精品解析：江苏省南通市、镇江市2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试卷

2024~2025学年（下）期中质量监测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 已知，则（ ） A B. C. D. 7. 已知，向量，则下列可能成立的是（ ） A B. C. D. 8. 密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则向量夹角为锐角 B. 若，则 C. 若，则与的夹角是 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，三边长分别为4，6，8，则为______________三角形．（选填“锐角”、“直角”、“钝角”） 13. 使得成立的的一个值为______________． 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求值； （2）若，求实数m值． 16. 已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若的平分线交于点D，求． 18. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年（下）期中质量监测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和差正弦公式化简求得结果. 【详解】. 故选：. 【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求值的问题，属于基础题. 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由三角形内角和定理求出角，再利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，∵，， ∴由三角形内角和定理可知：. 在中，由正弦定理可知：. 故选：C. 3. 已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由已知条件求出和的坐标，根据和是相反向量即可求解. 【详解】设，∵， ∴，. ∵和是相反向量， ∴，即，解得. 故选：A. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果. 【详解】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则. 故选：B 5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式得，化简得到，代入即可求解. 【详解】因为， 即，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知，向量，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合两角差的正弦、余弦公式计算，从而判断出答案. 【详解】对于A， ， 因为，所以， ，则，则， 故A错误； 对于B，因为， 因为，所以， 则，所以不成立，故B错误； 对于C，因为， 因为，所以， 所以，则有可能， 所以可能成立，故C正确； 对于D， ， 因为，所以， 所以， 则， 所以， ，， 则，所以，故D错误. 故选：C. 8. 密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在图2中连接，在和中，分别利用余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，两式平方相加，由两角差的余弦公式，即可求出的余弦值. 【详解】如图，连接， 因为， 在中，由余弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 即，① 因为， ， 所以，② 则①式和②式分别平方并相加得： ， 则，所以， 即的余弦值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则向量夹角为锐角 B. 若，则 C. 若，则与的夹角是 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，因为时，向量的夹角为锐角或零度角，即可判断；对于B，由与表示同向的单位向量，即可判断；对于C，利用向量的线性运算知识结合图形，即可判断；对于D，由，设，代入等式两边利用运算法则运算，即可判断. 【详解】向量是非零向量， 对于A，因为，即， 所以向量夹角为锐角或零度角，故A错误； 对于B，因为，所以与方向相同， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，故B正确； 对于C，设，，由向量线性运算知： ，，如下图所示： 因为， 所以与均为等边三角形，， 又四边形为菱形，所以， 即与的夹角为，故C正确； 对于D，因为，设， 则，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【详解】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 则或，即或， 因为三角形为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 且，则， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，， 则， 令， 由可得，则， 所以，故， 且， 所以， 当时，取得最大值， 当或时，最小值， 所以，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，三边长分别为4，6，8，则为______________三角形．（选填“锐角”、“直角”、“钝角”） 【答案】钝角 【解析】 【分析】设边长为8的边对应的角为，利用余弦定理可判断. 【详解】设边长为8的边对应的角为， 由余弦定理可得， 所以为钝角，因此，三角形为钝角三角形， 故答案为：钝角. 13. 使得成立的的一个值为______________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据题中条件将式子变形为，分子、分母同时除以将弦化切，然后利用及两角和的正切公式、诱导公式即可求解. 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】观察图形可知，三点共线，且， 因为， 且， 则， 所以，即； 由正六边形的性质可得 ， 所以 . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． 15. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标运算可得的值，然后代入计算，即可得到结果； （2）先表示出的坐标，再由向量平行的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，即，解得，所以， 则， 所以. 【小问2详解】 因为， 由可得，解得. 16. 已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，利用两角差的正弦公式即可求得； （2）由（1）解出，由均为锐角以及的取值情况，解出的取值范围，即可求得的值. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 则，又，所以，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为，，，所以， 由（1）知，所以， 则，所以. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若的平分线交于点D，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）先由余弦定理可得的值，再由等面积法结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， ， 即，且， 则，，则. 【小问2详解】 由可得， 由正弦定理可得， 即，解得，则， 且为角角平分线， ，即， 化简可得，解得. 18. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由代入计算，即可得到结果； （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （3）将不等式化简，然后换元可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 由可得， 且为锐角，则，即，则， 即， 所以 . 【小问2详解】 因为，且，则， 则，解得， 由为三角形的中线，则， 即， 即，化简可得①， 由余弦定理可得， 化简可得②， ①②可得，即， 则. 【小问3详解】 ， 由可得，则， 由不等式在上恒成立， 可得在上恒成立， 且 ， 令，则， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即， 则实数m的取值范围是. 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在锐角中，由正弦定理求出，利用同角三角函数的平方关系求出.利用三角形垂心性质可得，结合三角形诱导公式即可求解； （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知.故要使取得最小值，只需最小.分析可知当三点共线最小，即可求解. （3）由向量减法运算可知，由圆的性质可知，，从而.由（1）可求，可求解.在锐角中，由二倍角公式、三角形内角和定理、诱导公式及正弦定理可解.由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可求得，同理可求，，本题即可求解. 【小问1详解】 在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. 【小问2详解】 设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. 【小问3详解】 由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得 ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 【点睛】本题的解题关键是利用点H是的垂心找到角与内角的关系，用诱导公式和正弦定理即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $