精品解析：江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省启东中学2023-2024学年度高一第二学期期中考试（数学） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数z虚部（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 2. 下列命题中正确的（ ） A. 任意两个复数都不能比较大小 B. 若R，则当且仅当且时， C. 若，C，且，则 D. 若C则 【答案】B 【解析】 【分析】当两个复数都是实数时能比较大小，据此判断A；由复数相等的定义可判断B；用特殊值可判断C、D. 【详解】对于A，当两个复数均为实数时，这两个复数能比较大小，A错误； 对于B，若R, R则当时，， 反之，若R, R，则由复数相等的定义知，必有成立， 故若R, R，则当且仅当且时，，B正确； 对于C，令，则，此时不满足，C错误； 若C，不妨令，，满足等式，此时不成立，故D错误． 故选:B 3. 在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（ ） A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个平面 D. 一个球面 【答案】B 【解析】 【分析】结合线面垂直的性质即可分析. 【详解】过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线. 故选：B 4. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 【答案】B 【解析】 【分析】把条件转化为，再根据向量的运算法则逐步计算即可求解. 【详解】由条件得，则， 所以， 所以， 则，即， 所以，则， 所以向量与的夹角为． 故选：． 5. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单．如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的高度AB约为（取）（ ） A. 32.75米 B. 33.68米 C. 33.94米 D. 34.12米 【答案】C 【解析】 【分析】设米，由锐角三角函数得到，再在中由正弦定理计算可得. 【详解】设米，则， 由，，得， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. 故选：C 6. 已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由的三边上对应的高的长度分别为3，4，6，利用等面积法得到三边的关系，再利用余弦定理求解. 【详解】由题意，不妨设的三边上对应的高的长度分别为3，4，6， 由三角形的面积公式可得：， 解得：， 设， 则， 可得c为三角形最小边，C为三角形的最小内角， 由余弦定理得： 故选：D. 7. 在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】由题中等式以及正弦定理进行角化边运算可得边的关系，由余弦定理可求出，结合角平分线由三角形面积公式建立等量关系，结合均值不等式可得出最小值. 【详解】由及正弦定理知，，． 在中，由余弦定理知，，，． ，， 即，得， ， 当且仅当且，即时，等号成立，. 故选：B 8. 如图，已知长方体中，，，为正方形中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与的夹角，可得绕直线旋转的轨迹为圆锥，求直线与的夹角，结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，利用三角函数知识求解即可. 【详解】在长方体中，，则直线与的夹角等于直线与的夹角． 长方体中，，，为正方形的中心点， 则，又， 所以是等边三角形，故直线与的夹角为． 则绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，． 因为直线与所成的角为，，所以直线与的夹角为． 在平面中，作，，使得． 结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为， 易知． 设直线与的夹角为，则，故当时最小， 而 ， 故直线与的夹角的正弦值的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解题中在平面中，作，，使得，结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为是关键. 二、多选题：本题共3小题，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对AD：采用特殊值，结合复数运算即可判断；对B：设出，根据复数的运算法则和共轭复数的定义，计算后即可判断；对C：设出，再根据复数的除法运算和模长计算公式，即可判断. 【详解】对A：取，则，，显然，故A错误； 对B：设，，则，故B正确； 对C：设，，， 则，，，故C正确； 对D：取，，则，，，，而，故D错误. 故选：BC. 10. 下面四个命题中，正确的为（ ） A. 相交于同一点的三条直线在同一平面内． B. 在平面外，其三边延长线分别和交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线 C. 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D. 在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分． 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；求出三个平面分空间所成部分数的最大值判断D作答. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，A错误； 对于B， 所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，C错误； 对于D，当三个平面互相平行时，三个平面分空间成4部分；当两个平面平行，与第三个都相交 或三个平面相交于一条直线时，三个平面分空间成6部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线平行时， 三个平面分空间成7部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线交于一点时，三个平面分空间成8部分， 所以三个平面最多把空间分成8部分，D正确. 故选：BD 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设的重心为，由题意可知，三点共线，，化简判断A；对于B，，，结合，判断B；对于C，D，借助向量表示得，化简，判断C，D. 【详解】 对于A选项，设的重心为，由题意可知，三点共线， 所以存在使得， 因为且， 所以，化简得，故A正确； 对于B选项，，， 又因为，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，D，因，所以，即， 又因为， ， ， 所以， 所以，故D正确，C错误， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于C，D选项，利用空间向量，得，即，根据数量积即可得到答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线，平面α，则与的位置关系是________． 【答案】或 【解析】 【分析】由线面平行的性质判断即可． 【详解】如图： 与的位置关系为：或， 故答案为：或 13. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】两边平方得，利用投影向量的公式求出答案. 【详解】两边平方得，， 即， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 14. 四边形中，与交于点P，已知，且P是的中点，，又，则四边形的面积是______________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据向量线性运算利用表示，结合数量积的运算律求出，根据三角形面积公式可求结论. 【详解】设，，则， 因为P是的中点，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为， 所以，， 所以①，②， ①②可得，，代入①可得， 因为，所以， 又，所以， 因为，， 所以，所以，， 所以，,又， 所以， 设的边上的高为，的边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于引入基底，，利用基底表示，利用向量知识求出. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算求解即可； （2）利用三角恒等变换化简求解即可； （3）根据以4为周期，4项合并求和即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 ， ， 故 16. 在三棱锥中，两两垂直，则P在平面内的射影O是的什么心？并证明你的结论． 【答案】点O垂心，证明见解析 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定与性质结合垂心的定义推理即可. 【详解】如图，连接，并延长交于点D，连接，并延长交于点 因为，，，平面， 所以平面 又平面，所以 因为平面，平面，所以 又，平面所以平面， 因为平面，所以，即 同理，，，根据三角形垂心定义可知O是的垂心． 17. 已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）由，得，由正弦定理和面积公式得，利用为锐角，得角的范围，由正弦函数的性质，得面积的取值范围. 【小问1详解】 ， 由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 已知，由，得， 由正弦定理，得， ， 由是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）9 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则， 所以， ， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是9． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到. 19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题： 如图，在凸四边形中， （1）若，，(图1)，求线段长度的最大值； （2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）；，（其中） 【解析】 【分析】根据“任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立”表示出边长的关系即可求出； 连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积． 【小问1详解】 设，则， 由材料可知，， 即，解得， 当且仅当四点共圆时等号成立即,且此时, 所以线段长度的最大值为， 【小问2详解】 由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，分别在和利用余弦定理， 可得， 解得，， 所以 记，则上式， 于是四边形的面积为： . 【点睛】思路点睛：多边形问题可分割为若干三角形，利用余弦定理及角的关系消元化简即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省启东中学2023-2024学年度高一第二学期期中考试（数学） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数z的虚部（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列命题中正确的（ ） A. 任意两个复数都不能比较大小 B. 若R，则当且仅当且时， C. 若，C，且，则 D. 若C则 3. 在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（ ） A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个平面 D. 一个球面 4. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 5. 普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单．如图，某测量小组为测量该塔总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的高度AB约为（取）（ ） A. 32.75米 B. 33.68米 C. 33.94米 D. 34.12米 6. 已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别是角所对的边，的平分线交于点，，则的最小值为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 8. 如图，已知长方体中，，，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转．若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 10. 下面四个命题中，正确的为（ ） A. 相交于同一点的三条直线在同一平面内． B. 在平面外，其三边延长线分别和交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线 C. 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D. 在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分． 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线，平面α，则与的位置关系是________． 13. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______________． 14. 四边形中，与交于点P，已知，且P是的中点，，又，则四边形的面积是______________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式 （1） （2） （3） 16. 在三棱锥中，两两垂直，则P在平面内的射影O是的什么心？并证明你的结论． 17. 已知，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，，求面积的取值范围． 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求最小值. 19. 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题： 如图，凸四边形中， （1）若，，(图1)，求线段长度的最大值； （2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$