精品解析：山东省潍坊市高密市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

七年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 为了解某市七年级学生的近视情况，从中随机抽取400名学生进行调查．该调查中的样本是（ ） A. 400 B. 被抽取的400名学生 C. 被抽取的400名学生的近视情况 D. 该市七年级学生的近视情况 2. 下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，选用下列哪种统计图描述较为适宜（ ） A. 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 雷达统计图 4. 五一假期，王华一家计划去某景区游玩，为合理规划景点的游览路线，王华计划做一份旅游攻略，拟做以下工作：①求解最佳路线：借助电子地图测量实际路程，并以表格形式记录数据．②制作游览攻略：确定最佳游览路线，制作一份游览攻略．③实际问题数学化：以游览路线长度作为主要研究对象，画图表示景点位置和景点之间的路线．④分析影响因素：根据生活经验，思考并梳理影响游览效率的因素，有游览路线长度、交通方式、游客流量等．则以上工作的正确排序为（ ） A. ①②③④ B. ④①②③ C. ④③①② D. ②④①③ 5. 如图，下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．按住三角板不动，将三角板绕顶点转动，当在直线的上方时，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（ ） A. 甲在超市采购，丙在超市采购 B. 甲在超市采购，丙在超市采购 C. 甲在超市采购，丙在超市采购 D. 甲在超市采购，丙在超市采购 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某公司对员工上班通行方式做了统计，并制作了如图所示的扇形统计图，“驾车”所在扇形对应的圆心角度数为___________． 12. 如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则___________． 13. “方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 14. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________． 15. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为______． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 18. 如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图，直线l表示起跳线，怎样测量他的跳远成绩？请作出测量示意图，并说明理由． 19. 在某次音乐素养测评中，某学校从七年级400名学生中，随机抽取了40名学生的素养测评数据（单位：分）： 我们对上述数据进行整理、描述、分析： ①求数据中最大值与最小值的差，它们的差是． ②确定组数和组距，取组数为6，将数据分成以下6组： ③列出频数分布表： 组别 1 2 3 4 5 6 数据/分 7 频数 5 9 7 ④画出频数直方图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________； （2）补全频数直方图： （3）根据频数直方图说说你获得了哪些信息． （4）请估计该校七年级学生中，本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数． 20. 在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制两种丹药．已知炼制一颗丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．则炼制丹药与丹药各多少颗？ 21. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． （1）【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； （2）【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ （3）【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 23. （1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图1，已知，，请说明． 证明：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由 ② ，可知，，． 由题知，所以 ③ ． 则，即 ④ ． 由 ⑤ ，可得． 请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整． （2）【迁移应用】如图2，已知，的交点为E．判断，，之间的关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图2作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图3．若，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 为了解某市七年级学生的近视情况，从中随机抽取400名学生进行调查．该调查中的样本是（ ） A. 400 B. 被抽取的400名学生 C. 被抽取的400名学生的近视情况 D. 该市七年级学生的近视情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，据此可得答案． 【详解】解；由题意得，该调查中的样本是被抽取的400名学生的近视情况， 故选：C． 2. 下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解需使方程左右两边相等，因此将每组、的值代入方程验证即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，故A是方程的解，不符合题意； B、当，时，，故B是方程的解，不符合题意； C、当，时，，故C不是方程的解，符合题意； D、当，时，，故D是方程的解，不符合题意； 故选：C． 3. 对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，选用下列哪种统计图描述较为适宜（ ） A. 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 雷达统计图 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比；折线统计图表示的是事物的变化情况；而条形统计图和直方图能清楚地表示出每个项目的具体数目；直方图能够清楚地表示出每组的具体数目，分组的时候，数据是连续的，据此可得答案． 【详解】解：对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，应选择折线统计图， 故选：A． 4. 五一假期，王华一家计划去某景区游玩，为合理规划景点的游览路线，王华计划做一份旅游攻略，拟做以下工作：①求解最佳路线：借助电子地图测量实际路程，并以表格形式记录数据．②制作游览攻略：确定最佳游览路线，制作一份游览攻略．③实际问题数学化：以游览路线长度作为主要研究对象，画图表示景点位置和景点之间的路线．④分析影响因素：根据生活经验，思考并梳理影响游览效率的因素，有游览路线长度、交通方式、游客流量等．则以上工作的正确排序为（ ） A. ①②③④ B. ④①②③ C. ④③①② D. ②④①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的生活常识，先要确定影响因素，然后把问题数学化，再借助工具求解最佳路线，最后做攻略，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，以上工作的正确排序为④③①②， 故选：C． 5. 如图，下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵或或， ∴， 故选：D． 6. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 7. 如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠可得，，从而求出，，可得，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：长方形纸条沿折叠， ，， ，， ， ∴， ， 故选：A． 【点睛】此题考查翻折问题，平行线的性质，关键是根据翻折前后对应角相等解答． 8. 如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．按住三角板不动，将三角板绕顶点转动，当在直线的上方时，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，依据平行线的性质得到，然后根据角的和差解题即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 9. 用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据图示有2个长等于，一个长加上三个宽等于，2个长等于1个长加上3个宽，1个长加2个宽等于5个宽，据此列出对应的方程并组成方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，2个长等于，一个长加上三个宽等于，2个长等于1个长加上3个宽，1个长加2个宽等于5个宽， ∴， ∴四个选项中只有D选项中的方程组不正确，符合题意， 故选：D． 10. 甲、乙、丙三人分别在三个文体超市采购篮球、足球、排球中的一种体育器材，且满足：①甲不在超市采购；②乙不在超市采购；③在超市的采购篮球；④乙不采购足球；⑤在超市的不采购排球．则下列判断正确的是（ ） A. 甲在超市采购，丙在超市采购 B. 甲在超市采购，丙在超市采购 C. 甲在超市采购，丙在超市采购 D. 甲在超市采购，丙在超市采购 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，有③⑤可确定在A超市采购足球，在C超市采购排球，由②④可确定乙在C超市采购，在由①可得甲和乙所在的超市，据此可得答案． 【详解】解：由③⑤可知，在A超市采购足球，在C超市采购排球， 由②④可知，乙在C超市采购， 由①可知，甲在B超市采购，则丙在A超市采购， ∴四个选项中，只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某公司对员工上班通行方式做了统计，并制作了如图所示的扇形统计图，“驾车”所在扇形对应的圆心角度数为___________． 【答案】##162度 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形统计图中圆心角度数，用360度乘以“驾车”的百分比即可得到答案． 【详解】解：， ∴“驾车”所在扇形对应的圆心角度数为， 故答案为：． 12. 如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则___________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解；如图所示，∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 13. “方程”二字最早见于我国（九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程．按照上述规则，则表示的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据图意列二元一次方程，认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．解题的关键是读懂图的意思． 【详解】解：由题意得，则表示的方程是， 故答案为：． 14. 如图，直线相交于点O，于点O．若，则的度数为_____________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】先求得的度数，再根据对顶角相等得出，根据垂直的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用．根据“在12场比赛，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列三元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法． （1）根据二元一次方程组的代入法消元法即可求出答案； （2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求出答案． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 17. 已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查角的有关计算，考生需熟知互为邻补角的两个角的和是，能够灵活应用方程求解是解决此题的关键． 根据“比的3倍少”建立与的等量关系式；根据“与互为邻补角”可知，计算即可． 【详解】解：由题可得：， ∴， 解得， ∴． 18. 如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图，直线l表示起跳线，怎样测量他的跳远成绩？请作出测量示意图，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了垂线段最短．此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短，即测量后脚印与起跳线间的垂直距离即为跳远成绩． 【详解】解：作法：过点作于点，则的长度即为小亮的成绩． 理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ． 19. 在某次音乐素养测评中，某学校从七年级400名学生中，随机抽取了40名学生的素养测评数据（单位：分）： 我们对上述数据进行整理、描述、分析： ①求数据中最大值与最小值的差，它们的差是． ②确定组数和组距，取组数为6，将数据分成以下6组： ③列出频数分布表： 组别 1 2 3 4 5 6 数据/分 7 频数 5 9 7 ④画出频数直方图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________； （2）补全频数直方图： （3）根据频数直方图说说你获得了哪些信息． （4）请估计该校七年级学生中，本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3）测评数据落在这一组的人数最多（答案不唯一） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，频数分布表，样本估计总体； （1）根据所给数据分组； （2）根据频数补全频数分布直方图． （3）根据直方图得到相关信息； （4）根据样本估计总体，用七年级测试的76分及以上的占比乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：数值为的有，，，，，，，，，，共个，故； 数值为的有，，，，，，共个，故； 数值为的有，，，共个，故； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：补全频数直方图为： 【小问3详解】 解：测评数据落在这一组的人数最多； 【小问4详解】 解：人， 答：本次音乐素养测评中数据在76分及以上的人数为人． 20. 在《哪吒2》的剧情中，哪吒和敖丙一起炼制两种丹药．已知炼制一颗丹药需要3份火莲精华和2份龙鳞粉末，炼制一颗B丹药需要5份火莲精华和4份龙鳞粉末．经过合作，哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末，且炼制完丹药时这些材料刚好用完．则炼制丹药与丹药各多少颗？ 【答案】炼制丹药5颗，炼制B丹药6颗 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设炼制丹药x颗，炼制B丹药y颗，根据哪吒和敖丙一共收集了45份火莲精华与34份龙鳞粉末建立方程组求解即可． 【详解】解：设炼制丹药x颗，炼制B丹药y颗， 由题意得，， 解得， 答：炼制丹药5颗，炼制B丹药6颗． 21. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据对顶角相等和已知条件可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质和已知条件可证明，则，再由平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． （1）【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； （2）【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ （3）【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值． 【答案】（1）19 （2）30元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将方程即可求解； （2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解； （3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解． 【小问1详解】 解：解： 得，， 得，； 【小问2详解】 解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元， 根据题意得， 得，， 得，， 得，， 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元； 【小问3详解】 解：解：根据新定义运算得， 得， ∴． 23. （1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图1，已知，，请说明． 证明：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由 ② ，可知，，． 由题知，所以 ③ ． 则，即 ④ ． 由 ⑤ ，可得． 请根据自己的理解，将上述证明过程补充完整． （2）【迁移应用】如图2，已知，的交点为E．判断，，之间的关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图2作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图3．若，求的大小． 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）过作，得到，推出，，结合，即可求解； （3）根据规律，推出，即可求解． 【详解】解：（1）证明：分别过点C，D作，． 因为，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以． 则，即． 由内错角相等，两直线平行，可得． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④；⑤内错角相等，两直线平行； （2），理由如下： 如图，过作， ， ， ，， ， ； （3）如图， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当时，等于． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $