周测培优卷十五：复数的三角表示*-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷十五 测试内容：复数的三角表示* 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B B B AC BD 1．D 【详解】由题意得， 故选：D 2．D 【详解】. 故选：D. 3．A 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 4．B 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选：B 5．B 【详解】法一：设，则的实部为且虚部不为， ， 则，， 因为，故，即， 则有， 解得或或， 当时，，则，舍去； 当时，，即，则，舍去； 当时，，则， 故，即，共有两个. 综上所述，这样的复数共有两个. 法二：设的辐角为，， 表示将复数在复平面内逆时针旋转， 由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称， 则解得：或或或， 易知：时，，舍去， 故，故有两个不同的复数满足题意. 故选：B. 6．B 【详解】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转， 所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 7．AC 【详解】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确； 对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故，故D错误. 故选：AC. 8．BD 【详解】设，其中， 则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 9． 【详解】 . 故答案为：. 10．3 【详解】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 故答案为：3 11．【详解】（1）由，解得. ∵，∴应舍去， ∴. （2）由题意得，：，：. ∵，位置成逆时针顺序，又， ∴把按逆时针方向旋转即得， ∴， 将代入上式， 解得， 由点在第三象限知. 12．【详解】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，， ， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则 ， 又，， ∴， ， ∴， ∴所对应的复数为． 13．【详解】（1）设， ， 所以，， 因为，， 所以，且， 所以是实数； （2）设，则， 因为，， 所以， 所以①， 又 ， 所以②， 联立①②，解得，，所以； （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷十五 测试内容：复数的三角表示* 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2025上海课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2．复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 3．（2025湖南衡阳期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三全国专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024江西新余模拟）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（    ）个. A． B． C． D． 6．（2024湖北武汉期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2024全国专题练习）下列说法正确的是（    ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 8．（2025吉林长春三模）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．计算： ．(用代数形式表示) 10．（2025上海期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 12．（2025江苏南通质检）（15分）（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【附加题】 13．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 解题笔记 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$