精品解析：甘肃省张掖市甘州区大成学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学12月练习卷 一、选择题（共30分） 1. 下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( )米． A. asin40° B. acos40° C. atan40° D. 3. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 5.8 D. 6 10. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共32分） 11. 方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是__________． 12. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为____________m． 13. 如图，的顶点都是边长为 1 的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为___________． 14. 老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程____________． 15. 如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______． 16. 在中，若，，都是锐角，则的度数_____． 17. 已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为_______． 18. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 三、解答题（共88分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． （3）①点的坐标为 ．②求的面积． 21. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为____________度，并将条形统计图补充完整． （2）我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有____________人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 22. 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）． 数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°． 问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）． 参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 23. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，直接写出x的取值范围． 24. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系； （2）若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 27. 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）直接写出不等式＞mx+n的解集； （3）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标； （4）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月练习卷 一、选择题（共30分） 1. 下列几何体中，其主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．据此逐一判断．注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意； D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( )米． A. asin40° B. acos40° C. atan40° D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据锐角三角函数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°， ∴tan∠C=tan40°=， ∴AB=atan40°． 故选C 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用及锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 3. 如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】解：设投影的面积为cm，，cm， 故选：D． 【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方． 4. 若函数是反比例函数，则m的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意可知，解出m的值即为本题答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选A． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 7. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 8. 函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数及反比例函数结合问题，一次函数和反比例函数图象及性质等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：对于A选项：一次函数中第一个，第二个，即，矛盾，故A不符合题意， 对于B选项：一次函数中第一个，第二个，即，反比例函数中，矛盾，故B不符合题意， 对于C选项：一次函数中第一个，第二个，即，反比例函数中，矛盾，故C不符合题意， 对于D选项：一次函数中第一个，第二个，即，反比例函数中，不矛盾，故D符合题意， 故选：D． 9. 如图，长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 5.8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设DE=EB=，在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是由四边形EFCB翻折得到， ∴DE=EB， 设DE=EB=， 在Rt△ADE中， ∵∠A=90°，AD=4，DE=EB=，AE=， ∴， 解得：， ∴DE=5.8， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折中的不变量解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型． 10. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 二、填空题（共32分） 11. 方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是__________． 【答案】y1=﹣ ，y2= 【解析】 【详解】（2y+1）（2y﹣3）=0， 2y+1=0，,2y﹣3=0， 解得y1=﹣ ，y2=. 12. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为____________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记 据此列式代入数值，即可作答． 【详解】解：设旗杆高度为 由题意得， 解得：． 故答案为：10． 13. 如图，的顶点都是边长为 1 的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作，再利用锐角三角函数的定义求解，即可得到答案． 【详解】解：过点B作，则是直角三角形， 由图形可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 14. 老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2022年投入资金为1440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 15. 如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______． 【答案】-4 【解析】 【详解】解：由反比例函数解析式可知：系数， ∵S△AOB=2，即， ∴； ∵双曲线在二、四象限，k＜0， ∴k=-4 16. 在中，若，，都是锐角，则的度数_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查非负性，特殊角的三角函数值，根据非负性，以及特殊角的三角函数值求出，的度数，三角形的内角和定理，求出的度数，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，都是锐角， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，二次函数图象及性质等．根据题意可得，解出的值，再利用二次函数图象性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，解得：或， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴开口向上， ∴， 故答案为：2． 18. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 三、解答题（共88分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， ∴或， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． （3）①点的坐标为 ．②求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所作图形． （2） 解：如图所示，即为所作图形． （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①点的坐标为． 的面积为． 21. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为____________度，并将条形统计图补充完整． （2）我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有____________人． （3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1）72， 将条形统计图补充完整，如图所示： （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）由360°乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）根据比赛成绩良好的占比乘以400即可求解； （3）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：72； 全年级总人数为（人）， “良好”的人数为（人） 【小问2详解】 解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人）， 故答案为：480； 【小问3详解】 解：画树状图，如图所示： 共有12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）． 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． 22. 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）． 数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°． 问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）． 参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】16.9m 【解析】 【分析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设BF=x m， 由题意得： DE=FG=1.5m， 在Rt△CBF中，∠CBF=35°， ∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m）， ∵AB=8.8m， ∴AF=AB+BF=（8.8+x）m， 在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°， ∴tan26.6°= ≈0.5， ∴x=22， 经检验：x=22是原方程的根， ∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m）， ∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由，得，再将代入，得，可得出点B的坐标，代入即可得出反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标，再由即可求出的面积； （3）直接根据图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点C在y轴正半轴，， ∴， ∴一次函数解析式为． 将代入，得， ∴． 将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 将代入，得， ∴点D的坐标是， ∴． 将代入，得， 解得，．当时，， ∴点A的坐标是， ∵点B的纵坐标为3， ∴． 【小问3详解】 或． 【点睛】本题考查反比例函数相关知识，属于中考常规考题，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质． 24. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）长为． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质求出，推出，证△，推出，得出平行四边形，推出菱形； （2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，推出，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴MB=MD， 设长为x，则， 在中， 即 解得：． 答：长为． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）写出每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系； （2）若商场每天要获利润元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件列等式即可得到答案； （2）根据利润利润单价数量列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 且， ∴每日销售量（件）和降价幅度（元）之间的函数关系为：（）； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得：， ， ∵尽量减少库存， ∴应该降价元 【点睛】本题考查一次函数解决销售利润问题，一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式． 26. 问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长． 【答案】问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形， ． ． ． ． 又． ∴矩形是正方形． （2）是等腰三角形．理由如下： ， ． 又，即是等腰三角形． 类比迁移：8 【解析】 【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解； （2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形； 类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解． 【详解】解：问题解决： （1）略 （2）略 类比迁移： 如图2，延长到点，使得，连接． ∵四边形是菱形， ． ． ． 又． 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 27. 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE． （1）求反比例函数的表达式和点E的坐标； （2）直接写出不等式＞mx+n的解集； （3）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标； （4）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点E的坐标（4，1） （2）0＜x＜2或x＞4 （3）M（0，） （4）存在，点Q的坐标（﹣4，﹣1）或（，3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得AB＝4，BC＝2，然后得AB的中点的坐标，再代入反比例函数解析式，可求出k，然后再求E的坐标； （2）由图象可知0＜x＜2和x＞4时，反比例函数 的图象在y＝mx+n上方，由此可得答案； （3）根据点的坐标的特点得△ODE的面积，设M（0，m），由△MBO的面积＝|m|×4＝3，可得答案； （4）令x＝4，则y＝1，得E（4，1），D（2，2）以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：当PE是平行四边形的边时，当DE是平行四边形的对角线时，可得问题的答案． 【小问1详解】 （1）∵四边形OABC为矩形，点B（4，2）， ∴AB＝4，BC＝2， ∵AB的中点D， ∴D（2，2）， ∵反比例函数y＝的图象经过AB的中点D， ∴2＝， ∴k＝4， ∴反比例函数的解析式为：y＝； 当x＝4时，y＝＝1， ∴点E的坐标（4，1）； 【小问2详解】 ∵y＝与y＝mx+n交于点D、E两点，且0＜x＜2和x＞4时，反比例函数y＝的图象在y＝mx+n上方， 即解集为0＜x＜2或x＞4； 【小问3详解】 存在， ∵D（2，2），E（4，1）， ∴△ODE的面积为2×4﹣×2×2﹣×2×1﹣×4×1＝3， 设M（0，m），由△MBO的面积＝|m|×4＝3， ∴m＝±， ∴M（0，），（0，﹣）（舍去）； 【小问4详解】 存在， 令x＝4，则y＝1， ∴E（4，1）， ∵D（2，2）以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形， 当PE是平行四边形的边时，则PQ∥DE，且PQ＝DE， ∴P的纵坐标为0， ∴Q的纵坐标为±1， 令y＝1，则1＝， ∴x＝4（舍去）， 令y＝﹣1，则﹣1＝， ∴x＝﹣4， ∴Q（﹣4，﹣1）， 当DE是平行四边形的对角线时， ∵D（2，2），E（4，1）， ∴DE的中点为（3，）， 设Q（a， ），P（x，0）， ∴÷2＝， ∴， ∴Q（，3）， ∴使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点Q的坐标（﹣4，﹣1）或（，3）． 【点睛】本题主要考查反比例函数与四边形的综合，掌握反比例函数的图形和性质是以及平行四边形的性质是解题的关键，注意数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $