精品解析：2025年广东省惠州市仲恺区九年级数学一模试题

2024-2025学年初中学业水平考试第一次模拟考试 数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A B. C. D. 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 据国家电影局统计：截至2025年3月14日《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿，将150亿用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为(　　) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 化简的结果为__________． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 14. 不等式组的解集是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为_______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16 计算：． 17. 随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，人们也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 b 95 8.2 人工 a 90 c 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表格中：　　， 　　； （2）求a的值； （3）根据数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 96，91，95，90，89，95，95，92，88，89 100，82，75，87，100，93，71，100，83，99 18. 如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接与相切吗？请说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 20. 如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，．（参考数据：，，） （1）醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”的长度； （2）如图3，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求此时比高多少？（结果精确到）． 21. 【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5． 依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表： n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 d 1.000 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081 请你协助小青完成以下任务． （1）求当时，d何值？（参考数据：） （2）根据表格数据，d随n的变化情况为________；当车轮设计成圆形时，________．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形． （3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在边长为4的正方形中，为边上一点． （1）如图1，将射线绕点顺时针旋转后交的延长线于点，求四边形的面积； （2）如图2，若是的中点，是边上一点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，点恰好落在射线上，求证：； （3）如图3，若，点在正方形的对角线上，且，求的长度． 23. 如图，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接． （1）如图1，若点D是中点，求E点的坐标； （2）如图2，若直线与轴、轴分别交于M点，N点，过D作轴交于P点，过E作轴交于Q点，与交于点H，连接，求证：； （3）如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年初中学业水平考试第一次模拟考试 数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据两个数相乘积是1，则该两个数互为倒数，即可求解． 【详解】解： 的倒数是， 故选：B． 2. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 3. 据国家电影局统计：截至2025年3月14日《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿，将150亿用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：150亿． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选：D． 5. 物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出，进而求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个正方形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴，解得，， ∵， ∴的值是， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形，三角形的面积的计算方法，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 7. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为(　　) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】B 【解析】 【详解】连接AC， 由同弧所对的圆周角相等得∠CAB=∠CDB=40°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CBA=50°， 故选B． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可． 【详解】解：∵在一元二次方程中， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：x=9， 经检验：x=9是原分式方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根． 10. 如图，菱形的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线过点B．若，则为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 直接提公因式，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 化简的结果为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是对分式的基本性质的了解及对分式的加减运算能力的掌握．分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式化成同分母的分式再进行运算，能约分的要约分． 【详解】解：， 故答案为：1． 13. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 14. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，二次根式的加法运算和零指数幂、负整数指数幂，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂，化简二次根式，代入特殊角三角函数值以及计算负整数指数幂，最后进行加减计算． 【详解】解： ． 17. 随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，人们也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 b 95 8.2 人工 a 90 c 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表格中：　　， 　　； （2）求a的值； （3）根据数据分析，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 96，91，95，90，89，95，95，92，88，89 100，82，75，87，100，93，71，100，83，99 【答案】（1）91.5；100 （2）89 （3）机器人操作在技能方面更有优势，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数和众数，掌握各统计数据的意义和计算方法是关键． （1）根据概念解答即可，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值； （2）根据平均数的计算公式即可求解； （3）结合方差和平均数的统计意义即可求解． 【小问1详解】 解：机器人技能测试成绩排序为：88，89，89，90，91，92，95，95，95，96， 中位数， 人工技能测试成绩中100分出现的次数最多， 众数； 故答案为：；100． 【小问2详解】 解：， 即的值为89； 【小问3详解】 解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小， 可以推断机器人操作在技能方面谁更有优势． 18. 如图，在中，，点在边上，以为半径作，交于点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，交于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）连接与相切吗？请说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）与相切，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图-作垂线，切线的判定，等边对等角．掌握作垂线的方法，以及切线的判定的方法，是解题的关键． （1）根据作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，等边对等角，得到，，再根据等量代换，得到，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，垂直平分线l为所求． 【小问2详解】 证明：是的切线，理由如下： 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 【答案】（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车 （2）200名 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可； （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车， 根据题意得：， 解得： 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车． 【小问2详解】 设为按时完工工厂应招聘m名新工人， 根据题意得：， 解得 ． ． ∴当时，W取最小值，最小值为2360000． 答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少． 20. 如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，．（参考数据：，，） （1）醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”的长度； （2）如图3，保持不变，通过调整梅花桩的高度，使得的值最小，请求此时比高多少？（结果精确到）． 【答案】（1）“采青”路径的长度约为； （2）比高． 【解析】 【分析】（1）过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得，，，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解； （2）作点B关于的对称点，连接交于，连接并延长交于H，连接，．则就是的最小值，由对称性质可知：，同理（1）得，由轴对称得，证明，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作直线，分别交，于点，，过点作直线，交于点，连接． 由题意得， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴． 即“采青”路径的长度约为． 【小问2详解】 解：如图，作点B关于的对称点，连接交AM于，连接并延长交于H，连接，． ∴，则就是的最小值， 由对称性质可知： 同理（1）得 由轴对称得 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴此时比高． 【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21. 【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5． 依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表： n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 d 1.000 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081 请你协助小青完成以下任务． （1）求当时，d何值？（参考数据：） （2）根据表格数据，d随n的变化情况为________；当车轮设计成圆形时，________．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形． （3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？ 【答案】（1）0.586 （2）d随n的增大而减小；0 （3）36 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，求得，进一步得出结果； （2）根据表格数据解答即可； （3）先求出对应的圆心角的度数，再求正多边形的边数． 【小问1详解】 当时， ∵点C为的中点 ∴ ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形 在中， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，． 故答案为：d随n的增大而减小；0； 【小问3详解】 设对应的圆心角为 ∵长 ∴ ∴ ∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形． 【点睛】本题考查了等要三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在边长为4的正方形中，为边上一点． （1）如图1，将射线绕点顺时针旋转后交的延长线于点，求四边形的面积； （2）如图2，若是的中点，是边上一点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，点恰好落在射线上，求证：； （3）如图3，若，点在正方形的对角线上，且，求的长度． 【答案】（1）16 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合应用，涉及正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）连接，过点作交的延长线于点，由（1）可得，证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，可得出答案； （3）证明，由相似三角形的性质得出，可得出答案． 【小问1详解】 解：由旋转性质可得：， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积和正方形面积相等， ， 四边形的面积为16； 【小问2详解】 证明：如图，连接，过点作交延长线于点， 由（1）可得， 是的中点， ，， 线段绕点顺时针旋转后得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 解得：， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 由题意可得，， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 的长度为． 23. 如图，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接． （1）如图1，若点D是的中点，求E点的坐标； （2）如图2，若直线与轴、轴分别交于M点，N点，过D作轴交于P点，过E作轴交于Q点，与交于点H，连接，求证：； （3）如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解； （2）证明，即可求解； （3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1， 四边形是拒形， 轴，轴， ，是的中点， ， 双曲线经过点 ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 【小问2详解】 证明：如图2， 点、点都在双曲线上， 、，， ∴，，， ∵轴，轴 ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、交于点，交于点， ， 随的增大而增大， 当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大， 垂直平分，， ， ，且 ， 解得：， 则点， 则． 若点与点重合，则， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形的判定与相似，矩形的性质、最值的确定，解直角三角形等，确定的临界点是（3）中解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$