上海市大同中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

（上海市大同中学）2024 学年第二学期期中考试 高二数学 90 分钟 满分 100 分 班级 姓名 学号 一、填空题（本大题共有 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 1. 已知抛物线 y2 = 16x ，则其焦点坐标为 . 2. 函数在 x =1处的瞬时变化率为 . 3. 设 (1 + 2x)5 = a0 + a1x + … + a4 x4 + a5x5 ，则 a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 = . 4. 两条平行直线 2x -y +1 = 0 与 4x - 2y + 7 = 0 之间的距离为 . 5. 双曲线 的是 . 6. 在 x 轴上有一 点 A ， 直线 y = x 上有一 点 B ， 定 点 C(2, 1) ， 则 ΔABC 的 周长最 小值 为 . __________ 7. 已知双曲线的两个焦点分别为 (0, 4), (0, -4) ，点 (-6, 4) 在该双曲线上，则该双曲线的方程为 . __________ 8. 已知点 A(3, 0) ，过抛物线 y2 = 4x 上一点 P 的直线与直线 x = -1 垂直相交于点 B，若 | PA |=| PB | ， 则 P 的横坐标为 . 9. 直 线 y = kx + 2 与 双 曲 线 x2 - y2 = 6 的 右 支 交 于 不 同 的 两 点 ， 那 么 k 的 取 值 范 围 是 . __________ 10. 若函数 f(x) = kx - ln x 在区间上单调递增，则 k 的取值范围为 . 11. 已知曲线 = ln y 、 = ln x ，在直角坐标平面上能通过夹在曲线 Γ1 与 Γ2 之间 区域的圆的最大半径为 . 12. 已知曲线 C : x4 + 4y4 + mx2 y2 = 4 ，点 P(x0, y0 ) 在曲线 C 上，给出下列四个结论： 第 1 页 / 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 ① 曲线 C 关于直线 y= x 对称； ② 当 m = -4 时，点 P 不在直线 2y = 0 上； ③ 当 m = 4 时， x0y0 ④ 当 m = 0 时， 曲线 C 所围成的区域的面积大于 . 其中所有正确的结论有 . 二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分） 13. “ a = -1”是“直线 ax + y - 2 = 0 与直线x + ay + 3 = 0 平行”的 ( ) A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C ．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 如图是函数 y = f (x) 的导函数 y = f '(x) 的图像，则下面判断正确的是 ( ) A ．在 (-2, 1) 上f(x) 是增函数 B ．在 (1, -3) 上f(x) 是减函数 C ．当 x = 2 时， f(x) 取极大值 D ．当 x =4 时， f(x) 取极大值 第 2 页 / 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 ( y )15. 已知曲线 C1 : - x = 2 与曲线 C2 : λx2 + y2 = 4 恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围 是 ( ) A ． (-∞, -1] U[0, 1) B ． (-1, 1] C ． [-1, 1) D ． [-1, 0] U (1, +∞) 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，有 n 个圆：ΘA1, ΘA2, … , ΘAn ．其中ΘAk 的圆心为 半径为 ，则 ① 若 a1 > a2 > … > a2025 = ，且 ΘAk 与 ΘAk+1 外切 则 ② 若 ak = (-1)k . k ，定义集合 ak 4 , k ≥ 1, k ∈ , 则存 在直线 l ，使得集合 Ω 中不存在点在 l 上，而存在点在 l 两侧. A . ①成立 ②成立 B. ①成立 ②不成立 C . ①不成立 ②成立 D. ①不成立 ②不成立 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 52 分） 17. （本题满分 9 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分） 已知圆 C : (x — 2)2 + y2 = r2 (r > 0) 与 y 轴相切. （1）直接写出圆心 C 的坐标及 r 的值； （2）直线l : 3x — 4y —1 = 0 与圆 C 交于两点 A、B，求 | AB | . 18. （本题满分 9 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分） 已知 ΔABC ， A(—2, 1) ， B(1, 4) ， C(—6, 5) . （1）求线段 BC 的中垂线方程； （2）求∠BAC的角平分线方程. 19. （本题满分 10 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分） 已知函数x3 — 2x2 + 3x +1 . （1）求曲线 y = f (x) 在 x =0 处的切线方程； （2）求函数 y = f (x) 在区间[—1, 4] 上的最小值. 20. （本题满分 10分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分） 已知抛物线 E : y = 2px (p > 0) ，过点 P(3, 0) 的直线 l 交抛物线 E 于 A、B，且 = —3（O 为坐标原点）. 第 4页 / 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求抛物线 E 的方程； （2）过 P 作与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线 E 于 C、D．求四边形 ACBD 面积的最小值. 21. （本题满分 14 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分） 2 设 A、B 分别为椭圆 + y2 = 1 的上、下顶点．直线 l : y = - 2 ．P 是椭圆上异于 A、 B 的任意一点．连接 AP 并延长，交直线 l 于点 N．连接 PB 并延长，交直线 l 于点 M．连接 NB 并延长，交椭圆 E 于点 G. （1）若椭圆 E 的离心率为 求椭圆 E 的方程； （2）求线段 MN 的最小值（用 a 表示）； （3）证明：对任意大于 1 的实数 a，直线 GP 恒过定点. 第 4 页 / 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$