专题09 立体几何初步（5大考点50题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学下学期苏教版

专题09 立体几何初步（5大考点50题） 5大高频考点概览 考点01基本立体图形 考点02直线与平面的位置关系 考点03平面与平面的位置关系 考点04 空间图形的表面积 考点05 空间图形的体积 地 城 考点01 基本立体图形 一、单选题 1．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】由原图与直观图的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】原图为正方形，在其直观图中平行于轴的边长长度不变，仍为2， 平行于轴的边长长度减半，即变为1， 故直观图是边长分别为的平行四边形， 则直观图的周长为. 故选：D 2．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图形和直观图的关系，即可求解. 【详解】画出原平面图形， 根据平面图形和直观图的关系可知，， 则，则，， 所以这个平面图形的面积为. 故选：C 3．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)用斜二测法画水平放置的边长为的正三角形，所得直观图的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直观图，求出直观图三角形的高，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示， 在等边三角形中，为的中点，则，且， 在其斜二测直观图中，，则点到的距离为， 所以的直观图面积为. 故选：A. 4．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出直观图的面积，进而根据直观图与原图的关系，即可得出答案. 【详解】由已知可得，在中，有且，， 所以有， 所以， 所以，的面积为. 根据直观图与原图的关系可知， 的面积为. 故选：D. 5．(24-25高一下·江苏盐城中学·期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【分析】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【详解】         图1               图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 二、多选题 6．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)下列结论正确的是（   ） A．半圆绕其直径旋转一周后形成的几何体为球 B．棱柱至少有5个面 C．任意面体都可以分割成个棱锥 D．棱，，延长后交于一点的多面体一定是三棱台 【答案】ABC 【分析】A根据球的定义可判断；B以三棱柱为例；C在其内部任取一点即可以为顶点以面体的个面为底面构成三棱锥；D用不与底面平行的平面截三棱锥即可. 【详解】A，根据球的定义可知A正确； B，面最少的棱柱为三棱柱，其共有5个平面，故B正确； C，任意面体，在其内部任取一点，则以点为顶点，以面体的个面为底面即可构成个棱锥，故C正确； D，用一个平面去截三棱锥，要求该平面与侧棱均相交，但不与底面平行，所形成的多面体不是三棱台，故D错误. 故选：ABC 7．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（   ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解. 【详解】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 三、填空题 8．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且＝2，则原平面图形的面积为______. 【答案】8 【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴原平面图形的面积为. 故答案为：. 9．(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学·期中)已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为______. 【答案】 【分析】运用斜二测画法画出原图，进而求出四边形面积即可． 【详解】如图，运用斜二测画法画出原图. 在轴位置不变，，点在轴上，由得， 则，且，． 则四边形为平行四边形，面积为：． 故答案为：． 地 城 考点02 直线与平面的位置关系 一、单选题 10．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（   ） A．如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B．如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C．如果，，m、n共面，那么 D．如果，那么m平行于经过n的任何平面 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案. 【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误； 对于B，如图1，可能是，故B错误；    对于C，设m、n共面于平面，由，可得, 由，则根据线面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误． 故选：C. 11．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】C 【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 12．(24-25高一下·江苏无锡青山高级中学·期中)已知平面，直线，，如果，且，那么与的位置关系是（   ） A．相交 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的位置关系判断即可. 【详解】如果，且，那么或. 故选：B 13．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)下列命题中正确的是（   ） A．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 B．如果直线和平面满足，那么 C．如果直线和平面满足，那么 D．，，那么 【答案】D 【分析】在正方体中取满足条件的线面，举反例排除ABC，对于D，由线面平行判定定理证明，再根据线面平行性质定理证明，由此判断D. 【详解】对于A，在正方体中，设直线为直线，平面为平面， 则，但直线与直线异面，A错误；    对于B，在正方体中，设直线为直线，设直线为直线， 平面为平面， 则，，但直线与直线相交，B错误；    对于C，在正方体中，设直线为直线，设直线为直线， 平面为平面， 则，，但，C错误；    对于D，因为，，， 所以，又，， 所以，又， 所以，    故选：D. 二、多选题 14．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)若直线不平行于平面，则下列结论错误的是（    ） A．内的直线都与相交 B．内的所有直线都与异面 C．直线与平面有公共点 D．内不存在与平行的直线 【答案】ABD 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】若直线不平行于平面，根据直线与平面的位置关系，可得直线在平面内或直线与平面相交，结合选项，可得A、B、D均不正确. 故选：ABD. 三、填空题 15．(24-25高二下·江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟·期中)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 四、解答题 16．(24-25高一下·江苏无锡北级中学·期中)如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 17．(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校·期中)如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理即可证明. 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 18．(24-25高一下·江苏无锡新吴区梅村高级中学·期中)如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由为中位线知，即可证明线面平行. （2）证明平面SDC，再利用线面平行的性质证明. （3）建立空间直角坐标系，设从而写出E点的坐标，求出平面PAC的法向量，若平面PAC则，列方程求出即可. 【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. （2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面， 所以. （3）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， ， 设，则，即， 易得， 设为平面PAC的一个法向量，， ，令，得， 可得， 若平面PAC，则，即，解得， 所以当时，平面PAC. 地 城 考点03 平面与平面的位置关系 一、单选题-考点3：平面与平面的位置关系 19．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据已知条件判断线线、线面、面面位置关系，可判断ABC选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，则或、异面，B错； 对于C选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），C错； 对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，则，D对. 故选：D. 20．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线面平行可判断A；根据线面垂直可判断B，根据面面平行可判断CD. 【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误； 对于B，如图，设，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，且，， 且，， 所以，.又， 则，.又，所以，故B正确；    对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误. 故选：B 二、解答题 21．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 22．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图在四棱锥中，，分别是的中点，． (1)求证：平面； (2)若点F在棱上且满足，平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行； （2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，所以在中，. 又因为平面，平面，所以平面     又因为，是的中点，是的中点，根据梯形中位线性质，得到， 又因为平面，平面，所以平面. 并且，平面，则平面平面，且平面， 所以平面. （2）连接交于点，连接. 因为，所以.由， 根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得. 因为平面，平面，平面平面， 根据直线与平面平行的性质所以. 所以在中，. 因为，则. 又因为，即，所以.   23．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥中，底面，平面平面. (1)求证：； (2)若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，利用面面垂直的性质可得出平面，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）①由（1）知为与平面所成角，计算出的长，即可求出的正切值，即为所求； ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，推导出平面，设，求出，利用勾股定理可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值，求出、的值，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出其正切值即可. 【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）得平面， 所以为在平面的射影，为与平面所成角， 在中，， 在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，、平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 设，，且，则，所以，， 所以，，， 因为平面，平面，所以，， 因为为的中点，则，所以，， 所以，， 所以，， 在直角中，，其中， 因为二次函数在上单调递增， 当时，，即，     因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，故二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，即为的中点，所以，， ，故二面角的正切值为. 24．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取N为线段的中点，连接，根据已知可得出.进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面平面.即可根据面面平行的性质定理，得出证明； （2）根据已知可得出平面，根据（1）结合面面平行的性质定理即可得出证明. 【详解】（1）如图，取N为线段的中点，连接 因为N为线段的中点， 所以. 又， 所以，四边形为平行四边形，. 因为平面，平面， 所以有平面. 又点E为棱的中点， 所以有. 因为平面，平面， 所以有平面. 又，平面，平面， 所以平面平面. 又平面， 所以有平面. （2）平面 由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面. 因为M为上的动点，平面， 所以，平面， 所以，平面. 25．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 26．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在正三棱柱中，分别为中点． 求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）由题设先证明得，再由正三棱柱的结构有平面平面且，应用面面、线面垂直的性质得，最后由线面垂直的判定证明结论. 【详解】（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点， 又分别为中点，则， 由平面，平面，则平面； （2）由分别为中点，则， 在正三棱柱中且，则， 所以，则， 由为正三角形，为中点，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由且都在平面内，则平面. 27．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.    (1)求证：； (2)若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）①根据（1）的结合，结合线面角的定义，即可求解； ②首先利用面面平行的性质定理，构造平面，设，通过几何关系表示，即可求解线段长度的最小值. 【详解】（1）证明：作 因为平面平面PBC，平面平面平面PAC 所以平面PBC 因为平面PBC 所以 因为平面平面ABC，所以    因为平面PAC 所以平面PAC， 又平面PAC，所以 （2）①由（1）得平面PAC 所以为在平面的射影，为与平面所成角 在中，， 在直角中， 所以与平面所成角的正切值为 ②过作的垂线，垂足为，过作，交于 因为平面平面，所以 又因为平面 所以 因为平面平面PAC，所以平面PAC 同理平面 因为平面FQN，所以平面平面 因为平面，所以平面 设 所以 在直角中， 当时，    28．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解； （2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值. 【详解】（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦直线为. 地 城 考点04 空间图形的表面积 一、单选题 29．(24-25高一下·江苏南通海安·期中)已知圆锥的高为1，母线长为2，则底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得圆锥的底面半径即可求解. 【详解】圆锥的底面半径为， 所以底面圆的周长为， 故选：D. 30．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解. 【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为， 则石磨的侧面积为，解得. 故选：B. 31．(23-24高一下·江苏如皋·调研)如图，圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用圆台的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，圆台的母线长，而，因此， 所以. 故选：A 32．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中)已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据题意，列出方程，求得，进而求得圆锥的高，得到答案. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形， 可得，解得，所以圆锥的高为. 故选：B. 33．(24-25高一下·江苏锡东高级中学·期中)已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 34．(23-24高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 二、多选题 35．(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在正四棱锥中，，E，F，G分别是AB，BC，PB的中点，则（   ） A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．四棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】由已知中点，即可得出，，判断A项；进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出B项；根据面面平行的性质可知，点到平面的距离等于点到平面的距离.进而求出四棱锥的体积，即可根据等体积法得出的体积，即可判断C项；由已知可知，点即为四棱锥外接球的球心，求出半径，根据圆的表面积公式求解即可判断D项. 【详解】对于A项，由已知E，F，G分别是AB，BC，PB的中点， 所以有，.故A正确； 对于B项，由A知， 平面，平面， 所以，平面. 平面，平面， 所以，平面. 又，平面，平面， 所以有平面平面.故B正确； 对于C项，如图，设，， 则平面，且. 由B知平面平面， 所以，点到平面的距离等于点到平面的距离. 即. 连接， 因为，所以， 根据正四棱锥的性质可知平面. 又平面， 所以，. 又， 所以，. 所以，.故C错误； 对于D项，由C知，，，， 所以有， 所以，点即为四棱锥外接球的球心，半径， 表面积为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 36．(24-25高一下·江苏无锡青山高级中学·期中)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为______. 【答案】/ 【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是球的直径，求出球的表面积和正方体的表面积，即可得解. 【详解】正方体的体对角线就是球的直径，设正方体棱长为，则正方体的体对角线长为， 则正方体的外接球的半径为，则球的表面积为：， 而正方体的表面积为：，所以球的表面积与这个正方体的表面积之比为. 故答案为： 四、解答题 37．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，15分钟后到达N点．在M点时测得A点位于北偏西方向上，B点位于北偏西方向上；在N点时测得A点位于北偏东方向上，B点位于北偏东方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为．设A点在地表水平面上的正投影为，B点在地表水平面上的正投影为，，，M，N在地表水平面上的分布如图2所示． (1)该山的高度为多少千米？ (2)已知该山的下底面圆的半径为km，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度； （2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可. 【详解】（1）由题意可知， ∴，在中，由正弦定理，， 所以，即， 又∵N点观测A时仰角的正切值为，， 所以该山的高度为千米． （2）设的外接圆为圆O，∵，， 又由题意可知，所以， 所以， 所以， 所以根据圆的性质，，，M，N四点共圆， 在中，由正弦定理圆O直径为， 在中，由正弦定理， 延长与圆台交于C点，由题意下底面圆半径为km， 圆台的母线长BC可在直角中由勾股定理得： ． 圆台的侧面积， 圆台的上底面面积， 所以侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米． 地 城 考点05 空间图形的体积 一、单选题 38．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ）    A．9π B．10π C．12π D．14π 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为，由于为定值，所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值，从而可求出，进而可求出其侧面积. 【详解】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为， 因为为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径， 所以， 所以当点到平面的距离最大时三棱锥的体积取得最大值， 所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值， 所以，解得， 所以该圆柱的侧面积为. 故选：C 39．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)在等腰梯形中，已知，，将沿直线翻折成，则当三棱锥的体积最大时，以为直径的球被平面所截的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明，当平面平面时，三棱锥的体积最大，由面面垂直的性质得到平面，求出截面圆的半径，即可得解. 【详解】依题意，所以梯形的高， 所以，则，又， 所以，即， 当平面平面时，三棱锥的体积最大， 又平面平面，平面，所以平面. 的中点为球心，取的中点，则为的中位线， 所以，平面. 以为直径的球被平面所截的截面为圆面， 由以上分析可知点为该圆的圆心，其半径， 该圆面面积为. 故选：B 二、多选题 40．(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 41．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．取得最小值 C．当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时， D．对任意点，平面平面 【答案】ABD 【分析】A.作出平面截正方体所得的截面，即可说明；B.展开成平面，利用三点共线，即可求解；C.利用补体的方法求外接球半径，即可判断；D.证明平面，即可判断. 【详解】A.设是的中点，连结，设是的中点，连结，， 因为，且，所以四边形是平行四边形，所以， 且，，所以，且，所以四边形是平行四边形， 而正方体的棱长为2，且分别是的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故A正确； B.如图，将和展开成一个平面，当三点共线时，最短， ，， 所以，故B正确； C.如图，过点作平面，四面体和四棱柱是同一个外接球， 当时，，得，外接球的体积，故C错误； D.如图，，且，，平面， 则平面，平面，所以，同理， 且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ABD 42．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（   ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点E爬行到点S，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，故D正确. 故选：ACD 43．(24-25高一下·江苏南通如皋·调研)在棱长为2的正方体中，是上的动点（包含两端点），则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使与平面相交 B． C．与平面所成角的正弦最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】证明平面平面，即可得平面判断A；应用线面垂直的性质和判断证明平面判断B；根据线面角的定义及平面，到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值为，确定最小值判断C；将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D. 【详解】由正方体知，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 所以平面平面，平面，则平面，A错； 由平面，平面，则，又， 由且都在平面内，则平面，平面， 所以，同理可证，而且都在平面内， 所以平面，平面，则，B对； 由上平面，而到平面的距离， 而，则到平面的距离， 所以与平面所成角的正弦值为， 要使正弦值最大，只需最小，当时，有最小， 所以最小正弦值为，C对； 将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示， 当且仅当共线时，最小， 而，，故，D对. 故选：BCD 44．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在棱长为2的正方体中，点M 为线段上的动点，动点P在平面中，则下列说法中正确的是（    ）    A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．当四面体的顶点在一个体积为的球面上时， C．当时，取得最小值 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】A根据平面的基本性质画出截面，结合正方体的结构特征判断；B根据已知确定球心的位置并求得球体半径为3，再由几何关系判断的位置判断；C将面展开与面在同一平面上，利用平面上两点距离最短判断；D画出示意图，找到关于面对称的点在线段上，进而确定最小时对称点的位置，即可判断. 【详解】A：延长交于，连接并延长交于，连接交于， 连接，则平面截正方体的截面为，根据作图易知， 所以有，为线段中点，则为线段中点， 结合平面的基本性质及正方体的结构特征知且，则为平行四边形，对；    B：由外接球的球心必在正方体上下底面中心连线上，如下图示，    所以球体半径为，则，得， 则到下底面距离，又在线段上运动， 所以在下底面上方，则，显然不存在这样的点，错； C：将面展开与面在同一平面上，如下图，    当为与的交点时，最小 ，对； D：如下图，线段关于面的对称线段为，它们的交点为， 则在平面中， 且， 则关于面对称的点在线段上， 若对称点为，连接，则， 若与的夹角为，则，所以， 若，则，此时不在线段上，不符； 所以，即最小为，错.    故选：AC 三、填空题 45．(24-25高一下·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知正四棱台的体积为14，若，，则该正四棱合的高为______． 【答案】/1.5 【分析】根据棱台体积公式求解即可. 【详解】设正四棱台的高为， 则其体积为，解得. 故答案为：##. 46．(24-25高一下·江苏天一中学·期中)矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________. 【答案】 【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案. 【详解】 设中点为， 根据矩形的性质，可知， 所以，点即为四面体外接球的球心. 又， 所以，四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 故答案为：. 47．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________． 【答案】 【分析】取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，根据题中信息求出圆台上、下底面半径，结合台体体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为， 取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形， 过点、在平面内作，，垂足分别为、， 由题意可知，，则、都为等腰直角三角形， 故，，则，， 在平面内，因为，，， 则四边形为矩形，故， 由题意可知，梯形的周长为， 即，解得， 故， 因此，该圆台的体积为. 故答案为：. 四、解答题 48．(24-25高一下·江苏锡山高级中学·期中)如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 49．(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 【答案】(1)该几何体的体积为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由条件可得该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，结合圆柱体积公式求结论； （2）证明，由线面平行的判定定理可得； （3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，由此可得为的中点，再利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）因为几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， 所以该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的， 所以该几何体的体积为， （2）连接， 因为P是上的中点，则，是中点， 又Q是AC的中点，所以， 平面，平面， 所以平面； （3）连接， 因为平面平面， 设平面平面，又平面平面， 则，因为是的中点， 所以为的中点，为的中点， 因为平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又， 所以， 因为，， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 50．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期中)如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，直线平面. (1)求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围. 【答案】(1)2; (2); (3). 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的性质定理得到，再由线段成比例可得； （2）取的中点，的中点，连接，，，由面面垂直的性质定理得到平面，然后由三角形的面积公式和棱锥的体积公式可得； （3）先由线面垂直的性质定理和判定定理得到，设，得到，再过作交于，连接，得到，然后由余弦定理和三角函数值求出的表达式，再由函数的单调性可得. 【详解】（1）连接交于，连接. 因为直线平面，平面， 平面平面， 所以， 因为，，所以根据相似的性质可得. 则. （2）取的中点，的中点，连接，，. 因为是边长为6的等边三角形，则，. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. ，， 由（1）可知，，所以. （3）因为平面，平面，所以，. 又因为，分别为，的中点，所以， 而，所以，又，平面， 则平面，又平面，得， 所以是二面角的平面角，即. 设，则，得. 过作交于，连接，由于平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，即. ，，. 因为， 在中，根据余弦定理，， 所以， 则. 因为，所以. 故的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09立体几何初步(5大考点50题) ☆5大高频考点概览 考点01基本立体图形 考点02直线与平面的位置关系 考点03平面与平面的位置关系 考点04空间图形的表面积 考点05空间图形的体积 目目 考点01 基本立体图形 一、单选题 1.(24-25高一下·江苏无锡宜兴·期中)一个边长为2的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是() A.2√2 B.4 C.42 D.6 2.(24-25高一下江苏无锡太湖高级中学期中如图，己知等腰直角三角形。OAB是一个平面图形的直观图， O'A'=A'B',斜边O'B'=4,则这个平面图形的面积是() 45o o B A.4 B.8 C.82 D.16√2 3.(24-25高一下江苏南通海安·期中)用斜二测法画水平放置的边长为2的正三角形，所得直观图的面积为 () A.6 B.3 C.5 D.6 4 2 4.(24-25高一下江苏天一中学.期中)如图，△A'B'C'表示水平放置的ABC根据斜二测画法得到的直观图， AB在x'轴上，B'C'与x轴垂直，∠A'CB'=30°且B'C'=√2，则ABC的面积为() A.6 B.36 2 C.v6 D.2v6 3 3 5.(24-25高一下江苏盐城中学期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是() A,有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 1/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D.圆台的轴截面不可能为直角梯形 二、多选题 6.(24-25高一下·江苏南通海安·期中)下列结论正确的是() A.半圆绕其直径旋转一周后形成的几何体为球 B.棱柱至少有5个面 C.任意n面体都可以分割成n个棱锥 D.棱A,A,BB,CC延长后交于一点的多面体A,B,C,-ABC一定是三棱台 7.(24-25高一下，江苏天一中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点F,G分别是CB ,CD的中点，E在棱CC上满足CE=kCC,k∈[0，]，P为线段AD上的一个动点，平面a∥平面EFG, 则下列命题中正确的是() D B B A.当k=时，AD∥平面EFG B.当3、 <k<1时，过点A,F,E的平面截该正方体所得的截面为五边形 C.当k=。时，平面以截该正方体所得截面面积的最大值为 D.当k=号时，PF+PG的最小值为8+36 2 三、填空题 8.(24-25高一下·江苏锡山高级中学期中)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图 A'B'CD'是边长为2的菱形，且0D'=2,则原平面图形的面积为 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D A B 9.(24-25高一下·江苏无锡第三高级中学期中已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形 A'B'C'D',已知AB=6,B'C'=3,则四边形ABCD的面积为 Wv! B' 目目 考点02 直线与平面的位置关系 一、单选题 10.(24-25高一下·江苏无锡太湖高级中学·期中)己知不重合的直线m、n、1和平面，下列命题中真命题 是() A.如果1不平行于a，,则a内的所有直线均与1异面 B.如果mca,nda,m、n是异面直线，那么n与a相交 C.如果mca,n/a,m、n共面，那么m∥n D.如果m∥n,那么m平行于经过n的任何平面 11.(24-25高一下·江苏天一中学期中)下列命题正确的是() A.如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 12.(24-25高一下江苏无锡青山高级中学期中)已知平面a,直线m,n,如果m∥n,且m‖a,那么n与 a的位置关系是() A.相交 B.n∥a或ncaC.nca D.n∥ 13.(24-25高一下·江苏无锡宜兴期中)下列命题中正确的是() A.如果直线a和平面a满足a∥，那么a与a内的任何直线平行 B.如果直线a,b和平面a满足a/∥a,b∥a,那么a∥b 3/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C.如果直线a,b和平面a满足a∥b,a∥&，那么b∥a D.∩B=a,bc,ccB,b∥c,那么a∥b∥c 二、多选题 14.(24-25高一下江苏无锡北级中学期中)若直线Q不平行于平面，则下列结论错误的是() A.o内的直线都与a相交 B.内的所有直线都与a异面 C.直线a与平面a有公共点 D.a内不存在与a平行的直线 三、填空题 15.(24-25高二下江苏南京秦淮中学、玄武高中、溧水二高等五校联盟期中)《九章算术》是我国古代数 学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖糯如图， 四面体P-ABC为鳖懦，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则直线PB与平面PAC所成角 的大小为 四、解答题 16.(24-25高一下·江苏无锡北级中学期中)如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M是PC的 中点. D N (I)若AB的中点为N,求证：MN//平面APD; (2)在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,H在BD上，证明：AP/GH. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(24-25高一下·江苏梅村高级中学空港分校期中如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上的 点，且SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，平面SABA平面SCD=1. (1)证明：BQ/平面PAC; (2)证明AB∥1. 18.(24-25高一下·江苏无锡新吴区梅村高级中学·期中)如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上 的点，且SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，平面SAB∩平面SCD=I. S A2---- B (1I)证明：BQ11平面PAC; (2)证明：ABW1: 棱SC上是否存在一点E,使得BE/平面P4C,若存在，求汇的值：若不存在，试设 目目 考点03 平面与平面的位置关系 一、单选题-考点3：平面与平面的位置关系 19.(24-25高一下，江苏无锡第一中学期中)已知1、m、n是三条不重合的直线，0、B、Y是三个不重合 的平面，则下列结论正确的是（) A.若111a,aB,则11B B.若111a,mc,则1I/m C.若m⊥n,mca,ncB,则a⊥阝D.若m⊥a,mcB,则a⊥B 20.(24-25高一下江苏南通如皋·调研)已知直线1，m是两条不同的直线，平面a,B,y是三个不同的平面， 下列命题正确的是() A.若m⊥，l⊥m,则1∥a B.若a⊥Y,B⊥Y,∩B=1,则11y C.若l,mcB,l∥a,m∥a,则aB D.若l∥a,l∥B,则o∥B 5/15 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 21.(24-25高一下·江苏无锡第一中学期中)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C1中，D为棱AC的中点，E为棱 CC中点，AC=AA A C B (1)证明：AB/1平面CBD; (2)证明：平面A,B,C⊥平面BDE 22.(24-25高一下江苏无锡太湖高级中学期中)如图在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,M,N分别是 PA,BC的中点，CD=3AB. M D B (I)求证：MN/1平面PCD; (2)若点F在棱PC上且满足PF=元PC,PAII平面BDF,求1的值. 23.(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,平面PAC⊥平面 PBC. (1)求证：BC⊥AC; 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若PA=√2，AC=BC=2,M是PB的中点，N、F分别在线段BC、AM上移动. ①求PB与平面PAC所成角的正切值； ②若FN∥平面PAC,求线段FN长度取最小值时二面角F-BC-A平面角的正切值 24.(24-25高一下江苏无锡玉祁高级中学期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中 AD/1BC,且AD=2BC,点E为棱PD的中点 A B (I)求证：CE1/平面PAB; (2)若M为CE上的动点，N为线段AD的中点，试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明. 25.(24-25高一下江苏天一中学期中)如图所示正四棱锥S-ABCD,P为侧棱SD上的点，且SP=3PD, S D (1)记平面SABn平面SCD=1,证明：1/CD: SC上是否存在一点E,使得BE平面PAC若存在，求的值；若不存在，试部 26.(24-25高一下江苏南通如皋调研)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，A4=B,A,D,M分别为A,B,A4 中点. B 求证： (1)AC11平面BDC; 7/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)MB⊥平面BDC. 27.(2425高一下·江苏无锡第一中学期中)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,平面PAC⊥平面 PBC. D B (1)求证：BC⊥AC: (2)若PA=√2，AC=BC=2,M是PB的中点，N,F分别在线段BC,AM上移动. ①求PB与平面PAC所成角的正切值； ②若FN//平面PAC,求线段FN长度的最小值. 28.(24-25高一下·江苏南通如皋调研)如图，在等腰三角形ABC中，AC=CB=2AB,D、E分别为边 AC、BC上靠近A、B的四等分点，将△DEC沿DE翻折至△PDE,使得平面PAB⊥平面ADEB,O、M 分别是AB、PE的中点. M 01 A E (I)求直线PE与平面ADEB所成角的正弦值： (2)求证：OE⊥BM; (3)求二面角A-PE-0的余弦值. 目目 考点04 空间图形的表面积 一、单选题 29.(24-25高一下·江苏南通海安·期中)己知圆锥的高为1，母线长为2，则底面圆的周长为() A.n B.√3π C.2π D.23元 30.(23-24高一下·江苏无锡第一中学期中)如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 通常由两个圆石做成.磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹 理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末.如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而 成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为16π，则圆柱底面圆的半径为() A.4 B.2 C.4V2 D.2√2 31.(23-24高一下江苏如皋·调研)如图，圆台的上、下底面半径分别为万，，半径为r的球与圆台的上、 下底面及母线均相切，圆台的侧面积为25π，则5+5=() A.5 B.5π C.10 D.10元 的 32.(23-24高一下江苏无锡堰桥高级中学期中)已知圆锥的侧面积为3π，它的侧面展开图是圆心角为 扇形，则此圆锥的高为() A.√3π B.2√2 C.n D.2 33.(24-25高一下·江苏锡东高级中学期中)已知直三棱柱A,B,C,-ABC中，AB=2,BC=3,∠ABC=90°， 其外接球的表面积为16π，则该三棱柱的侧棱长为() A.35 B.2√5 C.5 D.3 34.(23-24高一下江苏无锡惠山区锡山高级中学期中)已知圆锥底面半径√2，底面圆周上两点A、B满足 |AB=2,圆锥顶点到直线AB的距离为√5，则该圆锥的侧面积为() A.2π B.2W2π C.√6π D.3√2π 二、多选题 35.(24-25高一下·江苏无锡玉祁高级中学·期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,E,F,G 分别是AB,BC,PB的中点，则() 9/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.EFI∥AC B.平面GEF/平面PAC 2 C.三棱锥P-AGC的体积为 D.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为8π 三、填空题 36.(24-25高一下江苏无锡青山高级中学期中)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表 面积与这个正方体的表面积之比为 四、解答题 37.(24-25高一下·江苏锡山高级中学期中)桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观.位 于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝.苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪， 峨眉翠扫雨余天”.某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底 面的一条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以24√kmh的速度 前进，15分钟后到达N点.在M点时测得A点位于北偏西45°方向上，B点位于北偏西15°方向上；在N 点时测得A点位于北偏东15°方向上，B点位于北偏东45°方向上，且在N点时观测A的仰角的正切值为5 .设A点在地表水平面上的正投影为A,B点在地表水平面上的正投影为B,A,B,M,N在地表水平6学科网 www.zxxk.com 专题09立体几何初步(5大考点 目目 考点01 基本立体图形 1.D 2.C 3.A 4.D 5.D 6.ABC 7.ABD 8.8 9.362 目目 考点02 直线与平面的位置关系 10.C 11.C 12.B 13.D 14.ABD 15.号30 16.(1)证明：如图所示，取PD的中点E,连接ME,AE, 因为M为PC的中点，可得NEIICD且ME=CD. 又因为ABCD为平行四边形，可得AB/1CD且AB=CD, 所以ME1IAB且ME=AB, 又因为N为AB的中点，可得ME/IAN且ME=AN, 所以四边形ANME为平行四边形，所以MN/IAE, 因为MN丈平面PAD,且AEC平面PAD,所以MN/I平面PAD (2)证明：连接AC与BD交于点O,且O为AC的中点， 由点M为PC的中点，所以AP/MO, 因为APg平面BDM,且MOC平面BDM,所以APII平面BDM, 1/9 让教与学更高效 50题) 丽学科网 www.zxxk.com 又因为APc平面AHGP,且平面AHGP∩平面BDM=GH, M Dk: 17.(1)(1) 沙D 设AC∩BD=0,连接OP,BQ, :SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，·P为D的中点， 又：S-ABCD是正四棱锥，O为BD的中点， ·在△BD2中有0P11BQ, :BQ正平面PAC,OPc平面PAC, :BQ11平面PAC; (2)在正四棱锥S-ABCD中，有AB/1CD, .ABt平面SCD,CDc平面SCD,:.AB//平面SCD: 又：ABC平面SAB,平面SABO平面SCD=I, ·由线面平行的性质定理可得AB∥1. 18.(1)连接BD交AC于点O,连接OP, 让教与学更高效 所以AP//GH 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以OPI/BQ,因为OPc平面PAC,BQd平面PAC, 所以BQ∥平面PAC (2)因为AB∥CD,CDc平面SCD,AB平面SCD,所以ABI∥平面SDC, 又因为ABc平面SAB,平面SABA平面SCD=I, 所以AB (3)存在， SE=2 EC 目目 考点03 平面与平面的位置关系 19.D 20.B 21.(1)连结B,C交BC,于0，连结D0, 在正三棱柱ABC-AB,C,中，BB,I1CC1且BB,=CC1, 所以四边形BB,CC是平行四边行，则O为B,C的中点， 4 B 因为D为AC的中点，所以OD为△ABC的中位线，AB,/IOD, 因为AB丈平面CBD,ODC平面CBD, 3/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AB,/I平面CBD; (2)在正三棱锥柱ABC-A,B,C,中，AA,/1CC,且AA,=CC, AC=AA,AA,⊥AC,所以四边形ACC,A是正方形，所以AC,⊥AC, 因为D,E分别是AC,CC,的中点，所以DE是△ACC,的中位线， 所以AC,11DE,又因为AC,⊥AC,所以DE⊥A,C, 在正三棱柱中CC⊥平面ABC,BDC平面ABC,所以BD⊥CC,, 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以BD⊥AC, 因为CC1AC=C,CC,ACc平面ACC1A,所以BD⊥平面ACC,A, 因为ACC平面ACCA,,所以A,C⊥BD, 因为DE⊥A,C,BDODE=D,BD,DEc平面BDE, 所以A,C⊥平面BDE, 因为ACC平面A,B,C,所以平面A,B,C⊥平面BDE 22.(1)取AD的中点Q,连接M2,NQ. 因为M是PA的中点，Q是AD的中点，根据三角形中位线定理，所以在△PAD中，MQ/PD 又因为MQ丈平面PCD,PDc平面PCD,所以MQ/I平面PCD. B 又因为AB/ICD,N是BC的中点，Q是AD的中点，根据梯形ABCD中位线性质，得到NQ/1CD, 又因为NQ丈平面PCD,CDc平面PCD,所以NQ/I平面PCD 并且NQ∩MQ=Q,NQ,Mgc平面NQM,则平面NQM/平面PCD,且MNc平面NQM, 所以MNII平面PCD 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a2- 23.(1)过点A在平面PAC内作AH⊥PC,垂足为点H, 因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AHC平面PAC, 所以AH⊥平面PBC,BC⊥AH,因为BCc平面PBC,所以BC⊥AH, 因为PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以BC⊥PA, 因为AHO PA=A,AH、PAC平面PAC,所以BC⊥平面PAC, 又ACc平面PAC,所以BC⊥AC (206②2 2 24.(1)如图，取N为线段AD的中点，连接CN,EN 因为N为线段AD的中点， 所以AN=2AD=BC 又ANI/BC, 所以，四边形BCNA为平行四边形，CN∥AB. 因为CN￠平面PAB,ABC平面PAB, 所以有CN//平面PAB 又点E为棱PD的中点， 所以有NEIIPA. 因为NEt平面PAB,PAC平面PAB, 所以有NEII平面PAB 又CN∩NE=N,CNc平面CNE,NEc平面CNE, 所以平面CNEI/平面PAB 又CEc平面CNE, 所以有CEII平面PAB 5/9 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A -->D M B (2)MN/平面PAB 由(1)知，当N为线段AD的中点时，有平面CNE/1平面PAB 因为M为CE上的动点，CNc平面CNE, 所以，MNc平面CWE, 所以，MN/平面PAB 25.(I)在正四棱锥S-ABCD中，AB∥CD,CDt平面SAB,ABc平面SAB, 则CD∥平面SAB,而CDc平面SCD,平面SAB∩平面SCD=I, 所以I11CD (2)存在， SE=2 EC 26.(I)连接CB,交BC,于E,连接DE,由题意易知E是BC,的中点， 又D分别为AB,中点，则DEIIA,C, 由DEc平面BDC,AC丈平面BDC,则AC/I平面BDC; B M (2)由AA,=B4,D,M分别为AB,AA中点，则MA=DB1, 在正三棱柱中A,B,=B,B且MAB,=∠DB,B=90°，则△MAB,兰△DB,B, 所以∠MB,A,+∠BDB,=90°，则BD⊥MB, 由△ABC为正三角形，D为AB,中点，则C,D⊥AB, 扇学科网 www.zxxk.com 而平面A,B,C1⊥平面ABB,A,平面AB,C,∩平面ABB,A=A,B,,CDC平面 所以C,D⊥平面ABB,A,MB,C平面ABB,A,则C,D⊥MB, 由BD∩C,D=D且都在平面BDC内，则MB,⊥平面BDC. 27.(1)证明：作AH⊥PC 因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AHc平面PAC 所以AH⊥平面PBC 因为BCc平面PBC 所以BC⊥AH 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以BC⊥PA B 因为AH∩PA=A,AH,PAc平面PAC 所以BC⊥平面PAC, 又ACc平面PAC,所以BC⊥AC (2)06 2 28.(①)30 6 (2)取OE的中点F,连接BF、MF,则MF1IP0, 因为OB=BE=1,则BF⊥OE, 因为PO⊥平面ABC,则MF⊥平面ABC,OEc平面ABC,所以OE⊥MF 因为MF BF=F,MF、BFc平面BMF,故OE⊥平面BMF, 因为BMC平面BMF,故BM⊥OE, 亚 7/9 让教与学更高效 A B C 函学科网 www.zxxk.com 目目 考点04 空间图形的表面积 29.D 30.B 31.A 32.B 33.C 34.B 35.ABD 36.22 37.(1)V6 (235+27)π 目目 考点05 空间图形的体积 38.C 39.B 40.BCD 41.ABD 42.ACD 43.BCD 44.AC 版n5 46.12 元 6 47.14V2 3π 16 48.(1)'g-0P8=9 (2)在平面BCC,B,中，BP,B,C,不平行，设BP∩B,C1=T, 让教与学更高效 函学科网 www.zxxk.com D 2c B D B 则T∈BP且T∈B,C,，故T∈平面A,B,C,D且T∈平面BPQ, 故T∈平面BPQ平面A,B,C,D,=1, 所以BP,BC,I三线共点 49.(1)该几何体的体积为16π 3 (2)连接AE, 因为P是CE上的中点，则BP⊥CE,O是EC中点， 又Q是AC的中点，所以OQ/1AE, OQt平面ABEF,AEC平面ABEF, 所以OQ1I平面ABEF; A D B C e1 E (3)sin∠RAM= 4 50.(1)2, (2)65; 35’11 9/9 让教与学更高效