5.3复数的三角表示课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§3 复数的三角表示 第五章 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角形式. 2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系. 3.了解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义. 核心素养：直观想象，数学运算. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、复数的三角表示式 新知学习 如图，我们知道，与复数对应的向量的模称为这个复数的模，且＝.以原点为顶点，轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，称为复数＝i的辐角. 任何复数都可以表示为＝（cos +isin ）， 其中＝，cos ＝，sin ＝. 这个式子称为复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分，i称为复数的代数表示式，简称代数形式. 当时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是+2kπ，其中可以取任何整数. 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 （1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法； （2）复数的代数形式是唯一的，但复数的三角形式不唯一； （3）确定复数的三角形式要注意： 一是由＝确定复数的模，二是由cos ＝，sin ＝来确定值. 为确定起见，将满足条件0≤<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg ，即0≤arg <2π.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 高中数学 必修第二册 北师大版 二、复数乘除运算的几何意义 1.复数三角形式的乘法 复数分别用三角形式表示为＝（cos θ1+isin θ1），2＝2（cos 2+isin 2）. ＝. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和. 据此，两个复数相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，，然后把向量绕原点按逆时针方向旋转角2（若2<0，就要把绕原点按顺时针方向旋转角||），再把它的模变为原来的倍，所得向量就表示复数的乘积（如图）.这是复数乘法的几何意义. 高中数学 必修第二册 北师大版 2.复数三角形式的除法 设＝（cos +isin ），＝（cos +isin ），且≠0，则 ＝ ＝［cos（）+isin（）］. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 高中数学 必修第二册 北师大版 一　复数的代数形式与三角形式的互化 例1　将下列复数表示为三角形式（辐角取主值）： （1）-5i；（2）-10；（3）-1+i；（4）-i. 典例剖析 解：（1）∵＝＝5，cos ＝0，sin ＝-1，∴ ＝π，∴ -5i＝； （2）∵ ＝＝10，cos ＝-1，sin ＝0，∴ ＝π，∴ -10＝10 （cos π+isin π）； （3）∵＝＝2，cos ＝-，sin ＝，∴ ＝π，∴ -1+i＝； （4）∵ ＝＝2，cos ＝，sin ＝-，∴ ＝π，∴ -i＝. 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练　 将下列复数表示为三角形式（辐角取主值）： （1）2-2i；（2）20；（3）-3-3i. 解：（1）∵ ＝＝，cos ＝，sin ＝，∴ ＝π，∴ 2-2i＝； （2）∵ ＝＝20，cos ＝1，sin ＝0，∴ ＝0，∴ 20＝20（cos 0+isin 0）； （3）∵ ＝＝，cos ＝-，sin ＝-，∴ ＝π，∴ -3-3i＝. 高中数学 必修第二册 北师大版 二 复数的乘法与除法 例2　计算下列各式的值： （1）·；（2）； （3）÷；（4）. 解：（1）·＝＝＝+4i； （2）＝36（cos π+isin π）＝729×（-1）＝-729； （3）÷＝＝4i； （4）＝＝＝＝1. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 复数三角形式的运算按以下三个法则进行： （1）乘法法则：模数相乘，辐角相加； （2）乘方法则：模数乘方，辐角倍； （3）除法法则：模数相除，辐角相减. 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 计算下列各式的值： （1）3（cos 18°+isin 18°）·2（cos 54°+isin 54°）·5（cos 108°+isin 108°）；（2）. 解：（1）3（cos 18°+isin 18°）·2（cos 54°+isin 54°）·5（cos 108°+isin 108°） ＝6（cos 72°+isin 72°）·5（cos 108°+isin 108°）＝30（cos 180° +isin 180°）＝30×（-1）＝-30； （2）＝9［cos（270°+90°）+isin（270°+ 90°）］ ＝9（cos 360°+isin 360°）