精品解析：河北省邢台市威县威县寺庄中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年第一学期 八年级学情质量检测（三） 数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 85 7. 已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，，，，，则四边形与面积的比值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 9. 如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【 】 A. 6 B. 12 C. 32 D. 64 10. 如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了，则这个正方形原来的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 10 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是_______． 14. 已知长方形的面积为，一边长为，则另一边长为______． 15. 如图，，点D在上，且，则的度数为_______． 16. 已知，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图所示，是两个边长分别为、的正方形 （1）用含、的代数式表示阴影部分的面积； （2）如果，，求阴影部分的面积． 21. 如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 22. （1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：； （2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长． 23. 我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如，因为都是非负数，则，求得，应用知识解决下列各题： （1）若，则________，_______； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 24. 学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好地理解和运用相关定理或结论．课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小颖受此启发给出如下证明过程： 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：如图，延长至点，使． 因为，所以垂直平分． 所以． 因为，，所以． 所以是等边三角形． 所以，即． 独立思考： （1）如图①，在中，，，作边上的中线，请判断： ①的形状； ②与的数量关系． 合作交流： （2）如图②，在（1）的基础上，是边上任意一点，连接，作等边三角形，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期 八年级学情质量检测（三） 数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 3. 已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5， 故选：C． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算法则．熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 幂的乘方公式为，积的乘法公式为．先分别对、进行计算，再将结果相乘即可． 【详解】解：， ， ， 故选B． 5. 下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查基本作图——作角平分线、角平分线的性质．过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ， ， 的面积为：， 故选：B． 7. 已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法运算．准确展开多项式的乘积是解题的关键． 先将两个多项式相乘展开，得到一个三次多项式，然后根据“不含x的二次项”和“一次项系数为5”这两个条件，分别·列出关于、的方程，求解出、的值，最后计算的值即可． 【详解】解： 因为展开式中不含x的二次项，所以，即， 又因为一次项系数为5，所以， 将代入，得到， 解得：， 将代入，解得：， 所以， 故选D． 8. 如图，，，，，则四边形与面积的比值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．先证明，从而得到，通过，推出，从而得到答案． 【详解】， 又， 四边形与面积的比值是1 故选：D． 9. 如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【 】 A. 6 B. 12 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°． ∴∠2=120°． ∵∠MON=30°， ∴∠1=180°－120°－30°=30°． 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°－60°－30°=90°． ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=1． ∴A2B1=1． ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°． ∵∠4=∠12=60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3． ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°． ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3． ∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16． 以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等． 10. 如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，得到，根据平角的定义可求，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 11. 正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了，则这个正方形原来的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程．设原来正方形的边长为，根据题意列出方程，求出方程的解，根据正方形面积公式即可得到结果． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 解得， ∴这个正方形原来的面积为 ， 故选：B． 12. 如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当A点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当A点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当A点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 14. 已知长方形的面积为，一边长为，则另一边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 如图，，点D在上，且，则的度数为_______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】设，根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，根据可得，根据可得，最后利用三角形内角和定理可得，由此可解． 【详解】解：设， ， ， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握等腰三角形中“等边对等角”． 16. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，再计算，即可解答． 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】，， ． ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类 项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， 与为直角三角形， 在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）运用“”定理直接证明，即可得解； （2）求出，证出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ． 20. 如图所示，是两个边长分别为、的正方形 （1）用含、的代数式表示阴影部分的面积； （2）如果，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）．（2）14． 【解析】 【分析】（1）根据图形可得阴影部分面积为两个正方形的面积和减去空白部分，即可得关系式； （2）代入a=4，b=6，计算即可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得 阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积， 即 答：阴影部分的面积表示为． （2）当，时， ． 答：阴影部分的面积为14． 【点睛】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积． 21. 如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，先画出图形，分三种情形分别求解即可． 【详解】解：， ， 点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， ， ． 综上所述，的度数为或或． 22. （1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：； （2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）由得，推出；根据可得，证即可；（2）截取，证，推出，进而得；结合，可推出得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：截取，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 23. 我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如，因为都是非负数，则，求得，应用知识解决下列各题： （1）若，则________，_______； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平分的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键． （1）根据平方的非负性得到，，进而求解即可； （2）利用完全平方公式得到，然后根据平方的非负性得到，，进而求解即可； （3）利用完全平方公式得到，根据平方的非负性得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴，； （2）∵ ∴ ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 24. 学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好地理解和运用相关定理或结论．课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小颖受此启发给出如下证明过程： 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：如图，延长至点，使． 因为，所以垂直平分． 所以． 因为，，所以． 所以是等边三角形． 所以，即． 独立思考： （1）如图①，在中，，，作边上的中线，请判断： ①的形状； ②与的数量关系． 合作交流： （2）如图②，在（1）的基础上，是边上任意一点，连接，作等边三角形，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①是等边三角形； ②； （2）．证明如下： 如图3，连接． ∵，都是等边三角形， ∴． ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，根据30度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论； ②根据等边三角形的性质和即可证得结论； （2）连接，根据等边三角形的性质可证得，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）①是等边三角形．理由如下： ∵， ∴，． ∵为边上的中线， ∴． ∴． 又， ∴是等边三角形． ②．理由如下： 由①，得是等边三角形． ∴． ∵为边上的中线， ∴． ∴． （2）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $