精品解析：　重庆南开中学2024—2025学年下学期八年级数学期中模拟试题(一)

南开中学2024-2025学年度（下）初2026级期中 数学模拟试题（一） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，请将正确答案填写在答题卷对应表格内． 1. 以下传统窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的认识，熟练掌握中心对称图形的概念“ 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”是解答此题的关键． 【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意， B.不是中心对称图形，不符合题意， C. 是中心对称图形，符合题意， D.不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x=0 B. x=3 C. x≠0 D. x≠3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意得，x﹣3≠0， 解得，x≠3， 故选D． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，注意：分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直平分 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线平分一组对角 D. 平行四边形的对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质，根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等，原说法错误，不符合题意； C、正方形的对角线平分一组对角，原说法正确，符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，不符合题意； 故选C． 4. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法运算，然后根据无理数的估算得出结论即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，不等式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 如果是多项式的一个因式．则k的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设另一个因式是，根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可． 【详解】解：设另一个因式是， 则 ， 是多项式的一个因式， ， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 7. 如图，在平行四边形 中，于点 ，点为 中点，则 的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：设与 交于点O， ∵ 是平行四边形， ∴， 又∵ ， ∴点E是的中点， ∵点为 中点， ∴是的中位线， ∴， 故选A． 8. 已知四边形 和都是正方形，点在线段 上，连接 、 ， 交于点 ．若，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点 作 于点，作 ，交的延长线于 ，设 与 交于，先证明四边形 为矩形，再证明 和 全等得 ，则矩形 为正方形，由此得 ，则 ，进而得 ，则 ，由此可得的度数． 【详解】解：过点 作 于点，作 ，交的延长线于 ，设 与 交于，如图所示： 则 ， 四边形 和都是正方形， ，， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 矩形 为正方形， 平分， ， ， ， ， 是正方形 的对角线， ， ， ， ， ． 故选：． 9. 若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定a的值，然后进行计算即可解答． 【详解】 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， 解分式方程得： 解得： ∵分式方程有正整数解，且 ∴ 、3 ∴满足条件的所有整数a为2、4 ∴满足条件的所有整数a的和为2+4=6 故选：C 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．需要随时考虑分式的分母不为0，易错点是． 10. 有依次排列的两个不为零的代数式，用除以，可以得到代数式；再用除以，可以得到…以此类推，那么以下结论中，正确的个数为（ ） ① ②若，则的值为2 ③对于任意正整数都成立 ④若的值为整数，则满足条件的正整数共有6个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，式子的规律．理解题意，掌握的计算方法，找出规律是解题的关键． 先计算出，，，，……，发现每6个是一个循环．计算出即可判断结论①；根据得到，解方程即可判断结论②；根据的计算方法化简，即可判断结论③；根据规律可求得，根据该式子的值为整数，可得到52能被 整除，从而求得整数 可能的取值，从而判断结论④ 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， …… 由此可发现，每6个是一个循环． 由上面式子可得，故①正确； 若，则， 解得， 经检验，是该分式方程的解．故②错误； 对于任意正整数n， ，故③正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵的值为整数， ∴正整数， 即，共6个．故④正确； 综上所述，正确的结论共3个． 故选：C 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上． 11. 如图，在矩形 中，已知，则 的度数为______°． 【答案】 ##40度 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形性质推出，由推出，根据推出，即可得到结果． 【详解】解：四边形 是矩形， ∴ ，，， ∴， ， ∴ 故答案为：． 12. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式m，再用平方差公式分解即可． 【详解】解；． 故答案为；． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握判别式的意义． 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，， 即实数的取值范围为． 故答案为：． 14. 已知一个菱形的边长为2，一条对角线长为，则这个菱形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示， 菱形 中，对角线交于O，，， ∴， ∵在 中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 15. 若x2-x-1=0，则___． 【答案】2 【解析】 【分析】把x2-x-1=0变形得x2 -1=x，然后对分式进行化简，再代入求值． 【详解】∵x2-x-1=0， ∴x2 -1=x， ∵， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的减法运算是解题的关键． 16. 如图，在正方形 中，E为 上一点，，过点B作 于G，交 于F，H为 的中点，若，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明 ，得到，在中，勾股定理求出 的长，根据斜边上的中线等于斜边的一半，求出 的长即可． 【详解】解：∵正方形 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵，H为 的中点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，解题的关键是证明 ． 17. 如图，在 中，D，E分别为 ，上的点，将 沿折叠，得到 ，连接，， ，若，，，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长 ，，交于点M，结合 ，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点G， 设 由折叠，可知， ∵， ∴， ∴， 延长 ，，交于点M， ∵ ， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0．且前两位数字之和为6，后两位数字之和为9，则称M为“智数”，把“智数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数、规定．例如：是“智数”则．如果“智数”，则___________；已知是“智数”，（且a，b，c，d均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的S的最大值与最小值之和是___________． 【答案】 ①. 21 ②. 6708 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算．根据的计算方法，求出，，根据恰好能被7整除，得到能被7整除，分类讨论求出最大值和最小值即可．理解新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵ 是智数， ∴， ∴， ∴， ∵恰好能被7整除， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∵且a，b，c，d均为不为0的正整数，， ∴， ∴， ∴ 当 最大时，则：，， ∴当时，，不符合题意； 当，即：，当时， ，此时， ∴ 为； 当时，，不符合题意； 故满足条件的S的最大值是． 当 最小时，则：，， ∴当时，，不符合题意； 当，即：，当时， ，此时， ∴ 为； 当时，，不符合题意； 故满足条件的最小值为， ∴ 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）移项后，利用因式分解法解方程即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴； 【小问2详解】 去分母，得：， 解得： ； 检验，当 时，， ∴ 为原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 20. （1）解不等式组： （2）化简： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分式的混合运算，熟练掌握解不等式组的步骤，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：（1） 由①，得：； 由②，得： ； ∴不等式组的解集为：； （2）原式 ． 21. 近期重庆双福水果市场来了一批甘蔗之王——白玉族，其铁的含量特别多，居水果之首，故有“补血果”的美称．北关超市购进一批白玉蔗，交由甲，乙两名工人切割成节并包装、其中，甲工人加工了1200节，乙工人加工了2400节，现从甲、乙工人加工后的成品中各随机抽取20节进行称重（单位：克），将所抽取的每节甘蔗的重量进行整理和分析（每节甘蔗重量用x表示，共分成四组，A组：，B组：，C组：，D组：），并将称重数据绘制成了两幅统计图如下： 甲工人加工的C组甘蔗每节重量分别是：245，254，250，246，252 乙工人加工的B、C组甘蔗每节重量分别是： 236，237，238，240，242，244，248，248，248，248，250，252，252，254 【分析数据】：所抽取的甲、乙工人加工的甘蔗成品重量统计表 工人 平均数 中位数 众数 方差 甲 246 b 255 10.31 乙 246 248 c 9.67 【应用数据】： （1）直接写出______，______； （2）已知每节甘蔗越接近标准重量（246g），表示工人的切割技术越好．根据图表中的数据分析，甲、乙哪个工人的切割技术更好?请说明理由（写出一条理由即可）： （3）请估计经过甲、乙两名工人加工后的甘蔗成品中，重量在C组的节数． 【答案】（1）251；248 （2）乙工人更好，其众数更接近于标准值（答案不唯一） （3）1260 【解析】 【分析】（1）首先由扇形统计图分析出甲工人每组数据的个数，然后根据中位数的定义求解即可得出b；通过条形统计图分析出乙工人的众数即可得出c； （2）通过中位数或者众数与标准重量的对比即可得出结论； （3）利用抽样调查中重量在C组的占比乘以总的数量即可得出结论． 【小问1详解】 解：由扇形统计图知，甲工人各组数据的具体个数为： A组：20×10%=2； B组：20×25%=5； C组：20×25%=5； D组：20-2-5-5=8； ∵20个数据从小到大排列之后，中位数应取第10和11个数据的平均值， ∴甲工人的中位数，应位于C组中， ∵甲工人加工的C组甘蔗每节重量从小到大分别是：245，246，250，252，254， ∴第10和11个数据的平均值为（250+252）÷2=251， 即：b=251； 由条形统计图知乙工人的A、D两组各仅有3个数据，C组数据中248出现了4次， ∴乙工人数据中的众数为248， 即：c=248； 故答案为：251；248； 【小问2详解】 解：通过两人的众数可知，乙工人的众数更接近标准值246，说明乙工人更多的接近于标准值，其切割工艺更好；（答案不唯一，通过中位数说明亦可） 【小问3详解】 解：由题意，（节）， ∴估计经过甲、乙两名工人加工后的甘蔗成品中，重量在C组的节数为1260． 【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的信息综合，求中位数和众数，以及利用样本的频率估计总体的数量等，理解各种统计图的信息，以及中位数和众数的定义与求解方法是解题关键． 22. 如图，在 中，点E，F分别是 ，的中点，连接 ，，是 的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线 ，交的延长线于点G，连接 ．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若 ，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 平分， ______． 点E，F分别是 ，的中点， 是 的中位线， ______， ， ， ______． ， ______， 点E是 的中点， ， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ， 四边形是矩形．（______） 【答案】（1）见解析 （2）， ，，，对角线相等的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识．掌握矩形的判定是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到 ．则．所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 解∶如图， 、 为所作∶ 【小问2详解】 证明：平分， ． 点E，F分别是 ，的中点， 是 的中位线． ． ． ． ． ， ． 点E是 的中点， ． 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ． 四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故答案为∶ ， ，，，对角线相等的平行四边形是矩形． 23. 如图，在菱形 中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线 方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质： （1）当点P在 ，点Q在 上运动时，即时，证明是等边三角形，即可求解；当时，同理可解； （2）当时，，当 时， ，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 正确理解动点问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵菱形 ∴ ∴总的运动时间为：（秒）， 当点P在 ，点Q在 上运动时，即时，连接 ， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴； 当点P在 ，点Q在 上运动时，即时，如图所示：是等边三角形， ∴， ∴； 综上可得：； 【小问2详解】 解：当时，，当 时， ，当时，，依次描点再连接 该函数图象如图所示： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 （答案不唯一）； 【小问3详解】 解：从图象看，当时x的取值范围为：或． 24. 小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合． （1）已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度． （2）游玩途经东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了 元/斤，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼． 用， 表示小美购买酥饼的平均价格_________，小聪购买酥饼的平均价格_________； 小美和小聪谁的平均价格低？说明理由． 【答案】（1）地铁的平均速度为40千米/小时； （2）①（元/斤）；（元/斤）；②小聪的平均价格低 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，代数式的构建与比较大小，熟练掌握代数式构建是解题的关键； （1）根据题目，分别表示小美和小聪两次各购买酥饼的总价格和总数量，然后用总价格除以总数量，化简代数式即可； （2）计算出两人平均价格之差，根据平方的非负性，判断即可． 【小问1详解】 （1）设公交的平均速度为x千米/小时，则地铁的平均速度为千米/小时， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：地铁的平均速度为40千米/小时． 【小问2详解】 ①（元/斤） （元/斤） 故答案为：（元/斤）；（元/斤） ②小聪的平均价格低，理由如下： ， ， 小聪的平均价格低． 25. 在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，点B为线段 的中点．直线经过点E，且与x轴交于点，与y轴交于点D． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，连接，点P为直线上一点且在E点的右侧，线段在x轴上移动且 ，点G在点F的左侧，当 的面积为时，求的最大值； （3）如图3，将沿着射线 方向平移个单位长度，点A的对应点是M，点B的对应点是N，点K为直线上一点．在平面直角坐标系中是否存在点H，使得以M、N、K、H四点构成的四边形是以 为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先求出，，由点E为 的中点，得到，设 的解析式为，代入，即可求解； （2）过点 作 的平行线交 轴于点 ，连接 ，平行面积转化得到，进而求出点 的坐标，进而得到的解析式，联立直线和直线的解析式，求出 点坐标，将P点水平向左平移2个单位长度，得到点，连接，易得四边形为平行四边形，进而得到，故当三点共线时，取得最大值为：的长，进行求解即可； （3）设平移后点 的对应点为，，列出方程求出平移规则，进行求出 的坐标，根据以M、N、K、H四点构成的四边形是以 为边的菱形，得到必为等腰三角形，且 为腰，分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：中，当时， ；当时，． ∴，， ∵点E为 的中点， ∴， ∵， ∴设 的解析式为， ∴， 解得：， ∴的解析式为：； 【小问2详解】 过点 作 的平行线交 轴于点 ，连接 ，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立，解得： ∴， 将P点水平向左平移2个单位长度，得到点，连接，则：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最大值为：的长； ，， ， ∴的最大值为； 【小问3详解】 沿着射线 方向平移个单位长度， 设平移后点 的对应点为， ， ，即， 解得：（不符合题意，舍去），或 ， 点E向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ∵，，点A的对应点是M，点B的对应点是N， ，， ， ∵点 在直线上，设， 则：，， ∵以M、N、K、H四点构成的四边形是以 为边的菱形， ∴必为等腰三角形，且 为腰， ①当时，，解得：或， ∴ 的横坐标为：或， ∵，， ∴点向右平移个单位，再向下平移2个单位得到点 ， ∴点 向右平移个单位，再向下平移2个单位得到点 ， ∴ 的横坐标为：或； ②当时，则：，解得：， ∴ 的横坐标为：， 此时为菱形的对角线， ∴的中点与的中点重合， ∴ 的横坐标为：； 综上： 的横坐标为：或或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的计算，综合性强，难度大，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 26. 在等腰 中， ，点 是射线 上的一点． （1）如图1，若， ， 求 的长； （2）如图2，若 ，过点 作交 于点，点为边上的一点，且，过点 作交直线于点 ，求证：； （3）如图3，若 ， ，点是边 上的一点，且，点 是平面内任意一点，将 沿 翻折得到，点为直线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转 得到线段，若，当线段最短时求的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作 ，求得是等腰直角三角形，根据 ，，求出，根据含角直角三角形的性质，求出 的长，即可求解， （2）作，证明是正方形，由，，得到，，即可求解， （3）作 ，在射线上截取，作， 由 、 是等腰直角三角形，得到， ，，由，得知当 取最小值时，取得最小值，根据点到直线距离，垂线段最短，得知当点 与点 重合时， 取得最小值，由，得到，依次求出 、 、 、 的值代入，即可求解． 【小问1详解】 解：过点 作 ，交 于点 ， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 故答案为：， 【小问2详解】 解：过点 作，交于点 ， ∵ ， ，， ∴是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 【小问3详解】 解：过点 ，作 ，交于点 ，在射线上截取，连接 、、 ，过点作，交直线 于点 ， ∵ ，，， ， ∴ 、 是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可得，， ∴当 取最小值时，取得最小值， ∵当点 与点 重合时， 取得最小值， ∵ ， ， ， ∴，，， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，等腰直角三角形的性质与判定，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正方形的性质与判定，点到直线距离，垂线段最短，旋转的性质，折叠的性质，解题的关键是：连接辅助线，构造全等、相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学2024-2025学年度（下）初2026级期中 数学模拟试题（一） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，请将正确答案填写在答题卷对应表格内． 1. 以下传统窗户图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x=0 B. x=3 C. x≠0 D. x≠3 3. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直平分 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线平分一组对角 D. 平行四边形的对角线互相垂直 4. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. 如果是多项式的一个因式．则k的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 8 6. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形 中，于点 ，点为 中点，则 的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知四边形 和都是正方形，点在线段上，连接 、 ， 交于点 ．若，则 ( ) A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 9 10. 有依次排列的两个不为零的代数式，用除以，可以得到代数式；再用除以，可以得到…以此类推，那么以下结论中，正确的个数为（ ） ① ②若，则的值为2 ③对于任意正整数都成立 ④若的值为整数，则满足条件的正整数共有6个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上． 11. 如图，在矩形 中，已知，则 的度数为______°． 12. 因式分解___________． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________． 14. 已知一个菱形的边长为2，一条对角线长为，则这个菱形的面积是_______． 15. 若x2-x-1=0，则___． 16. 如图，在正方形 中，E为 上一点，，过点B作 于G，交 于F，H为 的中点，若，则 的长为___________． 17. 如图，在中，D，E分别为 ，上的点，将 沿折叠，得到 ，连接，， ，若，，，则 的长为__________． 18. 如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0．且前两位数字之和为6，后两位数字之和为9，则称M为“智数”，把“智数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数、规定．例如：是“智数”则．如果“智数”，则___________；已知是“智数”，（且a，b，c，d均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的S的最大值与最小值之和是___________． 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 解方程： （1） （2） 20. （1）解不等式组： （2）化简： 21. 近期重庆双福水果市场来了一批甘蔗之王——白玉族，其铁的含量特别多，居水果之首，故有“补血果”的美称．北关超市购进一批白玉蔗，交由甲，乙两名工人切割成节并包装、其中，甲工人加工了1200节，乙工人加工了2400节，现从甲、乙工人加工后的成品中各随机抽取20节进行称重（单位：克），将所抽取的每节甘蔗的重量进行整理和分析（每节甘蔗重量用x表示，共分成四组，A组：，B组：，C组：，D组：），并将称重数据绘制成了两幅统计图如下： 甲工人加工的C组甘蔗每节重量分别是：245，254，250，246，252 乙工人加工的B、C组甘蔗每节重量分别是： 236，237，238，240，242，244，248，248，248，248，250，252，252，254 【分析数据】：所抽取的甲、乙工人加工的甘蔗成品重量统计表 工人 平均数 中位数 众数 方差 甲 246 b 255 10.31 乙 246 248 c 9.67 【应用数据】： （1）直接写出______，______； （2）已知每节甘蔗越接近标准重量（246g），表示工人的切割技术越好．根据图表中的数据分析，甲、乙哪个工人的切割技术更好?请说明理由（写出一条理由即可）： （3）请估计经过甲、乙两名工人加工后的甘蔗成品中，重量在C组的节数． 22. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接 ，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线 ，交的延长线于点G，连接 ．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若 ，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 平分， ______． 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ______， ， ， ______． ， ______， 点E是的中点， ， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ， 四边形是矩形．（______） 23. 如图，在菱形 中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线 方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 24. 小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合． （1）已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度． （2）游玩途经东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼．两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了元/斤，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼． 用，表示小美购买酥饼的平均价格_________，小聪购买酥饼的平均价格_________； 小美和小聪谁的平均价格低？说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，点B为线段的中点．直线经过点E，且与x轴交于点，与y轴交于点D． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，连接，点P为直线上一点且在E点的右侧，线段在x轴上移动且 ，点G在点F的左侧，当 的面积为时，求的最大值； （3）如图3，将沿着射线 方向平移个单位长度，点A的对应点是M，点B的对应点是N，点K为直线上一点．在平面直角坐标系中是否存在点H，使得以M、N、K、H四点构成的四边形是以 为边的菱形，若存在，请直接写出点H的横坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在等腰中， ，点 是射线 上的一点． （1）如图1，若， ， 求 的长； （2）如图2，若 ，过点作交 于点，点为边上的一点，且，过点 作交直线于点 ，求证：； （3）如图3，若 ， ，点是边上的一点，且，点 是平面内任意一点，将 沿 翻折得到，点为直线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转 得到线段，若，当线段最短时求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $