5.3 复数的三角表示(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的三角表示，系统涵盖三角形式概念、代数与三角形式转化及乘除运算等核心内容。课堂导入从复数代数形式与复平面向量的对应关系切入，通过“思考”引导学生用向量模和辐角表示复数，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以实例驱动教学，如通过例1、例2的转化步骤和跟踪训练的几何意义应用，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的精确表达。强调三角形式“模非负、角统一”等结构特征，结合向量旋转等几何直观，助力学生理解运算本质，也为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

*§3　复数的三角表示 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 返回导航 辐角 新知学习 探究 返回导航 r(cos θ＋isin θ) 2π 辐角的主值 新知学习 探究 返回导航 角度1　代数形式化为三角形式 　(对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式(辐角取主值). (1)π； 【解】　因为复数z＝π对应的点(π，0)在实轴正半轴上，所以arg z＝0，故z＝π(cos 0＋isin 0). 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 复数的代数形式转化为三角形式的步骤 (1)先求复数的模； (2)判断辐角所在的象限； (3)根据象限求出辐角； (4)写出复数的三角形式． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知复数a＋bi(a，b∈R)的三角形式为r(cos θ＋isin θ)，则－a＋bi的三角形式是(　　) A．r(cos θ＋isin θ) B．r[cos (π－θ)＋isin(π－θ)] C．r[cos (π＋θ)＋isin(π＋θ)] D．r[cos (2π－θ)＋isin(2π－θ)] 解析：由题知，－a＋bi＝r(－cos θ＋isin θ)，结合诱导公式知，cos (π－θ)＝－cos θ，sin (π－θ)＝sin θ.故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余弦前、‘＋’相连、角统一、i跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)] 和 除以 减去 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的n次幂相当于模的n次幂，辐角的n倍． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝(　　) A．30°　　B．60°　　C．90°　　D．120° 解析：由z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝cos 60°＋isin 60°，所以arg z2＝60°.故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 角度2　复数三角形式乘、除运算的几何意义 　(对接教材例2)已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位． (1)求实数m的取值范围； 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例2)已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位． (2)当m＝－2时，求复数z的三角表示式(辐角取主值)； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 3i 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1－i 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：复数三角形式、复数三角形式乘、除运算及其几何意义． 2．须贯通：复数的代数形式与三角形式的相互转化；运用复数乘除法的几何意义时，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系． 3．应注意：(1)复数的三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连； (2)利用复数三角形式乘除时，复数必须是三角形式的标准形式． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系．会进行复数代数形式与三角形式的转化，了解辐角．　2.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算．掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点． 我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) ＝(a，b)也是一一对应的． 思考　你能用向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？ 提示：可以由复数z的模(即 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 的模)和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 所在射线为终边的角来确定． eq \a\vs4\al(一　复数的三角表示式) 1.以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的 eq \o(□,\s\up1(1)) ________． 2．任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ____________________，其中r＝ eq \r(a2＋b2) ，cos θ＝ eq \f(a,r) ，sin θ＝ eq \f(b,r) . 这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分，a＋bi称为复数的代数表示式，简称代数形式． 当z＝r(cos θ＋isin θ)≠0时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差 eq \o(□,\s\up1(3)) ________的整数倍．为确定起见，将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为 eq \o(□,\s\up1(4)) ____________________，记作arg z，即0≤arg z＜2π. (对接教材例1)把下列复数的代数形式化成三角形式(辐角取主值). (2) eq \r(2) － eq \r(2) i. 【解】　设 eq \r(2) － eq \r(2) i的辐角为θ，因为复数的模r＝ eq \r((\r(2))2＋(－\r(2))2) ＝2，cos θ＝ eq \f(\r(2),2) ， 又因为 eq \r(2) － eq \r(2) i对应的点位于第四象限， 所以θ＝ eq \f(7π,4) .所以 eq \r(2) － eq \r(2) i＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(7π,4)＋isin \f(7π,4))) . [跟踪训练1] (1)复数－1－ eq \r(3) i的三角形式是(　　) A．－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3))) B．2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))))) C．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(7π,6)＋icos \f(7π,6))) D．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin \f(7π,6))) 解析：设－1－ eq \r(3) i的辐角为θ，因为|－1－ eq \r(3) i|＝2，所以cos θ＝－ eq \f(1,2) .又因为－1－ eq \r(3) i对应的点(－1，－ eq \r(3) )位于第三象限，所以θ＝ eq \f(4π,3) ＋2kπ，k∈Z，当k＝－1时，θ＝－ eq \f(2π,3) .所以－1－ eq \r(3) i＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3))))) .故选B. 角度2　三角形式化为代数形式 　分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ； 【解】　复数4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))) 的模r＝4，辐角的主值为θ＝ eq \f(π,6) .4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ＝4cos eq \f(π,6) ＋4isin eq \f(π,6) ＝4× eq \f(\r(3),2) ＋4× eq \f(1,2) i＝2 eq \r(3) ＋2i. (2) eq \f(\r(3),2) (cos 60°＋isin 60°)； 【解】　复数 eq \f(\r(3),2) (cos 60°＋isin 60°)的模r＝ eq \f(\r(3),2) ，辐角的主值为θ＝ 60°. eq \f(\r(3),2) (cos 60°＋isin 60°)＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) i＝ eq \f(\r(3),4) ＋ eq \f(3,4) i. (3)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)－isin \f(π,3))) . 【解】　2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)－isin \f(π,3))) ＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3))))) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,3)＋isin \f(5π,3))) . 所以复数的模r＝2，辐角的主值为θ＝ eq \f(5π,3) . 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,3)＋isin \f(5π,3))) ＝2cos eq \f(5π,3) ＋2isin eq \f(5π,3) ＝2× eq \f(1,2) ＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))) i＝1－ eq \r(3) i. [跟踪训练2] 下列各式是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,4)－isin \f(π,4))) ； (2)－ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3))) ； (3) eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(3π,4)＋icos \f(3π,4))) ； (4)cos eq \f(7π,5) ＋isin eq \f(7π,5) . 解：根据复数三角形式的定义可知，(1)(2)(3)不是复数的三角形式，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))))) . (2)原式＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3))))) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(4π,3)＋isin \f(4π,3))) . (3)原式＝ eq \f(1,2) [cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(3π,4))) ＋isin ( eq \f(π,2) － eq \f(3π,4) )] ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))))) . eq \a\vs4\al(二　复数乘除运算的几何意义) 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则 (1)z1·z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝ eq \o(□,\s\up1(1)) __________________________________． (2) eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(r1(cos θ1＋isin θ1),r2(cos θ2＋isin θ2)) (z2≠0)＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ____________________________． 即：两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的 eq \o(□,\s\up1(3)) ________． 两个复数相除，商的模等于被除数的模 eq \o(□,\s\up1(4)) ________除数的模，商的辐角等于被除数的辐角 eq \o(□,\s\up1(5)) ________除数的辐角所得的差． eq \f(r1,r2) [cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)] 角度1　复数三角形式的乘、除运算 　(对接教材例4)计算下列各式，并把结果化为代数形式： (1)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) ·3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin\f(π,6))) ； 【解】　原式＝2×3 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6))))) ＝6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,6)＋isin\f(5π,6))) ＝－3 eq \r(3) ＋3i. (2)(－1＋i)· eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(7π,4)＋isin\f(7π,4))) ； 【解】原式＝ eq \r(2) (cos eq \f(3π,4) ＋isin eq \f(3π,4) )· eq \r(3) (cos eq \f(7π,4) ＋isin eq \f(7π,4) ) ＝ eq \r(6) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋\f(7π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋\f(7π,4))))) ＝ eq \r(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,2)＋isin\f(5π,2))) ＝ eq \r(6) i. (3)4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(4π,3)＋isin\f(4π,3))) ÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,6)＋isin\f(5π,6))))) . 【解】原式＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\f(5π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－\f(5π,6))))) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,2)＋isin\f(π,2))) ＝2i. (2)计算下列各式，并把结果化为代数形式： ①5(cos eq \f(π,6) ＋isin eq \f(π,6) )·2(cos eq \f(π,4) ＋isin eq \f(π,4) )； 解：5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ·2(cos eq \f(π,4) ＋isin eq \f(π,4) ) ＝10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,12)＋isin \f(5π,12))) ＝10 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),4)＋\f(\r(6)＋\r(2),4)i)) ＝ eq \f(5\r(6)－5\r(2),2) ＋ eq \f(5\r(6)＋5\r(2),2) i. ② eq \f(4,cos \f(π,4)＋isin \f(π,4)) . 解： eq \f(4,cos \f(π,4)＋isin\f(π,4)) ＝ eq \f(4(cos 0＋isin 0),cos \f(π,4)＋isin \f(π,4)) ＝4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))))) ＝4( eq \f(\r(2),2) － eq \f(\r(2),2) i) ＝2 eq \r(2) －2 eq \r(2) i. 【解】　因为复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,－(m＋1)>0，)) 解得－3<m<－1，所以实数m的取值范围为(－3，－1). 【解】　当m＝－2时，z＝1＋i，所以z的模r＝ eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) ，cos θ＝ sin θ＝ eq \f(1,\r(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以θ＝45°， 所以z＝ eq \r(2) (cos 45°＋isin 45°). (对接教材例2)已知复数z＝(m＋3)－(m＋1)i在复平面内对应的点在第一象限，i是虚数单位． (3)若在复平面内，向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 对应(2)中的复数z，把 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 绕点O按顺时针方向旋转60°得到 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1，求向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1对应的复数z1(结果用代数形式表示). 【解】　方法一(代数运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) ＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1，则 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1对应的复数z1＝ eq \f(1＋i,cos 60°＋isin 60°) ＝ eq \f(1＋i,\f(1＋\r(3)i,2)) ＝ eq \f(1＋\r(3),2) ＋ eq \f(1－\r(3),2) i. 方法二(三角运算)：根据题意得z＝1＋i在复平面内对应的向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) ＝(1，1)，将其顺时针旋转60°后得到向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1，则z1＝ eq \f(\r(2)(cos 45°＋isin 45°),cos 60°＋isin 60°) ＝ eq \r(2) [cos (45°－60°)＋isin (45°－60°)]＝ eq \r(2) (cos 15°－isin 15°). 又因为cos 15°＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4) ，sin 15°＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4) ， 所以z1＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),4)－\f(\r(6)－\r(2),4)i)) ＝ eq \f(1＋\r(3),2) ＋ eq \f(1－\r(3),2) i. 两个复数z1，z2相乘时，如图，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1， eq \o(OZ,\s\up16(→)) 2，然后把向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把 eq \o(OZ,\s\up16(→)) 1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq \o(OZ,\s\up16(→)) ， eq \o(OZ,\s\up16(→)) 表示的复数就是z1·z2，即z1·z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，当z1，z2相除时， eq \f(z1,z2) ＝ eq \f(r1,r2) [cos (θ1－θ2)＋ isin (θ1－θ2)]. [跟踪训练4] (1)在复平面内，把与复数 eq \f(3\r(3),4) ＋ eq \f(3,4) i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转 eq \f(π,3) ，然后将其伸长为原来的2倍，则所得向量对应的复数为________．(用代数形式表示) 解析： eq \f(3\r(3),4) ＋ eq \f(3,4) i＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin\f(π,6))) ，由题意得 eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin\f(π,6))) ·2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin\f(π,3))) ＝ eq \f(3,2) ×2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3))))) ＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,2)＋isin\f(π,2))) ＝3i， 即所得向量对应的复数为3i. (2)在复平面内，把复数3－ eq \r(3) i对应的向量绕原点分别按逆时针方向和顺时针方向旋转 eq \f(π,3) ，求所得向量对应的复数(结果用代数形式表示). 解：因为3－ eq \r(3) i＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i)) ＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(11π,6)＋isin \f(11π,6))) ， 所以2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(11π,6)＋isin \f(11π,6))) ·(cos eq \f(π,3) ＋isin eq \f(π,3) ) ＝2 eq \r(3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)＋\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)＋\f(π,3))))) ＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(13π,6)＋isin \f(13π,6))) ＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ＝3＋ eq \r(3) i； 2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(11π,6)＋isin \f(11π,6))) ·[cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ] ＝2 eq \r(3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)－\f(π,3))))) ＝2 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(3π,2)＋isin \f(3π,2))) ＝－2 eq \r(3) i. 故把复数3－ eq \r(3) i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 eq \f(π,3) 得到的复数为3＋ eq \r(3) i，按顺时针方向旋转 eq \f(π,3) 得到的复数为－2 eq \r(3) i. 1．(教材P194T1改编)复数z＝ eq \r(3) －i的三角形式为(　　) A．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) B．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(5π,3)－isin\f(5π,3))) C.2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)－isin\f(7π,6))) D．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(11π,6)＋isin\f(11π,6))) 解析：因为|z|＝r＝2，所以cos θ＝ eq \f(\r(3),2) ，又z＝ eq \r(3) －i对应的点在第四象限，所以arg z＝ eq \f(11π,6) ，所以z＝ eq \r(3) －i＝2(cos eq \f(11π,6) ＋isin eq \f(11π,6) ).故选D. 2．(多选)下列复数不是三角形式的是(　　) A．5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(3π,4)＋isin\f(π,4))) 　 B．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin \f(π,4)－i cos\f(π,4))) C．3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3)＋isin\f(4π,3))) D．2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos \f(π,6)＋isin\f(π,6))) 解析：由复数三角形式的结构特征判断，A中角不同，B中是减号，且正弦在前，余弦在后，D中cos eq \f(π,6) 前是负号，故A，B，D都不是三角形式. 故选ABD. 3．(教材P194T3改编) eq \r(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3))) · eq \f(\r(3),3) (cos eq \f(π,6) －isin eq \f(π,6) )＝______________．(结果用代数形式表示) 解析：原式＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3))) · eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))) ＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,6)＋isin \f(π,6))) ＝ eq \f(\r(6),2) ＋ eq \f(\r(2),2) i. eq \f(\r(6),2) ＋ eq \f(\r(2),2) i 4．把复数1＋i对应的向量绕原点，按顺时针方向旋转 eq \f(π,2) ，所得到的向量对应的复数是________．(结果用代数形式表示) 解析：(1＋i) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))) ＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,4)＋isin \f(π,4))) [cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))) ＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))) ] ＝ eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2))))) ＝ eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))))) ＝1－i. $