精品解析：河北省沧州市青县清州镇实验中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

河北省沧州市青县清州镇实验中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＞ B. x≥ C. x≤ D. x≤5 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，垂足为D．若，，则 的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ） A. B. C. D. 2＋2 8. 如图，长方体中，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、 、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 10. 我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论： ①；②设有理数a，b满足，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②③④ 11. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，点H为的中点．连结并延长，分别交正方形各边于点M，N，P，Q，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 25 B. 26 C. 30 D. 39 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 已知有意义，如果关于 的方程没有实数根，那么 的取值范围是__． 14. 已知，则的值是_____． 15. 如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为________． 16. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数． 我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式： ①32＋42＝52， ②52＋122＝132， ③72＋242＝252， ④92＋402＝412， … 根据规律写出第⑥个等式为 ______________． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 19. 如图1，在和中，，，，，与 相交于点F． （1）求证：； （2）当时，如图2． ①求的长； ②连接交 于点G，求线段的长． 20. 在化简二次根式时，我们有时会碰上形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ． 以上这种化简的方法叫做分母有理化．我们还可以用以下方法化简： ． （1）请用以上两种不同的方法化简； （2）化简． 21. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 22. 【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当、时，与的大小关系”． 下面是小华的探究过程： ①具体运算，发现规律：当、时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当、时，． ③证明猜想： 当、时， ∵， ， ． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： （1）当时，的最小值为 _____； （2）当时，的最小值为 _____； （3）当时，求的最小值． 23. 先阅读材料，再回答问题： …… （1）请根据以上规律写出第七个等式； （2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； （3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 24. 综合与实践： 【发现问题】 教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】 ，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中A，， ，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】 要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“A，，三点不共线”或“A， ，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“A，，三点不共线”． 【解决问题】 ①甲：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小，…… ③丙：， ， ，…让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识，…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， …… 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明A，，三点不共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市青县清州镇实验中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x＞ B. x≥ C. x≤ D. x≤5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，5x﹣1≥0， 解得，x≥， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，同底数幂的乘法进行计算，即可作出判断． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，同底数幂的乘法．掌握相应的运算法则是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，完全平方公式的应用，二次根式的混合运算，根据合并同类项法则，完全平方公式，二次根式的乘法运算法则计算并一一判断即可． 【详解】解：．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．3和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：A：，括号里面的被开方数不同，不能相加；故A错误，不符合题意； B：=；应该用前面一个括号的每一项分别乘以后面一个括号的每一项；故B错误，不符合题意； C：，用平方差公式进行计算即可；故C正确，符合题意； D：，用平方差公式进行计算即可，故D错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则和运算顺序以及平方差公式和完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方． 6. 如图，在中，，，垂足为D．若，，则 的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得 的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ） A. B. C. D. 2＋2 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值． 【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P， ∵∠ABC=90°，， ∴， ∴， ∵AD=2， ∴DP=1， ∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC， ∴△ADP∽△ABC， ∴， ∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC， ∴∠DAB=∠PAC，， ∴△ADB∽△APC， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD<DC， ∴， 当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键． 8. 如图，长方体中，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，不等式的性质，设，由题意得，由勾股定理可得，则，再由即可求出答案． 【详解】解：设， 由题意：，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中， ，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，则，连接、 交于点M，连接、，证明，得出，证明，得出，连接 ，交于点N，同理可得：，得出，求出，，从而得出，，延长作于点P，作于点Q，证明，得出，证明，，，求出，最后求出即可． 【详解】解：设，，，则， 连接、 交于点M，连接、，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，，，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 连接 ，交于点N， 同理可得：， ∴， ∴，， ，， ∴， 即， ∴， 即， 得：， 解得：， 得：， 即， 解方程组：， 解得：， ∴， ∵a、b、c为正数， ∴，， 延长作于点P，作于点Q，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 同理：，， ， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理． 10. 我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． 利用有理化因式，可以得到如下结论： ①；②设有理数a，b满足，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【详解】解：①，故正确； ②， ∴，故错误； ③， ， ∵， ∴，故正确； ④∵，而， ∴，故错误； ⑤ ，故正确； 正确的有①③⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 11. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形 与四边形都是正方形，点H为 的中点．连结并延长，分别交正方形 各边于点M，N，P，Q，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，连接并延长交于T，推出四边形是平行四边形，得到，求得，过P作于L，根据勾股定理得到，于是得到的长 【详解】解：∵四边形都是正方形，， ∴, ∵点H为 的中点， ∵四个直角三角形全等， ∴， 连接并延长交于T， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 过P作于L， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴或（不合题意舍去） ∴， ∴的长， 故选：C． 12. 如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 25 B. 26 C. 30 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】正中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案． 【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形， 由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：（个）； 较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：（个）； 平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：（个）； 小正三角形个数为13个； ∴一共有小正三角形个数为：（个）， ∴图中阴影部分面积为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__． 【答案】． 【解析】 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 14. 已知，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，下左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（）”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若，，，则点C到水平线l的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交l于点H，连接，证明，进而得到，再利用三角函数解和即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交l于点H，连接， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 16. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互质的奇数，则a，b，c为勾股数． 我们令n＝1，得到下列顺序排列的等式： ①32＋42＝52， ②52＋122＝132， ③72＋242＝252， ④92＋402＝412， … 根据规律写出第⑥个等式为 ______________． 【答案】132＋842＝852 【解析】 【分析】通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑥个等式． 【详解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1， ∴第一个数的底数是2n＋1，指数是2， ∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4， ∴第二个数的底数是2n2＋2n，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2， ∴第⑥个等式为132＋842＝852， 故答案为：132＋842＝852. 【点睛】本题主要考查了整式的数字规律，解题的关键在于能够根据题意得到每一组数据的规律. 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）利用二次根式的运算法则计算即可； （2）利用二次根式的运算法则及完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理； （2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】解：（1）， 即 则； （2） 设 依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． 19. 如图1，在和中，，，，， 与 相交于点F． （1）求证：； （2）当时，如图2． ①求的长； ②连接交 于点G，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出， 进而证明是解题的关键. （1）先得到，证明，即可得到，再证明，得到，即可解题； （2）①先得到四边形是矩形，即可证明，得到 根据勾股定理求出长解题即可 ②由矩形的性质证明 ，得到，求出长解题即可． 【小问1详解】 证明： 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 且， ∴. 【小问2详解】 解：①由（1）得， ， ∴ ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴的长是 ②∵四边形是矩形， 与 相交于点， ， ， ， ， ， ， ∴线段的长是． 20. 在化简二次根式时，我们有时会碰上形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ． 以上这种化简的方法叫做分母有理化．我们还可以用以下方法化简： ． （1）请用以上两种不同的方法化简； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法化简即可； （2）原式根据阅读材料中的方法化简即可． 【详解】解：（1）， ． （2）原式 ． 【点睛】此题考查了分母有理化，弄清材料中的分母有理化方法是解本题的关键． 21. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 【答案】（1）梯子的长为 （2）梯子的底端向外移动的距离为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯长不变，利用勾股定理求出梯子下滑后，底端到点的距离，再减去的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：； 答：梯子的长为； 【小问2详解】 如图，由题意，得：，， 在中，， ∴梯子的底端向外移动的距离为：； 答：梯子的底端向外移动的距离为． 22. 【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当、时，与的大小关系”． 下面是小华的探究过程： ①具体运算，发现规律：当、时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当、时，． ③证明猜想： 当、时， ∵， ， ． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： （1）当时，的最小值为 _____； （2）当时，的最小值为 _____； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值． 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值． ∴， ∴， ∴的最小值为． 23. 先阅读材料，再回答问题： …… （1）请根据以上规律写出第七个等式； （2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； （3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； 【小问3详解】 解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 24. 综合与实践： 【发现问题】 教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】 ，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中A， ，，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】 要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“A， ，三点不共线”或“A，，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“A， ，三点不共线”． 【解决问题】 ①甲：若A， ，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若A， ，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小，…… ③丙： ，，，…让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识，…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， …… 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明A， ，三点不共线． 【答案】 证明：若选择乙，证明如下： 如图， 由图2可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A、H、C三点不共线； 若选择丙，证明如下： 如图， 由图可知：，， ∴， ∴与不相似， 同理可得与不相似， ∴， ∴， ∴点A、H、C三点不共线； 若选择丁，证明如下： 如图， 假设点H在直线 上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 与假设矛盾， ∴点A、H、C三点不共线． 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键；若选择乙，则可根据三角函数进行求证；若选择丙，则可根据相似三角形的性质与判定进行求证；若选择丁，则可假设点H在 上，然后通过三角函数得出假设不成立，进而问题可求证． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $