精品解析： 2025年吉林省长春力旺实验初级中学九年级下学期中考联考模拟考试数学试题

数学试题 一.选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在数轴上表示下列实数的点中，位于原点左侧的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 若不等式“”表示“不大于5的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A. B. C. D. 3. 将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可得到的立体图形是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（ ）米. A. B. C. D. 7. 如图，是等边三角形，以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，交于点，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算______. 10. 在二元一次方程中，用含的代数式表示，则______． 11. 一元二次方程的根的判别式的值为5，则的值为______. 12. 如图，在矩形中，，，以点为圆心长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为______． 14. 如图，在平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若点为的中点且，给出下面四个结论：①；②；③；④.上述结论中，正确的序号有______. 三.解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，. 16. 清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔童闹海（记为）、唐探1900（记为），小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列表）的方法，求他们看同一部影片的概率． 17. 清明节期间，某旅行社与社区物业联合，推出优惠活动，将“长春一日游”项目在原来门市报价的基础上每人降价元，这样某家庭原定元的旅游费用，降价后只需花费元（旅游人数不变）.用列方程的方法，求该旅行社此项目原来门市报价是每人多少元？ 18. 如图，在中，，为的中点，过点作，且，连结 （1）求证：四边形是矩形； （2）连结交于点，若，，则的长为______. 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______ （2）扇形统计图中组对应的圆心角为______度； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是中心对称图形且点、均在格点上. （1）在图①中，四边形面积为3； （2）在图②中，四边形面积为5； （3）在图③中，四边形面积为7. 21. “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．清明节假期，小力和姐姐同时从家出发骑自行车沿着同一路线去净月潭公园游玩，小力先以250米/分钟的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后，再以某一速度匀速到达净月潭公园，姐姐则始终以190米/分钟的速度骑行，两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示（速度调整时间忽略不计）．请结合图象，解答下列问题： （1）小力休息后骑行的速度比休息前骑行的速度______（填“快”或“慢”）； （2）求线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，请直接写出时间的取值范围． 22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容． 【问题解决】请结合图①，写出例1的完整解答过程． 【问题探究】在菱形中，对角线、相交于点，，． （1）如图②，过点作交的延长线于点，连结，则的长为______． （2）如图③，点、分别是边、上的动点，，连结，的最小值是______；此时______． 23. 如图，已知菱形边长为13，，于点；点是边上的一点（点不与点和重合），作射线，在射线上取点，使，以，为邻边作. （1）______. （2）当点为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点落在内部时，求的取值范围； （4）当、、三个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为______. 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）作点关于抛物线对称轴的对称点（不与重合），连接，求的值． （4）以为边向下作正方形．当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一.选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在数轴上表示下列实数的点中，位于原点左侧的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴与实数的对应，解题的关键是熟练掌握数轴． 利用数轴的意义即可解答此题． 【详解】解：根据数轴的意义，原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，原点所表示的数为0， 故选：D． 2. 若不等式“”表示“不大于5的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”表示“不大于5的数”， 则被墨迹覆盖的不等号是， 故选：A． 3. 将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可得到的立体图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的立体图形是圆锥． 【详解】解：直角三角形绕一条直角边旋转一周，可得到的立体图形是圆锥． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握性质和运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法可判断A，C和D，根据积的乘方可判断B即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C． ，故C正确； D． ，故D错误； 故选：C． 5. 如图，点，，在上，是劣弧的中点.若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 利用弧与圆心角的关系求出的度数，在通过弧上中点求出的度数，最后利用圆周角定理即可求出的大小． 【详解】解：， 的度数为， ∵是劣弧的中点， ∴的度数为， ∴， 故选：B． 6. 某飞机于空中处探测到目标，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则飞机到控制点的距离为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，是等边三角形，以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，交于点，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图方法可知，是的垂直平分线，，根据等边三角形的性质只能得到． 【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线， ，，故D正确， 是等边三角形， ， ， 对于条件不足，不能证明成立，不符合题意， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点和都在轴上，点在双曲线上．连结，若，则正方形的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，已知值求面积，根据，设，，进而得到点坐标，根据点在双曲线上，把点代入，求出的值，进而求出正方形的边长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正方形， ∴轴，轴，， ∴， 设，， 则：， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 解得：（负值舍掉）， ∴， ∴正方形的面积为； 故选C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算______. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根和平方根的定义及公式是解题的关键，将第一项利用立方根化简，第二项利用算术平方根化简，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 10. 在二元一次方程中，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，解题关键是熟练掌握解二元一次方程的一般步骤． 按照解方程的一般步骤，将y看作已知数求出x即可． 【详解】解： ． 故答案为： 11. 一元二次方程的根的判别式的值为5，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程根的判别式等于5，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵根的判别式的值为5， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，以点为圆心长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，利用矩形的面积减去扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键．过点作轴，轴，根据位似比等于相似比，得到，证明，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵边长为1的菱形与边长为3的菱形是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 过点作轴，轴， 则：轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形的对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若点为的中点且，给出下面四个结论：①；②；③；④.上述结论中，正确的序号有______. 【答案】①② 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，设，先求出， ，，证明是等腰直角三角形，可求出，证明和相似得，据此可对结论③进行判断，④分别求出，，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故①符合题意； ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分， ②∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形，设， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，故③不符合题意； ④，， ，故④不符合题意， 综上所述：所有正确结论的序号是①②． 故答案为：①②． 三.解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方公式化简，然后代值计算． 【详解】解：原式 当，时，原式． 16. 清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔童闹海（记为）、唐探1900（记为），小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列表）的方法，求他们看同一部影片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件是解题的关键． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况， ∴P（小明和小红看同一部影片） 17. 清明节期间，某旅行社与社区物业联合，推出优惠活动，将“长春一日游”项目在原来门市报价的基础上每人降价元，这样某家庭原定元的旅游费用，降价后只需花费元（旅游人数不变）.用列方程的方法，求该旅行社此项目原来门市报价是每人多少元？ 【答案】该旅行社此项目原来门市报价是每人元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设该旅行社此项目原来门市报价是每人元，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设该旅行社此项目原来门市报价是每人元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该旅行社此项目原来门市报价是每人元． 18. 如图，在中，，为的中点，过点作，且，连结 （1）求证：四边形是矩形； （2）连结交于点，若，，则的长为______. 【答案】（1）证明：∵为的中点，且， ∴ ∵ 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得四边形是平行四边形，根据三线合一得出，可得，即可得证； （2）求出，根据得出，则，在中，根据勾股定理得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 解得 ∵四边形是矩形； ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三线合一，已知正确求边长，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______ （2）扇形统计图中组对应的圆心角为______度； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1）85， （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （3）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则， 根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， 第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数． 故答案为：85，； 【小问2详解】 解：∵乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， C组有8人， ∴组有人， ∴扇形统计图中组对应的圆心角为， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是中心对称图形且点、均在格点上. （1）在图①中，四边形面积为3； （2）在图②中，四边形面积为5； （3）在图③中，四边形面积为7. 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2）如图，四边形即为所求； （3）如图，四边形即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是恰当利用网格，正确画出图形． （1）构造一个的矩形，使矩形面积减去外围四个三角形面积之和，得到四边形面积为3； （2）以为边作正方形即可； （3）构造一个的矩形，使矩形面积减去外围四个三角形面积之和，得到四边形面积为7． 【小问1详解】 解： 利用割补法求得四边形的面积为， ∴四边形即为所求； 【小问2详解】 解：利用割补法求得四边形的面积为，或者利用勾股定理求出正方形的边长为， ∴四边形即为所求； 【小问3详解】 解：利用割补法求得四边形的面积为， ∴四边形即为所求． 21. “低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．清明节假期，小力和姐姐同时从家出发骑自行车沿着同一路线去净月潭公园游玩，小力先以250米/分钟的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后，再以某一速度匀速到达净月潭公园，姐姐则始终以190米/分钟的速度骑行，两人骑行的路程（米）与时间（分钟）的关系如图所示（速度调整时间忽略不计）．请结合图象，解答下列问题： （1）小力休息后骑行的速度比休息前骑行的速度______（填“快”或“慢”）； （2）求线段的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，请直接写出时间的取值范围． 【答案】（1）快 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据时间路程速度，即可求出小力休息前骑行的时间，结合休息的时间为 5 分钟，即可得出，再根据速度路程时间，即可求出小力休息后骑行的速度，即可求解； （2）根据数量关系找出线段所在直线的函数解析式； （3）求出所在直线的函数解析式，求出两人相遇时的时间，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：小力休息前骑行的时间为（分钟）， ∴， ∵（分钟）， ∴． 小力休息后骑行的速度， ∵， 故答案为：快； 【小问2详解】 解：设线段的函数表达式是， 把点和点代入，得：， 解得：， ∴线段的函数表达式是． 【小问3详解】 解：根据题意：线段的函数表达式是：． 线段的函数表达式是：． 解方程组：，得：， 解方程组：，得：， 故在整个运动过程中，当姐姐在小力前面时，时间的取值范围是． 22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容． 【问题解决】请结合图①，写出例1的完整解答过程． 【问题探究】在菱形中，对角线、相交于点，，． （1）如图②，过点作交的延长线于点，连结，则的长为______． （2）如图③，点、分别是边、上的动点，，连结，的最小值是______；此时______． 【答案】【问题解决】：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 【问题探究】：（1）；（2） 【解析】 【分析】解决问题：根据平行线的性质得到，根据题意求出，根据等边三角形的判定定理证明结论； （1）根据解决问题可证明为等边三角形，得，，求出，证明为等边三角形，得出，勾股定理即可求出． （2）根据（1）可得为等边三角形，且四边形是菱形，证明，得出，从而证明是等边三角形，得出，故当时，最小，根据解直角三角形求出，得出最小值为，求出，证明是中位线，求出，过点作，求出，再根据，求出面积即可求解． 【详解】解：解决问题：略 问题探究：（1）∵在菱形中，， 同理，可证明为等边三角形， ，， ∴， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ∴． （2）根据（1）可得为等边三角形，且四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当取最小值时，最小， 当时，最小， 此时， ∴最小值为， ∴， ∵是等边三角形， ∴点是中点，同理，点是中点， ∴是中位线， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，已知菱形边长为13，，于点；点是边上的一点（点不与点和重合），作射线，在射线上取点，使，以，为邻边作. （1）______. （2）当点为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点落在内部时，求的取值范围； （4）当、、三个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为______. 【答案】（1）12 （2）12 （3） （4）1，， 【解析】 【分析】（1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，作于点G，由为中点，，，得，进而可求，即点到直线的距离是12； （3）点落在上时，此时三点重合；点落在上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出的取值范围； （4）分三种情况：①当点、在直线上时，②当点在直线上时，③当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：作于点H，作于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； 【小问3详解】 解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ， ， ； ②当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 如图所③当点在直线上时，示， 延长，，交于点， 中，，， 又， ， ， ， 设， 则， ，， 菱形中，，， ， ， 解得． 综上所述，当、、三个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）作点关于抛物线对称轴的对称点（不与重合），连接，求的值． （4）以为边向下作正方形．当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，再将解析式变形为顶点式即可求出结果； （2）将点的横坐标代入解析式，用表示其纵坐标，当点在轴上时，点的纵坐标为，得出值，即可求解； （3）先表示出点，点，点，分情况讨论，①当点在点左侧时，即，（i）若点在点左侧，不符合题意，（ii）若点在点左侧，，即，，②当点在点左侧时，即，此时点都在点左侧，，将点的坐标代入后化简，即可解题； （4）该抛物线的顶点坐标为，分情况讨论：①当点在点左侧，时，此时点应在抛物线对称轴的右侧，即，设点在正方形上，过点作于点，，求出此时的值，根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图像，即可解题；②当点在点左侧时，即时，此时点应在抛物线对称轴的右侧，即，设点在正方形上时，过点作轴于点，过点作于点， ，求出此时的值，根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图像，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线（是常数）经过点， ，解得， 该抛物线解析式为，顶点坐标为； 【小问2详解】 点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， 点的纵坐标， 即点， 当点在轴上时，，解得，， 则点的坐标为或； 【小问3详解】 点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， 点，点， 又点为点关于抛物线对称轴的对称点，该抛物线的对称轴为， 点， ①当点在点左侧时，即时， （i）若点在点左侧，如图所示，不符合题意， （ii）若点在点左侧，，即，如图所示， ， ②当点在点左侧时，即时，此时点都在点左侧，如图所示， ， 综上所述，当或时，； 【小问4详解】 点为，点为，该抛物线的顶点坐标为， ①当点在点左侧，时， 抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大， 点应在抛物线对称轴的右侧，，即， 设点在正方形上，如图所示，以为边向下作正方形， 过点作于点， ，， ， ， 由（3）知，， 即，得， 根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图像， 则， ②当点在点左侧，时， 抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大， 点应在抛物线对称轴的右侧，即， 设点在正方形上，如图所示，以为边向下作正方形， 过点作轴于点，过点作于点， ，， ， 又， ， 由（3）知，， 即，得， 根据题意，段抛物线上的点要有一部分落在正方形内部，结合函数图像， 则， 综上所述，或． 【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标、对称轴、图像和性质，三角函数，正方形的性质及“分类讨论”思想的应用，解题的关键是利用“数形结合”将几个特殊点在图像中标出相对位置，求出临界值，进而确定取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $