 是的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作 ，交于点 ，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果． 【详解】解：过点作 ，交于点 ， 是的外接圆， ， ， 又 ， ， ， ， 在中，， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这一知识是解题的关键；由题意知反比例函数的比例系数为正数，根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内随自变量的增大而减小； ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个. ①AB＝2BC；②＝2；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先取的中点D，连接AD，BD，由∠AOB=2∠BOC，易得＝2，AD=BD=BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB=4∠CAB，∠ACB=∠BOC=2∠CAB． 【详解】解：取的中点D，连接AD，BD， ∵∠AOB＝2∠BOC， ∴＝2，故②正确， ∴＝＝， ∴AD＝BD＝BC， ∵AB＜AD+BD， ∴AB＜2BC．故①错误， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB， ∴∠AOB＝4∠CAB， ∵∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确． 故选C． 【点睛】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 7. 如图，四边形 内接于 ，若四边形 是平行四边形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了圆周角定理及其应用、平行四边形的性质；应牢固掌握相关定理并能灵活运用． 设 的度数， 的度数，由题意可得，求出β再利用平行四边形对边平行，得同旁内角互补即可解决问题． 【详解】解：设 的度数， 的度数； ∵四边形 是平行四边形， ； ；而， ， 解得： ∵平行四边形 中，， , , 故答案为：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了抛物线和直线的图象，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，可先由二次函数 图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交 轴的正半轴，可知 ， ，由直线可知，图象过二，三，四象限， ，故此选项不符合题意； B、由抛物线 ，可知图象开口向下，交 轴的负半轴，可知 ，，由直线可知，图象过一，二，三象限， ， ，故此选项不符合题意； C、由抛物线 ，可知图象开口向上，交 轴的负半轴，可知 ，，由直线可知，图象过一，二，四象限，， ，故此选项符合题意； D、由抛物线 ，可知图象开口向上，交 轴的正半轴，可知 ， ，由直线可知，图象过一，三，四象限， ， ，故此选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知∠A＝36°，则∠AED的度数为（ ） A. 36° B. 56° C. 63° D. 72° 【答案】C 【解析】 【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据已知条件可得∠ABC的度数，由D为弧AC的中点，可得，即可得出，再根据三角形外角定理∠AED＝∠A＋∠ABD代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝36°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣36°＝54°， ∵D为弧AC的中点， ∴， ∴， ∴∠AED＝∠A＋∠ABD＝36°＋27°＝63°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系进行求解是解决本题的关键． 10. 如图，在 中， ，点D在斜边上，以 为直径的 经过边 上的点E，连接 ，且 平分 ，若 的半径为3，，则线段的长为（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接 ，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 平分 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 的半径为3，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分．） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找 ．解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴， 故答案为：． 12. 在锐角 中，若，则的余弦值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出 及 的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ， 为锐角， ， ， ， 的余弦值是． 故答案为：． 13. 如果抛物线 经过，那么抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】二次函数 图象是轴对称图形，经过，为一对对称点，于是得对称轴． 【详解】解：由抛物线 经过，得关于对称轴对称，即对称轴过的中点，， 故答案为：直线 ． 【点睛】本题考查二次函数图象的轴对称性质，中点坐标公式，理解二次函数的轴对称性是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，P是经过、、的圆上的一个动点（P与A、B不重合），则_____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，等腰直角三角形的性质和判定，分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 根据、 、 的坐标就可以得到 ，则 是等腰三角形，可求出的度数；根据同弧所对的圆周角相等，以及圆内接四边形的对角互补，就可以求出的度数． 【详解】解：∵、、， ∴ ， 是等腰直角三角形． ， 当 在弦 所对的优弧上时，； 当 在弦 所对的劣弧上时，． 故答案是： 或． 15. 用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要____个小正方体． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查三视图，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”来分析出小正方体的个数．根据图形，主视图的底层最少有3个小正方形．第二层最少有2个小正方形，即可得出答案． 【详解】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最少有3个小正方体，第二层最最少有2个小正方体，那么搭成这样的几何体至少需要个小正方体， 故答案为：5． 16. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 ，其中水面的宽 为，则排水管内水的深度为_____ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，过作，交 于点 ，垂径定理可得，进而勾股定理求得 ，进而即可求解． 【详解】过作，交 于点 ，可得出， 由直径是 得，半径， 在中，根据勾股定理得． 排水管内水的深度为：． 故答案为： 17. 如图，在中，的半径为点 是边上的动点，过点 作 的一条切线 (其中点为切点)，则线段 长度的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接OP、OQ， ∵ 是 的一条切线 ∴PQ⊥OQ ∴ ∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短 在Rt△ABC中， ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3 在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1 ∴PQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键． 18. 如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC//OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE·CO，其中正确结论的序号是____． 【答案】①②③ 【解析】 【详解】①∵OC⊥AB， ∴∠BOC=∠AOC=90°， ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC=45°， ∵AC//OD， ∴∠BOD=45°， ∴∠DOC=45°， ∴OD平分∠COB．故①正确； ②∵∠BOD=∠COD， ∴BD=CD，故②正确； ③∵∠AOC=90°， ∴∠CDA=45°， ∴∠DOC=∠CDA， ∴△DOC∽△EDC． ∴，即CD2=CE·CO．故③正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（共8小题，共86分．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）依次计算算术平方根，零指数幂，实数的绝对值及特殊角三角函数，最后相加减即可； （2）分别计算特殊角三角函数，负整数指数幂，零指数幂，实数的绝对值，逆用积的乘方，最后相加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数，实数的绝对值，算术平方根，积的乘方的逆用等知识点，涉及较多的知识点，熟练掌握是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段 ，C为x轴正半轴上一点，且． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为， 一次函数的解析式是 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： （1）过点A作轴，在 中，根据正弦定义可求出 ，由勾股定理得 ，故可得点A的坐标为，把分别代入与中可求得m，n的值． （2）根据直线与x轴的交点可求点B的坐标，故 可得，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过A点作轴于点D， ∵， ， ∴ ． 由勾股定理得：． ∵点A在第一象限， ∴点A的坐标为． 将A的坐标为代入，得：， ∴． ∴该反比例函数的解析式为． 将A的坐标为代入得：， ∴． ∴一次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：在中，令 ，即， ∴ ． ∴点B的坐标是． ∴． 又， ∴． ∴ 的面积为6． 21. 如图，已知是 的直径，弦 于点，， ． （1）求； （2）求的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°解得 ，再由勾股定理解得AB的长，继而根据正弦定义解题即可； （2）由垂径定理得到 ，再结合三角形面积公式解题． 【详解】解：（1）∵是 的直径，， ， ∴ ，， ∴ ，； （2）∵ ， ∴ ， 由三角形的面积公式得:, ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、三角形面积公式、正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为 和 ，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：） 【答案】主塔的高度约为78m． 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∴， ∴m， ∴AB＝BC＝m， 答：主塔的高度约为78m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 23. 如图，为 的直径，点C为 上一点，若，过点C作直线l垂直于射线 ，垂足为点D． （1）连接 ，证明； （2）若直线l与的延长线相交于点E， 的半径为3，并且 ，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，得，由，得，从而问题得证； （2）由 得；由得，则，由勾股定理即可求得结果． 【小问1详解】 证明：∵ ，如图， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，如图， ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了圆的切线判定，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24. 如图，在 中， ，O是边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与相交于点D，连接，且 ． （1）求证：是 的切线； （2）若 ， 的半径为1，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图所示： ， ． ， ． ∵ ， ∴ ， ， ． ∵ 为半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形特征等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接 ，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论； （2）利用等腰三角形性质可得 ， ，根据三角形外角性质求出 ，含30度角的直角三角形特征得出 ，利用最后利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）（-2，-4） （3）P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），， 【解析】 【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式； （2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标； （3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，． 【小问1详解】 解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． 【小问2详解】 向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大， ∵时，，， ∴A点坐标为：（-4,0）， 设直线AB关系式为：， 将A（-4,0），B（0，-4），代入， 得：， 解得：， ∴直线AB关系式为：， 设直线AB平移后的关系式为：， 则方程有两个相等的实数根， 即有两个相等的实数根， ∴， 即的解为：x=-2， 将x=-2代入抛物线解析式得，， ∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大； 【小问3详解】 ①当∠PAB=90°时， 即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：， 将A（-4,0）代入得，， 解得：， ∴PA所在直线解析式为：， ∵抛物线对称轴为：x=-1， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，3）； ②当∠PBA=90°时， 即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：， 将B（0，-4）代入得，， ∴PA所在直线解析式为：， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，-5）； ③当∠APB=90°时，设P点坐标为：， ∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：， ∵PA⊥PB， ∴=-1， 解得：，， ∴P点坐标为：， 综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐安中学九年级数学 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分．） 1. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句中，正确的是（　　） ①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④ 3. 若是二次函数，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图， 是的外接圆，，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个. ①AB＝2BC；②＝2；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，四边形 内接于 ，若四边形 是平行四边形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在半径为R的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知∠A＝36°，则∠AED的度数为（ ） A. 36° B. 56° C. 63° D. 72° 10. 如图，在 中， ，点D在斜边 上，以 为直径的 经过边 上的点E，连接 ，且 平分 ，若 的半径为3，，则线段 的长为（ ） A. B. 8 C. D. 6 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分．） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 12. 在锐角 中，若，则的余弦值是______． 13. 如果抛物线 经过，那么抛物线的对称轴是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，P是经过、、的圆上的一个动点（P与A、B不重合），则_____________． 15. 用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要____个小正方体． 16. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 ，其中水面的宽 为，则排水管内水的深度为_____ ． 17. 如图，在中，的半径为点 是 边上的动点，过点 作 的一条切线 (其中点为切点)，则线段 长度的最小值为____． 18. 如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC//OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE·CO，其中正确结论的序号是____． 三、解答题（共8小题，共86分．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段 ，C为x轴正半轴上一点，且． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积． 21. 如图，已知 是 的直径，弦 于点 ，， ． （1）求； （2）求 的长． 22. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔 垂直于桥面 于点B，其中两条斜拉索与桥面 的夹角分别为 和 ，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔 的高度（结果保留整数，参考数据：） 23. 如图， 为 的直径，点C为 上一点，若，过点C作直线l垂直于射线 ，垂足为点D． （1）连接 ，证明； （2）若直线l与 的延长线相交于点E， 的半径为3，并且 ，求 的长． 24. 如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， 的半径为1，求 的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $